Логічні сполучники
Заперечення і його умови істинності.
Розглянемо два простих висловлювання:
«Київ столиця України»
«Неправильно, що Київ столиця України»
Позначимо перше висловлювання р, а друге р. Перше висловлювання відповідає дійсності, тому є істинним, а друге, навпаки, є хибним.
Заперечення – це логічний сполучник, який творить з істинного висловлювання хибне, а з хибного – істинне.
Це можна зобразити у таблиці істинності заперечення:
№ п/п |
А |
А |
1 |
і |
х |
2 |
х |
і |
У природній мові заперечення може виражатися як «неправильно, що А», «не-А», «А не має місця», « А є хибним» тощо.
Кон’юнкція та її умови істинності.
Розглянемо таке висловлювання «На вулиці весна і холодно», яке є складним, і складається з двох простих висловлювань: (1)«На вулиці весна» та (2)«На вулиці холодно». Символічно його можна записати як «р q», що означає в природній мові «р і q».
Це складне висловлювання буде істинним лише тоді, коли обидва простих висловлювання, які увіходять до його складу, будуть істинним, тобто, якщо дійсно на вулиці весна і холодно.
Кон’юнкція – це логічний сполучник, який є істинним лише у тому випадку, коли всі його складові є істинними. У всіх інших випадках цей логічний сполучник є хибним.
Таблиця істинності кон’юнкції має такий вигляд:
№ п/п |
А |
В |
А В |
1 |
і |
і |
і |
2 |
і |
х |
х |
3 |
х |
і |
х |
4 |
х |
х |
Х |
Вираз з кон’юнкцією у природній мові можуть відповідати виразам «А разом з В», « Якщо А, так і В», «А у той час, як В», «В, хоча і А», «Не лише А, але й В», «А, а також В», «А, В» тощо.
Диз’юнкція та її умови істинності.
В межах логічного знання диз’юнкцію ділять на слабку або нестрогу та сильну або строгу диз’юнкції.
Для аналізу нестрогої диз’юнкції розглянемо таке висловлювання «Ця людина медик або викладач», яке містить в собі два простих висловлювання: (1) «Ця людина – медик», (2) «Ця людина – викладач». Символічно його можна зобразити так: «р q», що читаємо «р або q».
Слабка (нестрога) диз’юнкція – це логічний сполучник, який є хибним лише в одному випадку, коли логічні значення його складників є хибними. В усіх інших випадках цей логічний сполучник є істинним.
№ п/п |
А |
В |
А В |
1 |
і |
і |
і |
2 |
і |
х |
і |
3 |
х |
і |
і |
4 |
х |
х |
х |
Таким чином, запропоноване висловлювання може бути оцінене як істинне лише у таких випадках:
коли людина є і медиком, і викладачем;
коли людина є медиком, але не є викладачем;
коли людина не є медиком, але є викладачем.
А хибним це висловлювання буде лише тоді, коли людина не є і ні медиком, і ні викладачем. З цього зрозуміло, що слабка диз’юнкціє саме тому і називається слабкою, адже відбувається нестроге розмежування – «А або В, або обидва разом». Іншими мовними виразами є «А та (в значенні або) В», «А, якщо не В».
Сильна (строга) диз’юнкція – це логічний сполучник, який є істинним у тих випадках, коли логічні значення його складників не збігаються. Цей логічний сполучник є хибним, коли логічні значення його складників збігаються.
В цьому випадку при строгій диз’юнкції використовується сполучник «або» або в строгому розумінні: «А або В, але не обидва разом». Розглянемо таке висловлювання: «Ця людина народилася у 1992 або 1993 році», яке складене з двох простих: (1) «Ця людина народилася у 1992 році», (2) «Ця людина народилася у 1993 році».
Це висловлювання можна частково формалізувати і отримати «або р, або q». Таке висловлювання може бути оцінене як істинне тільки у тому випадку, якщо одне з простих висловлювань буде істинним, а друге – хибним. Якщо ж логічне значення простих висловлювань співпадає, або вони обидва істинні, або обидва хибні, тоді значення всього висловлювання відповідає хибі.
