Примеры:
1) (ℤ, +, ) – коммутативное кольцо целых чисел, являющееся областью целостности. По сложению – абелева группа, по умножению – абелева полугруппа. Умножение дистрибутивно относительно сложения.
2) Множества ℚ, ℝ, ℂ образуют кольца по сложению и умножению.
3) Множество четных чисел, а также множество целых чисел, кратных произвольному целому числу а: {…, ‑na,…,‑2a, ‑a, 0, a, 2a,…,na,…} – является коммутативным кольцом относительно обычных действий сложения и умножения.
4) Алгебраические системы (ℕ, +, ) и (ℚ>0, +, ) кольцами не являются.
5) Множество многочленов а0+а1х+ а2х2++ аnхn с коэффициентами из некоторого кольца является кольцом относительно почленного сложения и почленного умножения многочленов.
6) Множество классов вычетов по модулю m относительно сложения и умножения классов образует коммутативное кольцо классов вычетов по модулю m и обозначается ℤm. Рассмотрим этот пример более подробно.
ℤm ={K0, K1, , Km‑1}, где Ki={xℤ: x mod m = i }, i=0,1,,m‑1. И для любых i и j{0,1,,m‑1} сложение классов определяется так: Ki+Kj={ x+y: xKi, yKj и (x+y) mod m = (i+j) mod m }=Kr, где r= (i+j) mod m . Нейтральным элементом по сложению является класс K0, обратным по сложению для любого класса Ki ( 1 i m‑1 ) является класс Km‑i, а для класса K0 – сам K0. Сложение классов коммутативно, ввиду коммутативности сложения целых чисел, и ассоциативно. Таким образом, (ℤm, +) – абелева группа. Произведение классов определяется так: Ki Kj=={ xy: xKi, yKj и (xy) mod m = (ij) mod m }Kr, где r= (ij) mod m . Тем самым умножение классов неограниченно применимо. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность умножения классов относительно их сложения следует из аналогичных свойств умножения целых чисел. Кроме того, класс K1 является нейтральным элементом по умножению классов вычетов по модулю m. Таким образом (ℤm, ) – абелев моноид и (ℤm, +, ) – коммутативное кольцо с единицей.
Рассмотрим кольцо (ℤ4, +, ), где ℤ4={ K0, K1, K2, K3 } и K0={ xℤ: x mod 4=0 }, K1={ xℤ: x mod 4=1 } и т.д.. Таблицы Кэли для сложения и умножения классов:
+ |
K0 |
K1 |
K2 |
K3 |
|
|
|
|
K0 |
K1 |
K2 |
K3 |
K0 |
K0 |
K1 |
K2 |
K3 |
|
|
|
K0 |
K0 |
K0 |
K0 |
K0 |
K1 |
K1 |
K2 |
K3 |
K0 |
|
|
|
K1 |
K0 |
K1 |
K2 |
K3 |
K2 |
K2 |
K3 |
K0 |
K1 |
|
|
|
K2 |
K0 |
K2 |
K0 |
K2 |
K3 |
K3 |
K0 |
K1 |
K2 |
|
|
|
K3 |
K0 |
K3 |
K2 |
K1 |
7) ℚ, ℝ, ℂ – образуют поля относительно обычного сложения и умножения. ℤ – поля не образует, т.к. относительно умножения никакие элементы, кроме «+1» и «‑1», не имеют обратных. Но ℤ образует область целостности, т.к. нет делителей нуля, т.е. из равенства ab=0 следует: либо а=0, либо b=0.
8) Множество квадратных невырожденных матриц фиксированного размера с вещественными элементами относительно операций сложения и умножения матриц образует тело.
9) Кольцо классов вычетов ℤp является полем, если p – простое число. Оно называется полем вычетов по модулю p. Легко показать, что у каждого ненулевого элемента имеется обратный. Например, в поле ℤ7 обратными друг к другу являются элементы: K1 и K1, K2 и K4, K3 и K5, K6 и K6.
ℤp – простейший пример конечного поля. Конечные поля называют полями Галуа и обозначают GF(p). Свойства полей Галуа используются в теории кодирования. Одним из важнейших таких свойств является то, что мультипликативная группа поля Галуа является циклической группой порядка (p‑1). Порождающий элемент этой группы называется примитивным. Так в поле GF(7) примитивным элементом является класс K3. Действительно, K30=K1, K32=K2, K33=K6, K34=K4, K35=K5, K36=K1, таким образом, степени элемента K3 исчерпывают все ненулевые элементы ℤ7. Заметим, что класс K2 не является примитивным элементом в ℤ7, т.к. среди его степеней нет, например, класса K3. Тогда как в полях GF(3), GF(5), GF(11) и т.д. класс K2 – примитивный элемент.
Выводы
{Не сформулированы до конца}
Список используемой литературы: