Кольца многочленов

Пусть —некоторое кольцо. Мы построим с помощью но­вого, не принадлежащего кольцу , символа х выражения вида

в которых суммирование ведется по какому-то конечному мно­жеству целочисленных значений индекса и «коэффициенты» a_v принадлежат кольцу ; например,

Такие выражения называются многочленами; символ х назы­вается переменной. Таким образом, переменная — это не что иное, как символ в вычислениях. Два многочлена называются равными, если они содержат одни и те же составляющие слагае­мые с точностью до слагаемых с нулевыми коэффициентами, ко­торые могут быть произвольно добавлены или удалены из выра­жения для многочлена.

Если по обычным правилам оперирования с буквами сложить или перемножить два многочлена f(x), g(x), рассматривая х как элемент, перестановочный с элементами кольца (ах = ха), а после этого сгруппировать все члены с одинаковыми степенями пере­менной х, то получится некоторый многочлен . В случае сложения

а в случае умножения

С помощью формул (1) и (2) мы определяем сумму и про­изведение двух многочленов и утверждаем, что:

Многочлены образуют кольцо.

Свойства сложения без каких бы то ни было новых доказа­тельств очевидны, потому что они сводятся к свойствам сложения коэффициентов a_v, b_v. Первый закон дистрибутивности следует из равенства

аналогично получается второй закон дистрибутивности. Наконец, закон ассоциативности умножения получается из того, что

Кольцо многочленов, "получаемое из , обозначается через . Если коммутативно, то коммутативно и .

Степенью отличного от нуля многочлена называется наибольшее число v, для которого . Элемент a_v с таким макси­мальным v называется старшим коэффициентом многочлена.

Многочлены нулевой степени имеют вид . Мы отождест­вляем их с элементами а₀ основного кольца , что вполне допу­стимо, ибо они складываются и умножаются точно так же, как элементы основного кольца; благодаря этому обстоятельству мно­гочлены нулевой степени образуют систему, изоморфную кольцу . Следовательно, кольцо многочленов содер­жит кольцо

Переход от к называется (кольцевым) присоединением переменной х.

Если к произвольному кольцу последовательно присоеди­нять переменные х₁ х₂, ..., х_n и строить , то получится кольцо , состоящее из всевозможных сумм вида

Мы будем считать, что в каждом таком многочлене допу­скается любая перестановка сомножителей . Таким образом, кольцо многочленов будет отождест­вляться с кольцом многочленов, получающимся путем переста­новки переменных, например, с . Это отождест­вление допустимо, так как перестановка переменных x_i не ска­зывается на определении суммы и произведения. Кольцо называют Кольцом многочленов от n переменных

В частности, если кольцо является кольцом целых чисел, то говорят о целочисленных многочленах.

Замена переменных на произвольные элементы кольца. Если многочлен над и — элемент кольца (самого кольца или кольца, содержащего ), перестановочный со всеми элементами из , то в выражение для f(x) всюду вместо х можно подставить элемент и получить таким способом значение . Если g(x) — любой другой многочлен и g( ) —его зна­чение при х = , то сумма и произведение

при х = имеют значения

Для суммы это очевидно. Для произведения вычисления прово­дятся по формуле (2):

Тем самым доказано: все соотношения между многочленами f(х), ..., g(x), ....

получающиеся при сложении и умножении, остаются в силе при замене переменной х на произвольный эле­мент кольца , перестановочный со всеми элементами из .

Соответствующая теорема справедлива и для многочленов от нескольких переменных. В частности, если кольцо коммута­тивно, то в многочлен можно подставлять вместо переменных произвольные элементы из (или из коммутатив­ного расширения кольца ). Благодаря этому многочлены назы­вают также целыми рациональными функциями от переменных

Для целочисленных многочленов без постоянного члена воз­можность подстановки элементов кольца дает большее: вместо могут быть подставлены произвольные перестановоч­ные элементы любого кольца независимо от того, содержит ли оно целые числа или нет.

Если — целостное кольцо, то и — целостное кольцо.

Доказательство. Если и и если — старший коэффициент в f(х), а —старший коэффициент в g(x), то — коэффициент при в , так что . Следовательно, делителей нуля нет.

Из этого доказательства получается

Следствие. Если — целостное кольцо, то степень много­члена равна сумме степеней f(х) и g(х).

Для многочленов от n переменных с помощью индукции не­медленно получается утверждение:

Если кольцо целостное, то кольцо тоже целостное.

Под степенью выражения понимаем сумму показателей Степенью же ненулевого многочлена называется наибольшая степень отличных от нуля составляющих его выраже­ний указанного выше типа. Многочлен называется однородным или формой, если все составляющие его выражения имеют оди­наковую степень. Произведение однородных многочленов вновь является однородным многочленом и его степень равна — при условии, что кольцо целостное, — сумме степеней сомножи­телей.

Неоднородные многочлены могут быть (однозначным образом) представлены в виде суммы однородных составляющих разных степеней. Перемножим два таких многочлена f, g степеней mиn; тогда произведение однородных составляющих высших степеней в случае целостного кольца является ненулевой формой сте­пени m+n. Все остальные составляющие произведения f•g имеют меньшую степень. Следовательно, степень многочлена f•g вновь равна m+n. Приведенная выше теорема о степени («следствие») оказывается, таким образом, верной для многочленов от любого числа переменных.

Алгоритм деления. Пусть — кольцо с единицей 1; пусть

произвольный многочлен, старший коэффициент которого , и пусть

произвольный многочлен степени . Тогда старший коэф­фициент можно обратить в нуль, если вычесть из f некоторое кратное многочлена g, а именно — многочлен . Если в результате степень окажется большей или равной n, то стар­ший коэффициент можно будет опять обратить в нуль, осущест­вляя вычитание некоторого кратного многочлена g. Продолжая таким образом, мы в конце концов получим остаток со степенью, меньшей n:

(3)

где r —многочлен степени, меньшей степени многочлена g, или, возможно, нулевой многочлен. Такая последовательность действий называется алгоритмом деления.

Если, в частности, — поле и , то предположение о том, что , излишне, потому что тогда при необходимости можно умножить g на и получить единичный старший коэффициент.