№ п/п |
А |
В |
А В |
1 |
і |
і |
Х |
2 |
і |
х |
і |
3 |
х |
і |
і |
4 |
х |
х |
х |
Вираз, де присутня сильна диз’юнкція, у природній мові можуть відповідати вирази «А або В, але не обидва разом», «Або А, або В», «Чи А, чи В», «А, крім випадку, якщо В».
Імплікація та її умови істинності.
Розглянемо висловлювання «Якщо студент відвідує лекції, він отримує залік», яке складається з двох простих: (1) «Студент відвідує лекції», (2) «Він складе залік».
Символічно його можна записати так: рq, що читається «якщо р, тоді q».
Імплікація – це логічний сполучник, який є хибним лише в одному випадку, коли перше висловлювання (антецедент) є істинним, а друге висловлювання (консервант) – хибним. У всіх інших випадках імплікація є істинною.
№ п/п |
А |
В |
АВ |
1 |
і |
і |
і |
2 |
і |
х |
Х |
3 |
х |
і |
І |
4 |
х |
х |
І |
В результаті аналіз висловлювання покаже, що:
1.Дійсно студенти відвідували лекції і отримали свій залік, тобто і перше і друге прості висловлювання істинні, тому і все висловлювання, де є імплікація оцінюється як істинне.
2.Студенти відвідували лекції, але залік не отримали, тобто перше просте висловлювання є істинним, а друге – хибним. У цьому випадку до викладача можуть бути претензії, адже умова була виконана і студенти відвідували всі лекції.
3.Студенти не відвідували всі лекції, проте отримали залік. Причиною може бути самостійне опрацювання матеріалу, виконання практичних завдань. Тому домовленість фактично виконана.
4.Студенти не ходили на лекції і не отримали залік. Ці два простих висловлювання отримують значення хиби, але домовленість не порушена, отже все висловлювання оцінюється як істинне.
Імплікація в природній мові може мати такий вигляд: «Якщо А, тоді В», «А тоді, коли В», «У випадку А має місце В», «В, якщо А» тощо.
Еквіваленція та її умови істинності.
Розглянемо попереднє висловлювання, але вже з еквіваленцією: «Студенти отримають залік тоді і тільки тоді, коли вони відвідають всі лекці»" Це складне висловлювання складається з двох простих: (1) «Студенти отримають залік» (2) «Вони відвідають всі лекції».
Еквіваленція – це логічний сполучник, який є істинним у тих випадках, коли логічні значення його складників збігаються. Цей логічний сполучник є хибним, коли логічні значення його складників не збігаються.
Проаналізуємо висловлювання:
1.Студенти відвідували всі лекції і отримали свої заліки. У цьому випадку значення простих висловлювань істинне, і значення всього висловлювання є істинним, адже умови виконані і угода здійсненна.
2.Студенти отримали залік, проте вони не відвідували лекції. Тут перше висловлювання відповідає істині, але умови угоди не виконані, тому друге висловлювання буде хибним, а значення всього висловлювання також отримує хибне значення.
3.Залік студенти не отримали, але лекції вони відвідували. В цьому випадку маємо протилежну ситуацію, де перше висловлювання хибне, а друге істинне, але за умови угоди знову не виконі, тому висловлювання отримує значення хиби.
4.Остання ситуація, коли студенти не отримали залік, і вони не відвідували лекції, вказує, що обидві частини висловлювання хибні. Але умови угоди дотриманні, тому висловлювання отримує значення істини.
№ п/п |
А |
В |
АВ |
1 |
і |
і |
і |
2 |
і |
х |
х |
3 |
х |
і |
х |
4 |
х |
х |
і |
Вираз АВ у природній мові може відповідати таким виразам: «А тоді і тільки тоді, коли В», «А, якщо і тільки якщо В», «Якщо А, тоді В, і навпаки», «А якщо В, і В, якщо А», «Для А необхідно і достатньо В», «А еквіваленція В» тощо.
Інколи еквіваленцію називають подвійною імплікацією, що є цілком закономірним з огляду на те, що еквіваленція фіксує необхідні та достатні умови деякої події (ситуації, дії).