1.3. Список вопросов к экзамену (2 семестр)
Готовясь к зачету или экзамену, студент обязан:
- изучить теоретический материал в объеме курса, проработать основную и (по выбору) дополнительную литературу;
- овладеть понятийным аппаратом данной области знания;
- уметь применять наработанный материал к решению задач;
- делать выводы и обобщения рассматриваемому вопросу.
1. Функция двух переменных. Область определения функции двух переменных.
2. Предел и непрерывность функции двух переменных.
3. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных.
4. Экстремумы функции двух переменных.
5. Необходимое условие существования экстремума для функции двух переменных.
6. Достаточное условие существования экстремума для функции двух переменных.
7. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области.
8. Градиент.
9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
10. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия: определение, решение, общее решение, частное решение дифференциального уравнения первого порядка.
11. Теорема Коши о существовании и единственности решения (без доказательства). Интегральная кривая.
12. Начальные условия, задача Коши. Особые точки. Геометрический смысл уравнения первого порядка.
13. Дифференциальные уравнения первого порядка. Виды уравнений и методы решения.
14. Уравнения с разделяющимися переменными. Логистическая функция и ее график.
15.
Линейные уравнения, однородные и
неоднородные. Линейные дифференциальные
уравнения вида
и
.
16. Метод Бернулли для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.
17. Метод Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.
18. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения (без доказательства).
19. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x).
20. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.
21. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
22. Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные уравнения, однородные и неоднородные.
23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
24. Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема Коши. Задача Коши для уравнения n-го порядка. Линейные уравнения n-го порядка. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
25. Нормальная система дифференциальных уравнений. Теорема Коши. Общее решение.
26. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
27. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий.
28. Устойчивое по Ляпунову решение системы дифференциальных уравнений.
29. Асимптотически устойчивое решение. Положение равновесия (точка покоя).
30. Теорема Ляпунова. Функция Ляпунова. Классификация точек покоя.
1. Понятие числового ряда и его сходимости. Критерий Коши сходимости числового ряда.
2. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов.
3. Признаки сходимости рядов: общий признак, признак сравнения
4. Признаки сходимости рядов: признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши.
5. Понятия знакопеременного ряда, абсолютно сходящегося ряда, условно сходящегося ряда.
6. Понятие знакочередующегося ряда. Признак Лейбница.
7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости и способы его определения. Свойства степенных рядов.
8. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
9. Ряды Тейлора и Маклорена.
10. Непосредственное разложение функции в ряд Тейлора. Табличные разложения.
11. Применение рядов к приближенным вычислениям.
12. Понятие о функциональных рядах. Свойства равномерно сходящихся рядов.
13. Степенные ряды. Структура их областей сходимости. Теорема Абеля.
14. Действия со степенными рядами. Разложение функций в степенные ряды.
15. Область сходимости. Частичные суммы.
16. Критерий Коши равномерной сходимости ряда.
17. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.
18. Свойства равномерно сходящихся рядов.
19. Тригонометрический ряд. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
20. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений.
21. Абсолютная и относительная погрешности. Вычисление приближенного значения функции при помощи дифференциала.
22. Формула прямоугольников для приближенных вычислений определенного интеграла.
23. Формула трапеций для приближенных вычислений определенного интеграла .
24. Формула парабол для приближенных вычислений определенного интеграла
25.Определение криволинейного интеграла первого рода. Свойства криволинейного интеграла первого рода.
26. Определение криволинейного интеграла второго рода. Свойства криволинейного интеграла второго рода.
27.Формула Остроградского – Грина.
28. Определение поверхностного интеграла первого рода. Свойства поверхностного интеграла первого рода.
29. Определение поверхностного интеграла второго рода и его свойства.
30. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Формула Гаусса – Остроградского.
31.Основные определения. Формула Стокса.