§ 3.4. Сплайн-интерполяция таблично заданной функции

Интерполяция таблично заданных функций с помощью сплайнов "лишена" главного недостатка полиномиальной интерполяции – роста степени интерполяционного полинома при увеличении количества узлов сетки. Сплайн-интерполяция представляет собой кусочно-полиномиальную интерполяцию, которая во многих случаях оказывается более эффективной, чем попытки подобрать один интерполяционный полином для отрезка [a, b], на котором представлены табличные данные. Следует отметить, что идеи использования кусочно-полиномиального приближения функций в вычислительной математике возникли достаточно давно. Классическим примером можно считать идеи, положенные в основу метода Эйлера для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Современная теория сплайн-интерполяции и прикладной математический аппарат для использования сплайнов с целью интерполяции и аппроксимации функций начали интенсивно развиваться с середины ХХ веке. В настоящее время это общепризнанное и все еще развивающееся направление вычислительной математики с достаточно широкой областью практического применения. При решении задач интерполяции преимущество сплайнов перед интерполяционными полиномами заключается в гарантированных устойчивости вычислительного процесса и сходимости сплайн-интерполяции при увеличении количества узлов сетки. В настоящем пособии рассмотрена задача интерполирования таблично заданной на отрезке [a, b] функции f(x) с использованием кубических сплайнов, которые широко применяются для интерполяции функций.

Пусть на отрезке [a, b] задана одномерная сетка

_x = {x_i / x_i = x_i – 1 + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b},

в узлах x_i которой заданы значения y_i = f(x_i), i = 0, 1, 2, …, n – соответствующие значения функции f(x). Очевидно, что все узлы сетки различны и упорядочены по возрастанию.

Кубическим сплайном будем называть функцию S(x), заданную на отрезке [a, b] и удовлетворяющую следующим условиям: 1. S(xi) = yi, i = 0, 1, 2, …, n. 2. S(x), S (x) и S (x) непрерывны на отрезке [a, b]. На любом отрезке [xi – 1, xi], i = 1, 2, …, n S(x) представляет собой полином 3-й степени: Si(x) = ai + bi(x – xi) + (ci / 2)(x – xi)2 + (di / 6)(x – xi)3, x  [xi – 1, xi], i = 1, 2, …, n. (3.4.1)

Для построения кубического сплайна на отрезке [a, b] необходимо найти коэффициенты a_i, b_i, c_i, d_i, i = 1, 2, …, n – всего 4n неизвестные величины. Для их нахождения в соответствии с определением кубического сплайна имеются условия:

– совпадения значений S(x) и таблично заданной функции f(x) в узлах сетки _x:

S(x_i) = y_i , i = 0, 1, 2, …, n;

– непрерывности функции S(x), ее первой и второй производных.

Эти условия сводятся к необходимости обеспечения непрерывности S(x) и ее производных во всех внутренних узлах (точках) x_i, i = 1, 2, …, n – 1 сетки _x, поскольку в этих точках происходит смена аналитического задания кусочно-полиномиальной функции S(x), в остальных точках отрезка [a, b] указанные функции непрерывны по определению.

Таким образом, для нахождения 4n неизвестных коэффициентов a_i, b_i, c_i, d_i, i = 1, 2, …, n имеется только (n + 1) + 3(n – 1) = 4n – 2 условий. Два недостающих условия получаются из так называемых граничных условий, которые назначаются исходя из физических или других соображений, связанных с особенностями интерпретации таблично заданной функции f(x). Выберем в качестве граничных условий равенство нулю второй производной функции S(x) в граничных точках отрезка [a, b]:

S^(a) = S^(b) = 0.

В результате получим систему линейных уравнений из 4n уравнений для определения 4n неизвестных коэффициентов a_i, b_i, c_i, d_i, i = 1, 2, …, n. Предварительный анализ этих уравнений и ряд несложных преобразований приводят к достаточно простой последовательности операций для нахождения значений указанных коэффициентов.

Коэффициенты a_i, i = 1, 2, …, n определяются из соотношений

a_i = y_j, i = 1, 2, …, n. (3.4.2)

Для нахождения коэффициентов c_i, i = 1, 2, …, n необходимо решить трехдиагональную систему линейных уравнений

3.4.3)

Очевидно, что эта система имеет матрицу с диагональным преобладанием, у нее единственное решение, для нахождения которого может быть использован метод прогонки.

После того как коэффициенты c_i, i = 1, 2, …, n будут найдены, коэффициенты d_i, i = 1, 2, …, n могут быть определены по формуле

d_i = (c_i – c_i – 1) / h_i, i = 1, 2, … (3.4.4)

Наконец, находим коэффициенты b_i, i = 1, 2, …, n по формуле

(3.4.5)

В результате вычислений будет построен интерполяционный кубический сплайн S(x).

