2.1 Понятие допустимой области поиска экстремума

В задачах оптимального проектирования технических объектов вектор переменных проектирования X = ( ,..., ) выбирают в результате определения экстремума целевой функции F(Х) в допустимой области, заданной системой ограничений на параметры проектируемого объекта. В самом общем виде целевая функция и ограничения являются нелинейными функциями переменных проектирования X.

Задачи, в которых экстремум ищут в пределах неограниченного пространства переменных проектирования, относятся к задачам безусловной оптимизации. Найденные при этом экстремумы называют безусловными. Наличие ограничений любого вида приводит к задачам условной оптимизации, решение которых дает условный экстремум.[5]

При решении задач оптимизации первоначально проверяют условия, которым должен удовлетворять вектор переменных проектирования X, минимизирующий (максимизирующий) критерий качества F(Х). Эти условия проверяют для отыскания стационарных точек, среди которых находится искомый вектор X.

Функция F(Х), определенная в Em ,имеет абсолютный минимум в

Х* є , если:

F(X*)≤f(X)

для всех Х є . Минимум является строгим, если в (F(X*)≤f(X)) стоит знак строгого неравенства для Х≠Х*.

Функция F (X) имеет в X* относительный минимум, если существует ε>0 такое, что для любой точки Х є (X*) выполняется неравенство:

F (X)-F(X*) > 0,

где (X*) —окрестность точки X*. При определении максимума F (X) (F (X)-F(X*) > 0) должно быть заменено на неравенство:

F (X)-F(X*) < 0.[5]

2.2 Классификация методов оптимизации

Методы поиска экстремума классифицируются по следующим признакам: в зависимости от характера экстремума существуют методы условной и безусловной, локальной и глобальной оптимизации; по числу переменных проектирования различают методы одномерного и многомерного поиска, а по характеру информации о виде целевой функции – метод нулевого, первого и второго порядков, причём в методах первого порядка используют градиент целевой функции, поэтому эти методы называются градиентными, в методах второго порядка применяют вторые производные, а в методах нулевого порядка производные не используют.[8]

2.3 Понятие поисковой оптимизации

В большинстве задач проектирования при отсутствии аналитического задания целевых функций проверка F(Х) па выпуклость или вогнутость, как правило, невозможна, поэтому для решения задач оптимального проектирования используют методы поисковой оптимизации, основанные на исследовании малой окрестности оптимальной точки в допустимой области. Основные требования, предъявляемые к методу поиска, высокая алгоритмическая надёжность, приемлемые затраты машинного времени и требуемой памяти.[8]

2.4 Геометрическая интерпретация поисковой оптимизации

2.4.1 Метод Циклического покоординатного спуска

В данном методе на каждой итерации выполняется n(количество координат) одномерных минимизаций (спусков) вдоль единичных орт. Этот метод работает особенно хорошо, если линии равного уровня расположены вдоль координатный осей.

Начальный этап:

Выбрать x1, , k=1, l=1.

Основной этап:

Шаг 1

1) В качестве направления p выбрать , где ненулевая позиция имеет индекс l.