Квадратурная формула трапеций
Заменим площадь под кривой y = f(x) на каждом частичном отрезке разбиения [xk, xk + 1], k = 0, 1, 2, …, n – 1 площадью прямоугольной трапеции высотой h и длинами оснований f(xk) и f(xk + 1). В результате этого получим квадратурную формулу трапеций
(4.3.19)
Составная квадратурная формула трапеций для отрезка [a, b] будет иметь вид
(4.3.20)
Для квадратурной формулы трапеций (4.3.19) оценка погрешности аппроксимации определяется неравенством
(4.3.21)
для составной квадратурной формулы (4.3.20)
(4.3.22)
Следовательно, квадратурная формула трапеций (4.3.19) имеет третий, а составная квадратурная формула (4.3.20) – второй порядок точности по h.
Как и составная формула центральных прямоугольников, квадратурная формула трапеций точна для полиномов до первого порядка включительно.
Квадратурная формула Симпсона
Предположим, что n = 2m, где n – общее число отрезков разбиения промежутка [a, b]. Затем на каждом отрезке [xk, xk + 2], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 аппроксимируем кривую y = f(x) параболической кривой zk = akx2 + bkx + ck, где коэффициенты ak, bk и ck определены таким образом, чтобы кривая zk проходила через точки (xk, f(xk)), (xk + 1, f(xk + 1)) и (xk + 2, f(xk + 2)). Очевидно, что исходя из этих условий коэффициенты ak, bk и ck определяются однозначно.
Заменим далее площадь под кривой y = f(x) на каждом отрезке [xk, xk + 2], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 площадью параболической трапеции, ограниченной сверху определенной по правилу параболической кривой zk = akx2 + bkx + ck. Такая замена приведет к квадратурной формуле Симпсона (ее называют также квадратурной формулой параболических трапеций) на каждом отрезке [xk, xk + 2]:
(4.3.23)
Составная квадратурная формула Симпсона (параболических трапеций) для отрезка [a, b] имеет вид
(4.3.24)
Для квадратурной формулы Симпсона (4.3.23) оценка погрешности аппроксимации определяется неравенством
,
(4.3.25)
где
– максимум модуля четвертой производной
функции f(x)
на отрезке [xk,
xk +
2], k = 0, 2, 1, …, 2m
– 2.
Для составной квадратурной формулы Симпсона (4.3.24)
,
(4.3.26)
где M4 – максимум модуля четвертой производной функции f(x) на отрезке [a, b].
Таким образом, квадратурная формула Симпсона (4.3.23) имеет пятый, а составная квадратурная формула (4.3.24) – четвертый порядок точности по h. Из оценок (4.3.25) и (4.3.26) следует также, что квадратурная формула Симпсона (4.3.23) точна для полиномов до третьего порядка включительно.
Организация расчетов по рассмотренным квадратурным формулам предельно проста, поскольку сводится к суммированию с весовыми коэффициентами значений интегрируемой функции в узлах той или иной квадратурной формулы. Например, при использовании составной формулы Симпсона (4.3.24) данные удобно представить в виде таблицы, аналогичной табл. 4.3.1 (n = 2m – общее число отрезков разбиения отрезка интегрирования [a, b] должно быть четным).
Таблица 4.3.1
Номер узла |
xi |
f(xi), i = 0, 2m |
f(xi), i = 2k – 1, k = 1, 2, …, m |
f(xi), i = 2k, k = 1, 2, ..., m – 1 |
0 |
x0 |
f(x0) |
|
|
1 |
x1 |
|
f(x1) |
|
2 |
x2 |
|
|
f(x2) |
3 |
x3 |
|
f(x3) |
|
4 |
x4 |
|
|
f(x4) |
5 |
x5 |
|
f(x5) |
|
6 |
x6 |
|
|
f(x6) |
7 |
x7 |
|
f(x7) |
|
8 |
x8 |
|
|
f(x8) |
9 |
x9 |
|
f(x9) |
|
10 |
x10 |
f(x10) |
|
|
∑ |
(1) |
(2) |
(3) |
|
I h[(1) + 4(2) + 2(3)]/3 |
||||
В заключение дадим общую характеристику рассмотренных квадратурных формул.
1. Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников редко применяются в реальных расчетах ввиду их невысокой точности. В практическом отношении наибольшую ценность имеет часто используемая квадратурная формула Симпсона.
2. Выбор наилучшего распределения узлов на отрезке интегрирования является дополнительной возможностью для повышения точности квадратурных формул. Эта возможность реализована в квадратурных формулах Гаусса, имеющих наивысшую алгебраическую точность.
3. Исходя из приведенных выше оценок погрешностей аппроксимации, нельзя вычислить действительную точность приближенного значения определенного интеграла, найденного с помощью квадратурных формул. Это объясняется невозможностью с достаточной степенью точности оценить значение максимума модуля производной интегрируемой функции на отрезке [a, b]. Рассматриваемое в п. 4.3.2 правило Рунге позволяет обойти эту проблему при оценке точности численного интегрирования.