Таб. 8.2. Расчетная таблица для определения

параметров уравнения регрессии зависимости

суммы активов и кредитных вложений

коммерческих банков Белоруссии

№	Банк	Кредитные вложения, млрд.нац.руб. х	Сумма активов, млрд.нац. руб.у		ху
1	Комплексбанк	311	518	96721	161098	1140,6
2	Белорусбанк	658	1194	432964	785652	1502,5
3	Приорбанк	783	2941	613089	2302803	1632,9
4	Белбизнесбанк	1142	1865	1304164	2129830	2007,3
5	Белпромстрой-банк	1319	1997	1739761	2634043	2191,9
6	Белагропром-банк	1962	3066	3849444	6015492	2862,4
7	Белкомбанк	2496	3176	6230016	7927296	3419,4
Итого		8671	14757	14266159	21956214	14757,0

Следовательно, с увеличением кредитных вложений на 1 млрд. нац.руб. сумма активов возрастает в среднем на 1,0429 млрд нац.руб.

Модель регрессии может быть построена как по индивидуальным значениям признака (табл. 8.2), так и по сгруппированным данным (табл. 8.3). Для выявления связи между признаками по достаточно большому числу наблюдений используется корреляционная таблица. В корреляционной таблице можно отобразить только парную связь, т.е. связь результативного признака с одним фактором, и на ее основе построить уравнение регрессии и определить показатели тесноты связи. Само уравнение регрессии может иметь линейную, параболическую и другие формы. При определении параметров модели регрессии и коэффициентов связи по корреляционной таблице не теряется информация о связи, обусловленная усреднением данных. Для составления корреляционной таблицы парной связи статистические данные необходимо предварительно сгруппировать по обоим признакам (х и у), затем построить таблицу, по строкам в которой отложить группы результативного, а по столбцам – группы факторного признаков.

Корреляционная таблица (пример табл. 8.3) дает общее представление о направлении связи. Если оба признака (х и у) располагаются в возрастающем порядке, а частоты (f_ху) сосредоточены по диагонали сверху вниз направо, то можно судить о прямой связи между признаками. В противном случае – об обратной. О тесноте связи между признаками х и у по корреляционной таблице можно судить по кучности расположения частот вокруг диагонали (насколько заполнены клетки таблицы в стороне от нее). Если клетки заполнены большими цифрами, то связь слабая. Чем ближе частоты (f_ху) располагаются к одной из диагоналей, тем теснее связь. Если в расположении частот (f_ху) нет системности, то можно судить об отсутствии связи.

Рассмотрим анализ статистических данных по корреляционной таблице на следующем примере.

Пример. По данным группировки 40 предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной продукции построим уравнение связи (табл. 8.3).

Решение. Анализ таблицы показывает, что частоты (f_ху) расположены по диагонали сверху вниз, что свидетельствует о наличии прямой связи между объемом произведенной продукции и балансовой прибылью. Также наблюдаются концентрация частот (f_ху) вокруг главной диагонали и незаполненность оставшихся клеток, поэтому можно предположить достаточно тесную связь между рассматриваемыми признаками.

Расчет и анализ средних значений по группам факторных признаков х подтверждает наличие прямолинейной зависимости между х и у.

Считая, что зависимость описывается уравнением прямой, коэффициенты а₀ и а₁ определим из системы нормальных уравнений вида:

;

.

Так как значения признаков у и х заданы в определенных интервалах, то для каждого интервала сначала необходимо определить середину интервала (х и у), а затем уже по ним строить уравнение регрессии.

Таблица 8.3.

Балансовая прибыль, млн руб.у	Объем произведенной продукции, млн руб., х
		300-400	400-500	500-600	600-700	700-800
		350	450	550	650	750
10-20	15	2					2	30	10500
20-30	25	4	1				5	125	46250
30-40	35	2	5	4			11	385	180250
40-50	45		3	8	2		13	585	317250
50-60	55			2	4	3	9	495	327250
	-	8	9	14	6	3	40	1620	881500
	-	2800	4050	7700	3900	2250	20700	-	-
	-	980000	1822500	4235000	2535000	1687500	11260000	-	-
	-	25,0	37,2	42,6	51,7	55,0	-	-	-

Покажем промежуточные расчеты:

По первой группе: ;

;

;

;

.

