Тема 6. Выравнивание вариационных рядов (построение теоретических распределений)

Одна из важнейших задач анализа вариационных рядов заключается в выявлении закономерности распределения и определении ее характера. Основной путь в выявлении закономерности распределения – построение вариационных рядов для достаточно больших совокупностей. Большое значение для выявления закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда: выбор числа групп и размера интервала варьирующего признака.

Когда мы говорим о характере, типе закономерности распределения, то имеем в виду отражение в нем общих условий, определяющих вариацию. При этом речь всегда идет о распределениях качественно однородных явлений. Общие условия, определяющие тип закономерности распределения, познаются анализом сущности явления, тех его свойств, которые определяют вариацию изучаемого признака. Следовательно, должна быть выдвинута какая-то научная гипотеза, обосновывающая определенный тип теоретической кривой распределения.

Под теоретической кривой распределения понимается графическое изображение ряда в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариантов (значений признака). Теоретическое распределение может быть выражено аналитически – формулой, которая связывает частоты вариационного ряда и соответствующие значения признака. Такие алгебраические формулы носят название законов распределения.

Из многих форм кривых распределения, по которым может выравниваться вариационный ряд, есть необходимость ознакомиться с двумя: нормальным распределением и распределением Пуассона.

График нормального распределения имеет форму колоколообразной кривой, симметричной относительно , концы которой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Она имеет точки перегиба, абсциссы которых находятся на расстоянии  от центра симметрии. Эта кривая выражается уравнением:

где у – ордината кривой нормального распределения;

- нормированные отклонения.

-2 - + +2

Рис.6.1. Кривая нормального распределения

При выравнивании вариационного ряда по кривой нормального распределения теоретические частоты ряда определяются по формуле

где N= f – сумма всех частот вариационного ряда;

h – величина интервала в группах (классах);

 - среднее квадратическое отклонение;

- нормированное отклонение вариантов от средней арифметической.

Значение ординат кривой нормального распределения будет соответствовать величине , которая табулирована и определяется по таблицам значений данной функции  (t).

Как видно из формулы, основными параметрами кривой нормального распределения являются и . По этим характеристикам ее и можно построить.

Распределение Пуассона. В целом ряде случаев, если вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где по мере увеличения значений признака х частоты резко уменьшаются и где средняя арифметическая ряда равна или близка по значению к дисперсии, т.е. =², то такой ряд можно выровнять по кривой Пуассона, аналитическое выражение которой

Где Р_х – вероятность наступления отдельных значений х;

– средняя арифметическая ряда.

Р_х

Х

Рис. 6.2. Кривая Пуассона.

Теоретические частоты при выравнивании эмпирических данных определяются по формуле

,

где f ^’- теоретические частоты;

N – общее число единиц ряда.

Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в генеральной совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению. Может проводиться и сравнение частостей.

Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о биноминальном распределении, распределении Пуассона и т.д. Причина частого обращения к нормальному распределению в том, что в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния. Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем математической статистики, применяемых для оценки репрезентативности выборок, при измерении связей и т.д. В социально-экономической статистике нормальное распределение встречается редко, но сравнение с ним важно для выяснения степени и характера отклонения от него фактического распределения.

Можно отметить, что близость средней арифметической величины, медианы и моды указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Но более полная и точная проверка соответствия распределения гипотезе о нормальном или другом законе распределения производится с использованием специальных критериев согласия.

Критерии согласия.

После выравнивания ряда, т.е. нахождения теоретических частот, возникает необходимость проверить, случайны или существенны расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и тем самым проверить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о наличии того или иного характера распределения в эмпирическом ряду.

Для оценки близости эмпирических (f) и теоретических (f ^’ ) частот можно применить один из критериев согласия: критерий Пирсона (² – «хи-квадрат»), критерий Романовского, критерий Колмогорова ( - «лямбда»).

Критерий Пирсона (²) представляет собой сумму отношений квадратов расхождений между f и f ^‘ к теоретическим частотам:

.