Процесс интерполяции таблично заданной на отрезке [a, b] функции в заданную точку x^*  (a, b) с помощью интерполяционного кубического сплайна S(x) можно представить в виде следующего алгоритма:

0. На отрезке [a, b] задать одномерную сетку

_x = {x_i / x_i = x_{i –1} + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b}

и значения y_i = f(x_i) в узлах сетки x_i, i = 0, 1, 2, …, n.

Задать x^*  (a, b).

1. Положить a_i = y_j, i = 0, 1, 2, …, n.

3. Составить и решить трехдиагональную систему (3.4.3) методом прогонки. Определить значения коэффициентов c_i, i = 0, 1, 2, …, n.

4. Определить значения коэффициентов d_i и b_i, i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами (3.4.4) и (3.4.5) соответственно.

5. Определить значение индекса 0 < k  n из условия x^*  [x_k – 1, x_k].

6. Вычислить по формуле

S(x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* – x_k) + (c_k / 2)(x^* – x_k)² + (d_k / 6)(x^* – x_k)³.

7. Процесс завершен: S(x^*) – результат интерполяции табличных данных в точку x^*  (a, b).

Результаты расчета коэффициентов кубического сплайна удобно представлять в виде таблицы, аналогичной табл. 3.4.1.

Таблица 3.4.1

k	xk	yk	ak	bk	Ck сk	dk
0	x0	y0	a0	-	0	-
1	x1	y1	a1	b1	C1	d1
2	x2	y2	a2	b2	C2	d2
3	x3	y3	a3	b3	C3	d3
…	…	…	…	…	…	…
n – 1	xn – 1	yn – 1	an – 1	bn – 1	cn – 1	dn – 1
n	xn	yn	an	bn	0	dn

Для визуальной оценки качества интерполирования желательно вычислить значения сплайна S(x) с достаточно малым шагом по переменной x и построить его график на отрезке [a, b], сопоставив с аналогичным графиком интерполяционного полинома P_n(x) и данными таблицы.

В заключение отметим некоторые характерные особенности использования кубических сплайнов для интерполяции табличных данных.

1. В случае равномерной сетки для погрешности интерполирования кубическими сплайнами может быть получена следующая оценка:

(3.4.6)

где M₄ – максимум модуля четвертой производной интерполируемой функции на отрезке [a, b].

Предполагается, что на отрезке [a, b] функция f(x) непрерывна вместе со своими производными до 4-го порядка включительно. В соответствии с (3.4.6) погрешность интерполяции будет равна нулю, если интерполируемая функция представляет собой полином, степень которого не превышает 3.

2. Интерполирование кубическими сплайнами является сходящейся процедурой в том смысле, что при стремлении максимального шага сетки к нулю (при этом, очевидно, неограниченно возрастает количество узлов сетки) погрешность сплайн-интерполяции равномерно стремится к нулю на отрезке [a, b] не только для интерполируемой функции f(x), но и для ее первых двух производных.

3. На практике часто не представляется возможным уменьшить шаг сетки, поскольку нет данных о значениях интерполируемой функции во вновь образующихся узлах. Поэтому сведения о сходимости и погрешности сплайн-интерполяции имеют прежде всего теоретическое значение. Однако всегда есть возможность оценить погрешность для фактически имеющейся сетки или сформулировать обоснованные требования к сбору данных (если такая возможность имеется) с учетом требуемой точности последующей интерполяции.

4. С увеличением количества узлов сетки _x на отрезке [a, b] степень используемых при сплайн-интерполяции полиномов не изменяется. Прямо пропорционально количеству узлов увеличивается только количество составляющих сплайн S(x) кубических полиномов S_k(x), k = 1, 2, 3, …, n. Как следствие, растет порядок решаемой для определения коэффициентов c_i, i = 0, 1, 2, …, n трехдиагональной системы линейных уравнений и общее количество вычислительных операций, требуемых для интерполирования табличных данных в заданную точку.

5. Как видно из описания построения кубического сплайна, он не может быть однозначно определен из условий интерполяции; поэтому необходимо ввести два дополнительных условия, что создает определенные сложности при практической интерполяции. В любом случае при использовании стандартных компьютерных процедур сплайн-интерполяции желательно представлять, какие именно дополнительные условия в них используются. Кубический сплайн, при построении которого дополнительно вводятся условия

S ^(a) = S ^(b) = 0,

часто называют естественным.

6. Интерполирование с помощью сплайнов широко используется на практике. Однако нельзя сказать, что фактические результаты интерполяции всегда бесспорно удовлетворяют исследователей. Как отмечается в литературе, имеется много случаев, когда сплайн не вполне удовлетворительно позволяет восстанавливать функции, для которых, например, характерны быстрые изменения значений на малых промежутках. С целью устранения подобных недостатков разрабатываются различные модификации классических процедур, с которыми можно ознакомиться в соответствующей литературе.