По второй группе: ;

;

;

;

.

Аналогичным образом получены все остальные расчетные значения в таблице.

Таким образом, подставив в систему уравнений итоговые значения из табл. 8.3, получим:

;

.

Отсюда: а₀= -0,9; а₁= 0,08.

Следовательно: .

Параметр уравнения регрессии показывает, что с увеличением объема выпускаемой продукции на 1 млн руб. балансовая прибыль возрастает на 80 тыс. руб.

Если связь между признаками у и х криволинейная и описывается уравнением параболы второго порядка:

,

то система нормальных уравнений имеет вид:

;

;

.

Оценка обратной зависимости между х и у, когда с увеличением (уменьшением) х уменьшается (увеличивается) значение результативного признака у, может быть осуществлена на основе уравнения гиперболы вида:

.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров гиперболы следующая:

;

.

Множественная (многофакторная) регрессия. Изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками носит название множественной (многофакторной) регрессии, описываемой функцией вида:

.

Построение моделей множественной регрессии включает этапы:

1. выбор формы связи (уравнения регрессии);

2. отбор факторных признаков;

3. обеспечение достаточного объема совокупности для получения несмещенных оценок.

Выбор типа уравнения затрудняется тем, что для любой формы зависимости можно выбрать целый ряд уравнений, которые в определенной степени будут описывать эти связи. Поскольку уравнение регрессии строится главным образом для объяснения и количественного выражения взаимосвязей, оно должно хорошо отражать сложившиеся между исследуемыми факторами фактические связи.

Практика построения многофакторных моделей взаимосвязи показывает, что все реально существующие зависимости между социально-экономическими явлениями можно описать, используя пять типов моделей:

1. линейная: ;

2. степенная: ;

3. показательная: ;

4. параболическая: ;

5. гиперболическая: .

Основное значение имеют линейные модели в силу простоты и логичности их экономической интерпретации. Нелинейные формы зависимости приводятся к линейным путем линеаризации.

Важным этапом построения уже выбранного уравнения множественной регрессии являются отбор и последующее включение факторных признаков.

Проблема отбора факторных признаков для построения моделей взаимосвязи может быть решена на основе эвристических (интуитивно-логических) или многомерных статистических методов анализа.

Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ). Сущность метода шаговой регрессии заключается в последовательном включении факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их значимости. Факторы поочередно вводятся в уравнение так называемым «прямым методом». При проверке значимости введенного фактора определяется, насколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции (R²). Одновременно используется и обратный метод, т.е. исключение факторов, ставших незначимыми на основе t-критерия Стьюдента.

При построении моделей регрессии можно столкнуться и с проблемой мультиколлинеарности, под которой понимается тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель. Мультиколлинеарность существенно искажает результаты исследования.

Одним из индикаторов определения наличия мультиколлинеарности между факторными признаками является превышение величины парного коэффициента корреляции 0,8 ( ).

Устранение мультиколлинеарности может реализовываться через исключение из корреляционной модели одного или нескольких линейно-связанных факторных признаков или преобразованием исходных факторных признаков в новые, укрупненные факторы.

Пример. По данным о сумме активов (у), кредитных вложений (х₁) и величине собственного капитала (х₂) коммерческих банков Белоруссии построить множественное уравнение связи. Связь предполагается линейной. Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии представлена в таблице 9.4.

Решение.

Таблица 8.4

банк	активов млрд нац. руб.у	Кредит.вложения,млрд нац. руб. х1	Собствен. Капитал, млрд.нац. руб. х2
1	3176	2496	209	7927296	6230016	10086976	521664	43681	663784	3153
2	3066	1962	201	6015492	3849444	9400356	394362	40401	616266	3000
3	2941	783	177	2302803	613089	8649481	138591	31329	520557	2554
4	1997	1319	136	2634043	1739761	3988009	179384	18496	271592	1886
5	1865	1142	175	2129830	1304164	3478225	199850	30625	326375	2533
6	1194	658	88	785652	432964	1425636	57904	7744	105072	1057
7	518	311	60	161098	96721	268324	18660	3600	31080	574
Итого	14757	8671	1046	21956214	14266159	37297007	1510415	175876	2534726	14757

.