Фактическое значение ² сравнивают с критическим, определяемым по специальным таблицам в зависимости от принимаемого уровня значимости и числа степеней свободы.

Уровень значимости () – вероятность допуска ошибки в утверждении гипотетического закона (характера) распределения – обычно принимается равным 5 % или 1 % (=0,05 или =0,01).

Число степеней свободы (k) рассчитывается как число групп (m) в ряду распределения минус единица и минус число параметров эмпирического распределения, использованных для нахождения теоретических частот. Так, при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы k = m-1-2, поскольку при расчете теоретических частот используется два параметра эмпирического распределения: и , т.е. k = m –3.

Если фактическое ² оказывается меньше табличного (критического), то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными.

При отсутствии таблиц для оценки случайности расхождений теоретических и эмпирических частот можно воспользоваться критерием Романовского

Если указанное отношение меньше 3, то расхождения считают случайными, если больше 3, то они существенны.

Критерий Колмогорова () основан на определении максимального расхождения между накопленными частостями или частотами эмпирического и теоретического распределений:

где d – максимальная величина расхождений между накопленными частостями;

N – число наблюдений, или сумма всех частот.

Если пользоваться не накопленными частостями, а частотами (абсолютными показателями), то формула примет вид

где D – максимальная разность между накопленными частотами;

N – сумма всех частот.

Рассмотрим несколько примеров расчета критериев согласия.

Пример1.

Пусть имеется следующее распределение 200 проб нити по крепости (графы 1 и 2 таблицы).

Исходя из гипотезы о нормальном распределении результатов испытаний необходимо выравнять ряд по кривой нормального распределения (т.е. рассчитать теоретические частоты) и оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев согласия: Пирсона (²), Романовского и Колмогорова ().

Крепость нити, г	Число проб	Середина интервала			(t)	154*(t)f ‘
1	2	3	4	5	6	7
120 – 130	1	125	-36,4	-2,80	0,008	1
130 – 140	8	135	-26,4	-2,03	0,051	8
140 – 150	27	145	-16,4	-1,26	0,180	28
150 – 160	58	155	-6,4	-0,49	0,354	55
160 – 170	56	165	3,6	0,28	0,384	59
170 – 180	34	175	13,6	1,05	0,230	35
180 – 190	14	185	23,6	1,82	0,076	12
190 – 200	2	195	33,6	2,58	0,014	2
Итого	200	-	-	-	-	200

Для нахождения теоретических частот используем формулу:

, или

где - нормированные отклонения от средней, т.е. и  - основные параметры кривой нормального распределения.

С них и начнем свои расчеты. Опуская вычисления, запишем результаты:

1. = 161,4;

2.  = 13.

Дальнейшие расчеты таковы:

3. находим отклонения отдельных вариантов от средней (графа 4);

4. делим каждое отклонение на , т.е. находим нормированные отклонения (графа 5);

5. зная t, находим по таблицам (t) (графа 6);

6. рассчитаем постоянный множитель const = Nh/. В нашем примере const = 200*10/13 = 154;

7. умножая последовательно 154 на (t)и округляя результаты до целых чисел, находим теоретические частоты (графа 7).

Как видно из таблицы, теоретические частоты (f ^‘) , близки к эмпирическим (f), хотя отдельные расхождения имеют место.

Для суждения о случайности или существенности этих расхождений используем ряд критериев согласия:

1. Критерий Пирсона:

Расчет этого критерия рассмотрен в таблице:

f	f ‘	f – f ‘	(f – f ‘)2	(f – f ‘)2/f ‘
1	1	0	0	0
8	8	0	0	0
27	28	-1	1	0,04
58	55	3	9	0,16
56	59	-3	9	0,15
34	35	-1	1	0,03
14	12	2	4	0,33
2	2	0	0	0
200	200	-	-	2 = 0,71

В рассматриваемом примере ряд имеет 8 групп (классов) вариантов, следовательно, и 8 групп частот. Поэтому число степеней свободы для последних (при выравнивании по кривой нормального распределения) k = 8 – 3 = 5. Примем наиболее часто используемый уровень значимости  = 0,05 и обратимся к таблицам («Значения ² – критерия Пирсона» при различных значениях уровня значимости (0,05; 0,01 и т.д.)).

