Логические законы.

Логические выражения называются равносильными если их истинные значения совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.

В алгебре логики имеется ряд законов позволяющих производить равносильные преобразования логических операций.

Законы:

1. Закон двойного отрицания A=Ẫ

2. Переместительный закон (коммутативность)

1. avb = bva

2. a^b=b^a

3. Сочетательный закон

1. (a v b) v c= a v (b v c ) = (a v c) v b

2. (a ^ b) ^c = a^(b^c) = (a^c)^b

4. Распределительный закон

1. (a v b) ^ c= (a v c) v (b^c)

2. (a v b) vc = (avc)^(bvc)

5. Закон общей инверсии закон Де Моргана

1. ┐(Avb) = ┐a^┐b

2. ┐ (A^b)= ┐av┐b

6. Закон идемпотентности

1. Ava=a

2. A^a=a

7. Законы исключения констант

1. A v 1 =1 ; av0 =a

2. A^1=a ; a v 0 =0

8. Закон противоречия

A^a=0

9. Закон исключения третьего

Ava=1- Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе всегда ложь, третьего не дано.

10. Закон поглощения

1. A v (a ^ b)=a

2. A^ (avb)=a

11. Закон исключения (склеивания)

1. (avb)v(a ^b)=b

2. (Avb)^(avb)=b

12. Закон контропозиции (правило перевёртывания)

(a b) = (b a)

01.10.13.

Упростите логические формулы.

№1: ┐(x v y) * ( x * ┐y) = ┐x ^ ┐y^ (x ^ ┐y)= ┐x ^ x ^(┐y^ ┐y)= ┐x ^x ^┐y = 0^┐y = 0

№2: ┐X*Y v ┐(XvY)vX= ┐XvY v (┐Xv X)^ (┐YvX) = ┐XvY v 1^ (┐YvX) = ┐X v Y v ┐Y vX = 1 v 1 = 1

№3: (X v Y ) * (┐X v Y) * ┐( X v Y) = Y ^┐X

a	b	┐x	Y^┐X
0	0	1	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	0	0

№4: X*┐Y v ┐X*Y*Z v X*Z = X^┐Y v Z (┐X*YvX)= X*┐Y v Z *(1*Y)= X*┐Y v Z*Y

№5: ┐(X*Yv┐Z)= ┐Xv┐Y*Z

№6: X*Y v X*Y*Z v X*Z*P = X*(Y*(1vZ) v Z*P = X*(Y*Z v Z*P) = X*(Z*(YvP)

№7: ┐(XvY ┐Z) v ┐(┐X v Y v ┐Z) = ┐X^┐Y*Z v X^┐Y^Z= 1^ ┐Y*Z ^┐Y^Z

02.10.13.

Логические функции.

Логической функцией называют функцию F(x₁...x_n) аргументы которой x₁ логические переменные и сама функция принимает значения 0 или 1. Таблицу показывающую какие значения принимает логические функции при всех сочетаний значений и её аргументов называют таблицей истинностей логической функции. Таблица истинности логической функции n аргументов содержит 2ⁿ строк, n столбцов значений аргументов и один столбец значений функции.

Логические функции могут быть заданы табличным способом или аналитическим в виде соответствующих формул.

Существуют 16 различных логических функций от 2 переменных:

аргументы		Логические функции
а	b	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15	F16
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Если логическая функция представлена с помощью базовых логических функций (дизъюнкцией, конъюнкцией, инверсией), то такая форма представлений называется нормальной.

Пример:

Выразите через базовые логические функции следующие функции:

1) F₉ (x,y) = ┐x* ┐y; F₉(x,y) = ┐ F₈(x,y)

2) F₁₅(x, y) = ┐X v ┐Y; F₁₅(x, y) = ┐(x*y)

3) F₃(x, y) = ┐F₁₄(x, y) = ┐ (┐X v Y) = X ^ ┐Y

4) F₅(x, y) = ┐(F₁₂(x, y)) = ┐ X v Y

5) F₇(x, y) = ┐F₁₀ (x, y)= ┐(X Y )= (X v Y)^( ┐X v Y)= (┐X^┐Y)v(X^┐Y)

6) F₁₀(x,y) = ┐F₇ (x, y) = X Y = (┐X v Y)^( ┐Y v X)

7) F₁₁(x,y) = ┐F₆ (x, y) = ┐Y

8) F₁₂ (x,y) = ┐F₅ (x, y) = ┐(X v ┐Y) = ┐X ^ Y

9) F₁₃(x, y) = ┐F₄ (x, y) = ┐X

10) F₁₄(x, y) = ┐F₃ (x, y) = ┐(┐X v Y) = X^ ┐Y

08.10.13.