32 “ Общие принципы организации и математические модели систем управления техническими системами ”

Центральной концепцией теории систем, кибернетики, системного подхода, всей системологии является понятие системы. Формулировки определений системы выглядят просто как фиксация того или иного этапа процесса развития понятия системы. Цели, которые ставит перед собой человек, редко достижимы только за счет его собственных возможностей или внешних средств, имеющихся у него в данный момент. Такое стечение обстоятельств называется проблемной ситуацией. Другими словами, система есть средство достижения цели. Это определение выдвигает на первый план целевую подчиненность всех сторон организации системы. Однако даже на простых примерах обнаруживаются сложности: соответствие между целями и системами не всегда однозначно (одна система может быть связана с несколькими целями, одной цели могут отвечать разные системы) и не всегда очевидно (выявить действительные цели существующей системы непросто). Тем не менее целевая предназначенность системы - ее исходное, главное свойство. Те части системы, которые мы рассматриваем как неделимые, будем называть элементами. Части системы, состоящие более чем из одного элемента, назовем подсистемами. В результате получается модель состава системы, описывающая, из каких подсистем и элементов она состоит. Модель состава ограничивается снизу тем, что считается элементом, а сверху -границей системы. Как эта граница, так и границы разбиения на подсистемы определяются целями построения модели и, следовательно, не имеют абсолютного характера. Это не означает, что сама система или ее состав нереальны. Мы имеем дело не с разными системами, а с разными моделями системы. Системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения со временем, будем называть динамическими, а модели, отображающие эти изменения, - динамическими моделями систем. Для разных объектов и систем разработано большое количество динамических моделей, описывающих процессы с различной степенью детальности: от самого общего понятия динамики, движения вообще, до формальных математических моделей конкретных процессов типа уравнений движения в механике или волновых уравнений в теории поля. Типы моделей прослеживаются при более глубокой формализации динамических моделей. При математическом моделирований некоторого процесса его конкретная реализация описывается в виде соответствия между элементами множества Х возможных "значений" х и элементов упорядоченного множества Т "моментов времени" t, т.е. в виде отображения Т Х: x(t) X^T, t Т. С помощью этих понятий можно строить математические модели систем. Необходимо строить математические модели систем, выход которых определяется не только значением входа в данный момент времени, но и теми значениями, которые были на входе в предыдущие моменты. Более того, в самой системе с течением времени как под влиянием входных воздействий, так и независимо от них могут происходить изменения, что также следует отразить в модели. В наиболее общей модели вводится понятие состояния системы как некоторой (внутренней) характеристики системы, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины. Состояние можно рассматривать как своего рода хранилище информации, необходимой для предсказания влияния настоящего на будущее. Обозначим это состояние через z(t). Все сказанное выше означает существование такого отображения : Z T Y, что y(t)=(t, z(t)), t Т. Явная зависимость  от t введена для учета возможности изменения зависимости выхода от состояния с течением времени. Это отображение называется отображением выхода. Для завершения построения модели нужно описать связь между входом и состоянием, т.е. ввести параметрическое семейство отображений _: Z X(•) Z, заданных для всех значений параметров tТ, T и t. Это означает принятие аксиомы о том, что состояние в любой момент t> однозначно определяется состоянием z_ в момент  и отрезком реализации входа х(•) от  до t: z(t)=_(z_, х(•))=(t; , z_, х(•)).Такое отображение называют переходным отображением. Итак, математическая модель системы - это задание множеств входов, состояний и выходов, и связей между ними: X |_Z |_Y . Конкретизируя множества X, Z и Y и отображения  и , можно перейти к моделям различных систем. Так, говорят о дискретных и непрерывных по времени системах в зависимости от того, дискретно или непрерывно множество Т. Далее, если множества X, Z и Y дискретной по времени системы имеют конечное число элементов, то такую систему называют конечным автоматом. Это довольно простой класс систем в том смысле, что для исследования конечных автоматов необходимы лишь методы логики и алгебры; в то же время это широкий и практически важный класс, так как в него входят все дискретные (цифровые) измерительные, управляющие и вычислительные устройства, в том числе и ЭВМ. Если X, Z и Y - линейные пространства, а  и  - линейные операторы, то и система называется линейной. Если к линейной системе дополнительно предъявить требования, состоящие в том, чтобы пространства имели топологическую структуру, а  и  были бы непрерывны в этой топологии, то мы приходим к гладким системам. Отображение процессов, происходящих в системе и в окружающей ее среде, осуществляется с помощью динамических моделей. Все указанные типы моделей являются формальными, относящимися к любым системам и, следовательно, не относящимися ни к одной конкретной системе. Чтобы получить модель заданной системы, нужно придать формальной модели конкретное содержание, т.е. решить, какие аспекты реальной системы включать как элементы модели избранного типа, а какие - нет, считая их несущественными. Этот процесс, обычно неформализуем, поскольку признаки существенности или несущественности в очень редком случае удается формализовать (к таким случаям относится, например, возможность принять в качестве признака существенности частоту встречаемости данного элемента в различных подобных, т. е. одинаково классифицируемых, системах). Столь же слабо формализованными являются признаки элементарности и признаки разграничения между подсистемами. В силу указанных причин, процесс построения содержательных моделей является процессом интеллектуальным, творческим. Тем не менее интуиции эксперта, разрабатывающего содержательную модель, немало помогают формальная модель и рекомендации по ее наполнению конкретным содержанием. Модель - это материальный или мысленно представляемый объект или процесс, который в процессе извлечения информации замещает оригинал, сохраняя его основные свойства. Математическая модель - это формализованная схема описания явления, объекта или процесса, выраженного на математическом языке и отражающая его основные свойства. Создание мат. модели делится на три этапа: Выбор параметров задачи (переменные, неизвестные), выбор которых однозначно определяет моделируемую задачу; Запись математической модели, т.е. запись условий задачи в виде математических соотношений; Постановка цели на сформулированные модели.