§ 5.4. Метод Рунге Кутта четвертого порядка
Пусть на отрезке [a, b] требуется найти решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
y = g(x, y), (5.4.1)
y(x0) = y0, (5.4.2)
где y0 – заданное число.
Зададим на отрезке [a, b] равномерную сетку
x = {xi / xi = xi – 1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, m; x0 = a, xm = b}, (5.4.3)
где xi, i = 0, 1, 2, …, m – узлы одномерной сетки; h – шаг сетки.
В
соответствии с методом Рунге – Кутта
четвертого порядка будем строить
приближенное решение h(x)
задачи (5.3.1) (5.3.2)
по правилу:
(
5.4.4)
где
(5.4.5)
В отличие от рассмотренных ранее разностных методов Эйлера и Адамса, в методе (5.4.4), (5.4.5) вычисления осуществляются не только в узлах сетки x, но и в промежуточных точках.
Результаты вычислений методом Рунге – Кутта удобно записывать в таблицу, аналогичную табл. 5.4.1.
Таблица 5.4.1
j |
x |
y |
K = hg(x, y) |
K |
0 |
x0 |
h(x0) |
|
|
x0 + (h/2) |
h(x0)
+
|
|
2 |
|
x0 + (h/2) |
h(x0)+
|
|
2 |
|
x0 + h |
h(x0) + |
|
|
|
h(x1) = h(x0) + h(x0) |
h(x0) |
|||
1 |
x1 |
h(x1) |
|
|
x1 + (h/2) |
h(x1)
+
|
|
2 |
|
x1 + (h/2) |
h(x1)
+
|
|
2 |
|
x1 + h |
h(x1) + |
|
|
|
h(x2) = h(x1) + h(x1) |
h(x1) |
|||
… |
… |
… |
… |
… |
В заключение сделаем несколько замечаний относительно метода Рунге Кутта.
1. Относится к семейству методов Рунге Кутта четвертого порядка. (Более подробно с методами Рунге Кутта можно ознакомиться в литературе по вычислительной математике.)
2. Метод сходится на отрезке [a, b] в соответствии с определением и имеет четвертый порядок точности.
3. Относительно большое количество вычислений, необходимых для определения приближенных значений искомой функции в каждом узле сетки x, при использовании метода (5.1.4), (5.1.5) компенсируется возможностью достижения необходимой точности в точке b при достаточно большом шаге h, что уменьшает количество узлов сетки.
4. Метод может быть легко адаптирован к решению задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим систему из двух уравнений
с начальными условиями
Будем искать решение поставленной задачи Коши на отрезке [a, b], задав на нем равномерную сетку x с шагом h.
Пусть функции h, y(x) y(x) и h, z(x) z(x) представляют собой приближенное решение задачи. Тогда метод Рунге Кутта перепишется в виде
где
K
y,1j
= h
g1(xj,h,y(xj),
h,z(xj)),
Kz,1j = h g2(xj,h,y(xj), h,z(xj)),
K y,2j = h g1(xj + h/2, h, y(xj) + Ky,1j/2, h,z(xj) + Kz,1j/2),
Kz,2j = h g2(xj + h/2, h, y(xj) + Ky,1j/2, h, z(xj) + Kz,1j/2),
K y,3j = h g1(xj + h/2, h,y(xj)+Ky,2j/2,h,z(xj)+Kz,2j/2) ,
Kz,3j = h g2(xj + h/2, h,y(xj)+Ky,2j/2,hz(xj)+Kz,2j/2) ,
K y,4j = h g1(xj + h, h,y(xj) + Ky,3j,h,z(xj)+Kz,3j) ,
Kz,4j = h g2(xj+h,h,y(xj)+Ky,3j,h,z(xj)+Kz,3j) ,
j = 0, 1, 2, …, m 1.