1.6 Знаходження передаточної функції та складання характеристичного рівняння сар

Для аналізу стійкості САР необхідно знайти передаточну функцію системи в цілому.

Спочатку знайдемо ПФ розімкненої системи (з розірваним зворотним зв’язком) - W_роз(p) :

де W_п (p) – передаточна функція прямої гілки;

W_зз (p) – передаточна функція гілки зворотного зв'язку.

Знаходимо ПФ замкненої САР W_замк(p), використовуючи для цього формулу:

Підставимо в формулу значення W_роз(p) та враховуючи, що W_зз(p) в даному прикладі дорівнює одиниці (оскільки в колі зворотного зв'язку ланки відсутні), отримаємо вираз для розрахунку W_замк(p).

Знаменник отриманого виразу – це характеристичний поліном замкненої системи:

_{Характеристичне рівняння:}

_(*)

1.7 Аналіз стійкості сар

1.7.1 Аналіз стійкості сар за критерієм Гурвіца

Автоматична система, описувана характеристичним рівнянням

стійка, якщо при a₀> 0 додатні всі визначники Δ₁, Δ₂,. . . Δ_n виду

Якщо хоча б один з визначників, званих визначниками Гурвіца, від'ємний, то система нестійка. Якщо головний визначник Δ_n =0, а всі інші визначники позитивні, то система знаходиться на межі стійкості.

Визначник Гурвіца складають таким чином: усі коефіцієнти характеристичного рівняння від а₁ до а_n розташовують за головною діагоналлю в порядку зростання індексів. Вгору від головної діагоналі, в стовпцях, записуються коефіцієнти характеристичного рівняння з послідовно зростаючими, а вниз – з убутними індексами. На місцях коефіцієнтів індекси яких більше ніж n і менше ніж нуль, проставляють нулі.

Підставляючи коефіцієнти отриманого характеристичного рівняння у визначник Гурвіца одержимо матрицю розміром 3х3.

За критерієм Гурвіца система стійка коли всі коефіцієнти та визначник додатні.

Підставляючи коефіцієнти отриманого характеристичного рівняння у визначник Гурвіца одержимо матрицю розміром 3х3.

За критерієм Гурвіца система стійка коли всі коефіцієнти та визначник додатні.

Отже, ситема САР є стійкою.

1.7.2 Аналіз стійкості за критерієм Михайлова

Критерій Михайлова – це частотний критерій, що дозволяє судити про стійкість замкнутої системи по поведінці її характеристичного вектора на комплексній площині. Характеристичний вектор отримують шляхом підстановки у вираз для характеристичного полінома

,

значення . Тоді характеристичний вектор представляється комплексною величиною, визначуваною як:

,

Формулювання критерію: для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб її характеристичний вектор при зміні частоти від 0 до обернувся в

позитивному напрямі (проти годинникової стрілки), починаючи з позитивної речової осі на число квадрантів, рівне порядку характеристичного рівняння.

Аналіз стійкості САР проводиться з використанням характеристичного рівняння. Для цього замінимо комплексну змінну p на jω і отримаємо вектор Михайлова:

(**)

Виділимо в рівнянні (**) дійсну Re(ω) та уявну jIm(ω) частин.

Висновок: Оскільки годограф починається на позитивній дійсній піввісі та обертаться проти годинникової стрілки, то за критерієм Михайлова система стійка.