Глава 5. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем § 5.1. Основные понятия
В данном параграфе рассматриваются численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка формулируется следующим образом: найти функции yk = fk(x), k = 1, 2, …, n, удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений
и начальным условиям yk(x0) = y0(k), k = 1, 2, …, n, (5.1.2) где y0(k), k = 1, 2, …, n – заданные числа. |
= gk(x,
y1,
y2,
…, yn),
k = 1,
2, …, n
(5.1.1)
Более подробно эту задачу можно
сформулировать так: н
айти
функции yk
= fk(x),
k = 1, 2, …, n,
удовлетворяющие системе дифференциальных
уравнений
(5.1.3)
и начальным условиям
y1(x0) = y(1)0, y2(x0) = y(2)0, …, yn – 1(x0) = y(n – 1)0, yn(x0) = y(n)0, (5.1.4)
где y(1)0, y(2)0, …, y(n – 1)0, y(n)0 – заданные числа.
В дальнейшем предполагается, что условия теоремы существования и единственности для задачи (5.1.3), (5.1.4) выполнены.
Положим a:= x0 и будем искать решение задачи Коши (5.1.3), (5.1.4) на отрезке [a, b]. При построении численного решения получим приближенное решение задачи
(1)h(x)f1(x); (2)h(x)f2(x);…;(n – 1)h(x)fn – 1(x); (n)h(x)fn(x), (5.1.5)
которое представлено значениями функций (k)h(x), k = 1, 2, …, n в узлах заданной на отрезке [a, b] одномерной сетки
x = {xi/xi = xi – 1 + hi, hi > 0, i = 1, 2, 3, …, m; x0 = a, xm = b}, (5.1.6)
где xi, i = 0, 1, 2, …, m – узлы одномерной сетки; hi, i = 1, 2, 3, …, m – ее шаг.
Для простоты будем полагать, что сетка x равномерная: hi = h, i = 1, 2, 3, …, m. Таким образом, в результате численного решения задачи (5.1.3) (5.1.4) получим значения (k)h(x0), (k)h(x1), (k)h(x2), …, (k)h(xn) функций (k)h(x), k = 1, 2, …, n. Эти результаты удобно представлять в табличной форме (табл. 5.1.1).
Таблица 5.1.1
Номер узла |
Узлы сетки |
(1)h(x) f1(x) |
(2)h(x) f2(x) |
(3)h(x) f3(x) |
… |
(n – 1)h(x) fn – 1(x) |
(n)h(x) fn(x) |
0 |
x0 |
(1)h(x0) |
(2)h(x0) |
(3)h(x0) |
… |
(n -- 1)h(x0) |
(n)h(x0) |
1 |
x1 |
(1)h(x1) |
(2)h(x1) |
(3)h(x1) |
… |
(n -- 1)h(x1) |
(n)h(x1) |
2 |
x2 |
(1)h(x2) |
(2)h(x2) |
(3)h(x2) |
… |
(n -- 1)h(x2) |
(n)h(x2) |
…. |
… |
… |
… |
… |
... |
… |
… |
m – 1 |
xm – 1 |
(1)h(xm – 1) |
(2)h(xm – 1) |
(3)h(xm -- 1) |
… |
(n – 1)h(xm – 1) |
(n)h(xm – 1) |
m |
xm |
(1)h(xm) |
(2)h(xm) |
(3)h(xm) |
… |
(n – 1)h(xm) |
(n)h(xm) |
Как известно, к задаче (5.1.3) (5.1.4) сводится и задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка:
н
айти
функцию y = f(x),
удовлетворяющую дифференциальному
уравнению
y(n) = g(x, y, y, y(2), …, y(n – 2), y(n – 1)) (5.1.7)
и начальным условиям
(5.1.8)
где
– заданные числа (здесь
y(k)
производная k-го
порядка функции y
= f(x)).
Сведение задачи (5.1.7) (5.1.8) к решению системы дифференциальных уравнений вида (5.1.3), (5.1.4) осуществляется посредством переобозначения:
y1:= y; y2:= y(2);…; yn – 1:= y(n – 1); yn:= y(n). (5.1.9)
В результате вместо дифференциального уравнения n-го порядка (5.1.7) может быть записана система n дифференциальных уравнений первого порядка
(5.1.10)
а начальные условия (5.1.8) переписываются в обозначениях (5.1.9), что приводит к задаче вида (5.1.3), (5.1.4).
К
ак
частный случай (n = 1)
задачи (5.1.3), (5.1.4) запишем
задачу Коши для дифференциального
уравнения первого порядка, которая
может быть сформулирована следующим
образом:
н
айти
функцию y = f(x),
удовлетворяющую дифференциальному
уравнению
y = g(x, y) (5.1.11)
и начальному условию
y(x0) = y0, (5.1.12)
где y0 – заданное число.
Предположим, как и ранее, что условия теоремы существования и единственности решения задачи (5.1.11), (5.1.12) выполнены. Положим a:= x0 и будем искать решение задачи Коши (5.1.11), (5.1.12) на отрез- ке [a, b]. В результате численного решения поставленной задачи получим приближенное решение
h(x) f(x), (5.1.13)
которое представлено значениями h(x) в узлах заданной на отрезке [a, b] одномерной равномерной сетки x (5.1.6) с шагом h.
Таким образом, в результате численного решения задачи (5.1.11), (5.1.12) получаем значения h(x0), h(x1), h(x2), …, h(xm) функции h(x) – приближенное решение задачи.
В последующих параграфах данной главы будут рассмотрены конкретные численные методы решения применительно к задаче (5.1.11), (5.1.12) – задаче Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Вместе с тем рассматриваемые методы могут применяться и для решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка (5.1.3), (5.1.4).
Рассматриваемые численные методы решения задачи Коши (5.1.11), (5.1.12) можно разделить на две группы:
– многошаговые разностные методы. К ним относятся метод Эйлера (§ 5.2) и явный 4-шаговый метод Адамса (§ 5.3);
– методы Рунге – Кутта (в § 5.4 будет рассмотрен метод Рунге – Кутта четвертого порядка).
Эти методы имеют некоторые общие свойства и характеристики.
Как следует из вышесказанного, h(x) – приближенное решение, полученное в результате численного решения задачи Коши, представлено значениями в узлах одномерной равномерной сетки x с шагом h h(x0), h(x1), h(x2), …, h(xm). Расчет значений приближенного решения h(x) в узлах сетки осуществляется для всех рассматриваемых численных методов решения задачи Коши по правилу
(5.1.14)
Таким образом, отличие одного численного метода от другого заключается лишь в способе построения h(xk), k = 0, 1, 2, …, m – 1.
Важными характеристиками численного метода являются также оценки погрешности и сходимость. Погрешность метода часто оценивают с помощью так называемого порядка точности метода.
Определение 5.1.1
Численный метод решения задачи Коши (5.1.11) (5.1.12) имеет порядок точности k > 0, если существует такое число q > 0, при котором выполнено условие h(xm) – f(xm) qhk. (5.1.14) |
Определение 5.1.2
Численный метод решения задачи Коши (5.1.11) (5.1.12) сходится в точке xm = b, если выполнено условие lim (h(xm) – f(xm)) = 0. (5.1.15) h 0 |
Следует отметить, что при стремлении шага h сетки к нулю общее количество узлов m равномерной сетки x на отрезке [a, b] стремится к бесконечности.
Определение 5.1.3
Численный метод решения задачи Коши (5.1.11) (5.1.12) сходится на отрезке [a, b], если он сходится в каждой точке этого отрезка. |