По таблицам значений ²- критерия Пирсона для степеней свободы k = 5 и уровня значимости  = 0,05 определяем, что ²_табл.= 11,07. Так как полученное в задаче фактическое значение ²_факт.= 0,71, т.е. меньше табличного, то, следовательно, можно считать случайными расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами и выдвинутая гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не опровергается.

2. Применим критерий Романовского:

Поскольку 1,4 3, то можно считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными.

3. Попробуем проверить нашу гипотезу с помощью критерия Колмогорова ( ). Для этого запишем накопленные частоты эмпирического и теоретического распределений и найдем максимальный разрыв между ними:

f	f ’	Накопленные частоты		s – s’ 
		эмпирическое (s)	теоретическое (s’)
1	1	1	1	0
8	8	9	9	0
27	28	36	37	1
58	55	94	92	2
56	59	150	151	1
34	35	184	186	2
14	12	198	198	0
2	2	200	200	0

Максимальный разрыв D = 2, поэтому =

По таблицам значений функции P() находим для  = 0,2, что Р = 1,000. Следовательно, вполне можно полагать, что расхождения между f и f ^‘ носят случайный характер.

Пример 2.

В течение рабочей недели производилось наблюдение за работой 50 станков и регистрировались неисправности, требовавшие остановки станков для их регулировки. Результаты наблюдений следующие:

Число неисправностей (х)	0	1	2	3	4	5
Число станков (f)	14	16	10	7	2	1

Требуется:

1) вычислить вероятности и теоретические частоты числа неисправностей, считая, что распределение последних подчиняется закону Пуассона;

2. оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев Пирсона, Романовского и Колмогорова.

Решение:

а) Рассчитаем среднее число неисправностей:

б) Находим по таблицам значение =0,2466.

в) Подставляя в формулу значения = 0,1,2,3,4,5 получаем вероятности числа неисправностей от 0 до 5.

г) Умножив последние на 50 (общее число единиц распределения), получим теоретические частоты числа неисправностей, т.е.

.

Значения и (округленные до целого числа) показаны в приводимой ниже таблице:

	(теоретические частоты)= 50
0,2466	12
0,3452	17
0,2417	12
0,1128	6
0,0395	2
0,0111	1
Итого	50

Для оценки близости эмпирических и теоретических частот воспользуемся критериями Пирсона, Романовского и Колмогорова.

1. Критерий Пирсона: .

Все расчеты показаны в таблице:

	f	f ‘	f - f ‘	(f - f ‘ )2	(f - f ‘ )2/f ‘
0	14	12	2	4	0.33
1	16	17	-1	1	0.06
2	10	12	-2	4	0.33
3	7	6	1	1	0.17
4	2	2	0	0	0
5	1	1	0	0	0

Фактическое значение .

Находим критическое (табличное) значение при k = 6 – 2 =4 и , . Так как , т.е. 0.89 9.49, то имеем все основания считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными, а следовательно, не опровергнутой гипотезу о том, что распределение числа неисправностей подчиняется закону Пуассона.

2. Применим критерий Романовского: = .

Следовательно, расхождения случайны.

3. По критерию Колмогорова получаем: .

Накопленные частоты
Эмпирические (s)	Теоретические (s‘ )
14	12	2 (D)
30	29	1
40	41	1
47	47	0
49	49	0
50	50	0

Таким образом, .

По таблицам находим, что P( ) 1.

Итак, все три критерия оценивают расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами как случайные, не опровергая тем самым выдвинутую гипотезу о том, что распределение станков по числу неисправностей подчиняется закону Пуассона.