Система нормальных уравнений имеет вид:

;

;

;

;

;

.

Отсюда: ; ; ;

.

Расчеты показали, что с увеличением кредитных вложений на 1 млрд нац. руб. и собственного капитала коммерческих банков Белоруссии на 1 млрд нац. руб. стоимость их активов возрастает соответственно на 0,0368 и 16,77 млрд нац. руб.

Оценка существенности связи. Принятие решений на основе уравнения регрессии.

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии.

Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента:

,

где - дисперсия коэффициента регрессии.

Параметр модели признается статистически значимым, если (; v=n-k-1), где  - уровень значимости, v=n-k-1 – число степеней свободы.

Величина может быть определена по выражению

,

где - дисперсия результативного признака;

k – число факторных признаков в уравнении.

Более точную оценку величины дисперсии можно получить по формуле:

,

где - величина множественного коэффициента корреляции по фактору х_i с остальными факторами.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета F-критерия и величины средней ошибки аппроксимации ( ).

Значение средней ошибки аппроксимации, определяемой по формуле

,

не должно превышать 12 – 15%.

Интерпретация моделей регрессий осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явления. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки зависимости входящих в модель факторных признаков, т.е. с выяснения, как они влияют на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на моделируемый. Особое значение при этом имеет знак перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если факторный признак имеет знак плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает. Если факторный признак имеет знак минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается. Анализ модели по данным табл. 8.4 свидетельствует о том, что увеличение кредитных вложений и собственного капитала влечет рост стоимости активов коммерческих банков.

С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности, определяемые по формуле:

,

где - среднее значение соответствующего факторного признака;

- среднее значение результативного признака;

- коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%.

Рассчитаем коэффициент эластичности по данным табл.8.4:

;

.

Это означает, что при увеличении кредитных вложений и собственного капитала на 1% стоимость активов возрастает соответственно на 0,02 и 1,19 %.

Частный коэффициент детерминации показывает, насколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-го признака, входящего в множественное уравнение регрессии. Он рассчитывается по формуле

,

где - парный коэффициент корреляции между результативным и i-м факторным признаком;

- соответствующий коэффициент уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе.

По данным табл. 8.4. рассчитаем частный коэффициент детерминации для фактора х_i – кредитные вложения (млрд нац. руб.):

;

;

;

; ;

;

;

;

;

, что свидетельствует о том, что 2 % вариации стоимости активов объясняются изменением величины кредитных вложений.

Для фактора (собственный капитал) : ;

; ; .

На 88% изменение стоимости активов объясняется изменением собственного капитала коммерческих банков Белоруссии.

Множественный коэффициент детерминации (R2), представляющий собой множественный коэффициент корреляции в квадрате, показывает, какая доля вариации результативного признака обусловлена изменением факторных признаков, входящих в многофакторную регрессионную модель.

Для более точной оценки влияния каждого факторного признака на моделируемый используется Q-коэффициент, определяемый по формуле

,

где - коэффициент вариации соответствующего факторного признака.

По данным таблицы 8.4:

- для фактора - кредитные вложения –

;

; ;

.

- для фактора - собственный капитал:

; ;

.

Вывод: наиболее существенно влияние фактора .

Собственно - корреляционные параметрические методы изучения связи. Оценка существенности корреляции.

Изменение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции.

В статистической теории разработаны и на практике применяются различные модификации формул расчета данного коэффициента:

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

.

Линейный коэффициент корреляции может быть также выражен через дисперсии слагаемых:

.

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, которую можно математически выразить следующей формулой:

,

где - коэффициент регрессии в уравнении связи;

- среднее квадратическое отклонение соответствующего факторного признака.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до 1:

- 1 < r < 1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента можно представить в следующей таблице:

Таб. 8.5. Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента корреляции	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	Отсутствует	-
0 < r < 1	Прямая	С увеличением х увеличивается у
-1 < r < 0	Обратная	С увеличением х уменьшается у, и наоборот
r = 1	функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента:

Если расчетное значение t_p > t_kp (табличное), то гипотеза H₀: r_yx = 0 отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической зависимости между х и у.

Пример. По данным таблицы 8.4. оценить тесноту связи между стоимостью активов (у) и кредитными вложениями (х₁), используя различные модификации расчета линейного коэффициента корреляции. Проверить его значимость.

