Тесты по модулям к дисциплине «Дискретная математика»

Тест 0 (Входной)

1. Область дискретной математики –

□ - условные математические ожидания, система случайных величин, нормальный

закон распределений, случайные процессы, предельные вероятности;

□ - математическая логика, теория множеств, графы, кодирование, автоматы.

2. Аппарат дискретной математики необходим –

□ - при эксплуатации современных компьютеров, средств передачи и разработки

программ для обработки информации (для специалистов в области информатики

и вычислительной техники)

□ - для построения вероятностных моделей и реализации этих методов на реальных

задачах естествознания; вероятностные модели обеспечивают точность и

надёжность статистических выводов.

3. Определение вида отображений множества – биекции

□ - Отображения на множество – соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элементу множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В;

□ - Отображение во множество – соответствие при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элементу множества В, а каждому элементу множества В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества А во множество В;

□ - Отображение множества А на множество В, при котором каждому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно-однозначным соответствием между двумя множествами.

Тест к модулю 1 [ЛОГИЧЕСКИЕ (БУЛЕВЫ) ФУНКЦИИ]

1. Основные булёвы операции

□ - Комментарии, упражнения, метаобозначения, числовые множества, совокупности;

□ – Дизъюнкция, конъюнкция, отрицание, импликация (следование), эквивалентность (равнозначность);

2. Законы (тавтологии) определяющие свойства введённых логических операций

□ - Идемпотентность, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность

(дизъюнкции и конъюнкции);

□ - Размещения, перестановки, сочетания, инверсии, мультимножества;

3. Какие из следующих четырёх теорем верны?

Т₁. Если каждое из натуральных чисел делится на 7, то и их сумма делится на 7.

Т₂. Если сумма двух чисел делится на 7, то каждое слагаемое делится на 7.

Т₃. Если сумма двух чисел не делится на 7, то ни одно из слагаемых не делится на 7.

Т₄. Если сумма двух чисел не делится на 7, то хотя бы одно из слагаемых не делится на 7.

3. Признаки равносильности формул

□ - Две формулы А и В алгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда каждая их них является логическим следствием другой.

□ - Две формулы А и В алгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда формула А ⇔ В - тавтология. (⇔ - равносильность высказывательных форм).

□ - Пусть А – формула, тогда Ā – тоже формула. Свободные и связанные переманные формулы Ā – это соответственно свободные и связанные переменные формулы А.

□ - Пусть А и С - формулы, причём нет таких предметных переменных, которые были бы связаны в одной формуле и свободны в другой.

Тест к модулю 2 [Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания]

1. В определения внести соответствующие названия операций над сложными высказываниями [отрицание (не), дизъюнкция (строгая (либо) и нестрогая (или), конъюнкция (и), импликация (если … то), эквиваленция (тогда и только тогда)]

…………… высказываний А и В называется высказывание А ↔ В, которое истинно тогда и только тогда, когда либо истинны, либо ложны одновременно оба высказывания;

……………. высказываний А и В называется высказывание А → В, которое ложно тогда и только тогда, когда из истины следует ложь;

……………. высказываний А и В называется высказывание А ⊂ В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно только одно из этих высказываний;

……………. высказываний А и В называется высказывание АВ, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания;

.................. нестрогой или соединительной высказываний А и В называется высказывание А ⋁ В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний;

…………… или инверсией, высказывания А называется высказывание Ā, которое истинно, когда высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.

2. Операции логики изобразить кругами Эйлера

- отрицание, инверсия

- нестрогая дизъюнкция (соединительная)

- строгая дизъюнкция (разделительная)

- конъюнкция

- импликация (следование)

- тождественность, равносильность, эквиваленция.

Тест к модулю 3 [ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ]

1. Внести соответствующие названия формул - дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) или конъюнктивная нормальная форма (КНФ):

- АВС ∨ АВ ∨ СВ ∨ С

 - (А ∨ В ∨ С) (А ∨ С) В

- Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных произведений (конъюнктивных одночленов) называется ДНФ данной формулы.

- Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных сумм (дизъюнктивных одночленов), называется КНФ данной формулы.

2. Тождественно истинная формула не имеет

 - СДНФ

 - СКНФ

3. Тождественно ложная формула не имеет

 - СДНФ

 - СКНФ

4. Внести соответствующие названия свойств СДНФ (1) или СКНФ (2):

 - ни одно слагаемое не содержит одновременно двух одинаковых сомножителей;

 - ни один из сомножителей не содержит двух одинаковых слагаемых;

 - ни одно слагаемое не содержит одновременно некоторое высказывание и его отрицание;

 - ни один из сомножителей не содержит одновременно некоторое переменное высказывание и его отрицание.

Тест к модулю 4 [Полиномы Жегалкина]

1. С помощью конъюнкции и суммы по модулю два (М2 или строгой дизъюнкции) любую логическую функцию можно единственным образом представить в виде:

 - многочлена;

 - полинома Жегалкина;

 - логики предикатов;

 - математических понятий.

2. Если функцию xy будем искать в виде многочлена с неопределёнными коэффициентами: xy = a ⊕ bx ⊕ cy ⊕ dxy, является или нет итоговое уравнение xy = x ⊕ xy полиномом Жегалкина:

 - да;

 - нет.

3. Какая из предложенных операций не является константой?

 - x ⊕ x = 0

 - x ⊕ 1 = x

 - у ⊕ ӯ = 0

 - x ⊕ 0 = x

4. Для суммы М2 справедлива или нет формул

__________

у ₁ ⊕ у ₂ = ӯ₁ ⊕ у₂ = у ₁ ⊕ ӯ₂

 - нет

 - да

Тест к модулю 5 [ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ]

1. Покажите, что всякий связный граф с m имеет не менее m - 1 рёбер.

2. На какие графы накладываются требования – а) направление каждой дуги должно совпадать с направлением пути; б) ни одно ребро не должно встречаться дважды:

 - не ориентированный граф;

 - орграф.

3. Какие матрицы связаны с неориентированными и ориентированными графами?

В чём их сходство? В чём состоит различие?

4. Матрицы смежности и матрицы инцидентности, привести примеры.

5. Пусть граф G задан матрицей смежности А. Построить диаграмму этого графа, если

0. 1 0 1 0 1

1. 0 1 1 0 1

0. 1 0 1 0 1

1. 1 1 1 1 0

0. 0 1 0 0 1

1. 1 1 1 1 0

6. При задании графа матричным способом известны условия

b_ij = 1, если вершина V_i является началом дуги X_j,

b_ij = 0, если вершина V_i не инцидентна дуге X_j,

b_ij = -1, если вершина V_i является концом дуги X_j,.

Отметить к какой матрице (инцидентности или смежности) относится набор условий

 - матрица инцидентности не ориентированного графа;

 - матрица инцидентности ориентированного графа;

 - матрица смежности не ориентированного графа;

 - матрица смежности ориентированного графа;

Тест к модулю 6 [Матрицы и графы. Способы задания графов]

1. При задании графа матричным способом известны условия

_{M [ij]} = 1, если вершина V_i смежна вершине X_j,

_{M [ij]} = 0, если вершина V_j не смежны.

Отметить к какой матрице (инцидентности или смежности) относится набор условий

 - матрица инцидентности не ориентированного графа;

 - матрица инцидентности ориентированного графа;

 - матрица смежности не ориентированного графа;

 - матрица смежности ориентированного графа;

2. Построить орграф по матрице инциденций

│ -1 0 0 1 0 │

D: │ 1 -1 0 0 -1 │

│ 0 1 1 1 0 │

│ 0 0 -1 -1 1 │

Тест к модулю 7 [Деревья и их простейшие свойства]

1. Привести пример изображения деревьев в программировании (структура вложенности каталогов в современных операционных системах [ПК] является упорядоченным ориентированным деревом).

2. Конкретное применение деревьев в программировании:

 - деревья сортировки;

 - деревья упорядочивания;

 - бинарные деревья;

 - свободные деревья;

 - выровненные и полные деревья.