Решение.

;

;

; ;

;

;

. Связь прямая, сильная.

Найдем линейный коэффициент корреляции используя другую формулу:

Результаты идентичны.

Проверим значимость :

;

.

Так как , то коэффициент корреляции значим.

Теснота связи при криволинейной зависимости измеряется с помощью корреляционного отношения. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение:

.

По данным таблицы 8.3, а также рассчитав и , можно определить эмпирическое корреляционное отношение. Для этого построим вспомогательную таблицу:

25.0	-15,5	240,25	8	1922,00
37.2	-3,3	10,89	9	98,01
42.6	2,1	4,41	14	61,74
51.7	11,2	125,44	6	752,64
55.0	14,5	210,25	3	630,75
Итого	-	-	40	3465,14

Следовательно,

Эмпирическое корреляционное отношение

. Связь сильная.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативными и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

,

где - дисперсия теоретических значений результативного признака, рассчитанная по уравнению множественной регрессии;

- остаточная дисперсия;

- общая дисперсия результативного признака.

В случае оценки тесноты связи между результативным (У) и двумя факторными признаками (х₁ и х₂) множественный коэффициент корреляции можно определить по формуле

,

где r- парные коэффициенты корреляции между признаками.

Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется на основе F- критерия Фишера:

Гипотеза H₀ о незначимости коэффициента множественной корреляции (H₀ : R = 0) отвергается, если F_p > F_kp (; v₁ = 2; v₂ = n – 3).

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 < R < 1.

Пример. По данным табл. 8.4. рассчитать коэффициент множественной корреляции и проверить его значимость.

Решение.

,

где - парные коэффициенты корреляции между признаками

=0,78; =0,95; .

=0,95.

Связь сильная, факторы х₁ и х₂ практически полностью обуславливают величину у.

Проверим значимость коэффициента множественной корреляции.

Гипотеза о незначимости коэффициента корреляции отвергается, так как F_kp=6.94 (=0.05; v₁=2, v₂=n – 3 =4).

F_p=18.51 > F_kp = 6.94.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками х₁ и х₂ при фиксированном значении других факторных признаков, т.е. когда влияние х₃ исключается (в этом случае оценивается связь между х₁ и х₂ в «чистом виде»).

В случае зависимости у от двух факторных признаков х₁ и х₂ коэффициент частной корреляции принимает вид:

;

,

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – х₁.

Пример. По данным таблицы 8.4. рассчитать частные коэффициенты корреляции и проверить их значимость.

Решение.

; ; .

;

.

Методы изучения связи социальных явлений.

Важной задачей статистики является разработка методики статистической оценки социальных явлений, которая осложняется тем, что многие социальные явления не имеют количественной оценки. Количественная оценка связей социальных явлений осуществляется на основе расчета и анализа целого ряда коэффициентов.

Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, т.е. состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (например, хороший, плохой).

Таб.8.6. Таблица для вычисления коэффициентов

ассоциации и контингенции

a	b	a + b
c	d	c + d
a + c	b + d	a + b + c + d

Коэффициенты вычисляются по формулам:

ассоциации: ;

контингенции: .

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если К_а > 0.5 или К_k > 0.3.

Пример. Исследовалась социально-демографическая характеристика случайных потребителей наркотиков в зависимости от их семейного положения в одном из регионов РФ (тыс. чел.). Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Группы потребителей наркотиков	Семейное положение		Всего
	замужем (женат)	не замужем (не женат)
Потреблял	10,0	14,5	24,5
Не потреблял	2,5	4,5	7,0
итого	12,5	19,0	31,5

Рассчитать коэффициенты ассоциации и контингенции.

Решение.

;

Вывод. Так как К_а < 0.5 и К_k < 0.3, то потребление наркотиков случайными потребителями не зависит от их семейного положения.

Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова, которые вычисляются по следующим формулам:

,

где ² – показатель взаимной сопряженности;

² – определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки минус 1:

,

где К₁ – число значений (групп) первого признака;

К₂ – число значений (групп) второго признака.

Чем ближе величины К_П и К_Ч к 1, тем связь теснее.

Рассмотрим вспомогательную таблицу для расчета коэффициента взаимной сопряженности: