1.3. Список вопросов к зачету (1 семестр)
Готовясь к зачету или экзамену, студент обязан:
- изучить теоретический материал в объеме курса, проработать основную и (по выбору) дополнительную литературу;
- овладеть понятийным аппаратом данной области знания;
- уметь применять наработанный материал к решению задач;
- делать выводы и обобщения рассматриваемому вопросу.
Что называется решением системы линейных уравнений. Вывод решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Определители II, III порядка. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Теорема о существовании единственного решения системы.
Свойства определителей. Разложение определителя III прядка по элементам строки или столбца.
Понятия алгебраического дополнения в определителях III и высшего порядков.
Определение матрицы, виды матриц. Основные характеристики матрицы.
Линейные операции над матрицами. Свойства линейных операций над матрицами.
Умножение матриц. Свойства умножения матриц.
Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы.
Матричный метод решения СЛУ.
Ранг матрицы, преобразования, не меняющие ранг матрицы.
Теорема Кронекера – Копелли.
Метод Гаусса для решения СЛУ.
Вектор, векторные величины. Модуль вектора. Понятия коллинеарности, компланарности векторов.
Линейные операции над векторами. Координатная форма записи линейных операций.
Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве.
Деление отрезка в заданном отношении.
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения.
Смешанное произведение векторов.
Свойства смешанного произведения векторов.
Вывод общего уравнения прямой на плоскости.
Вывод формулы угла между двумя прямыми на плоскости. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (вывод).
Вывод общего уравнения плоскости.
Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
Угол между двумя плоскостями. Условия перпендикулярности и параллельности двух плоскостей.
Вывод канонического уравнения прямой в пространстве.
Вывод уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых в пространстве.
Нахождение угла между прямой и плоскостью.
Кривые II порядка. Окружность, эллипс.
Кривые II порядка. Гипербола, парабола.
Линейные преобразования. Связь преобразований, базиса и матрицы.
Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.
Алгебраические структуры. Алгебраические операции. Группа.
Алгебраические структуры Кольцо. Поле.
1. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
2. Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей.
3. Предел функции в точке x = а. Теоремы о пределах функции.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные функции, функции одного порядка малости.
5. Свойства бесконечно малых функций. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций. Виды неопределенностей.
6. Первый замечательный предел, следствия. Второй замечательный предел.
7. Односторонние пределы. Теорема о необходимости и достаточности существования предела в точке.
8. Непрерывность функции (определения через предел). Теорема о бесконечно малом приращении независимой переменной и функции (доказательство).
9. Точки разрыва функции. Типы разрывов. Привести примеры.
10. Определение производной (через предел). Правило нахождения производной по определению.
11. Касательная к графику. Геометрический и физический смысл производной.
12. Сложная функция. Производная сложной функции.
13. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной.
14. Понятие экстремума функции. Теорема Ферма (доказательство).
15. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции (теоремы).
16. Достаточные условия существования экстремумов.
17.
Вертикальная асимптота
;
наклонная асимптота
.
18. Выпуклость кривой. Точки перегиба. Достаточный признак направления выпуклости. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба.
19. Точки разрыва функции. Типы разрывов. Привести примеры.
20. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.
21. Основные свойства неопределенного интервала. Таблица простейших неопределенных интегралов.
22. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки).
23. Метод интегрирования по частям.
24. Интегралы, не выражающиеся в конечном виде через элементарные функции.
25. Понятие определенного интеграла. Интегральная сумма и определенный интеграл.
26. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами. Свойства, выражаемые неравенствами. Теорема о среднем.
27. Методы интегрирования определенного интеграла. Непосредственное интегрирование.
28. Методы интегрирования определенного интеграла. Замена переменной (способ подстановки).
29. Методы интегрирования определенного интеграла. Интегрирование по частям. 29. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
30. Понятие объема, его основные свойства.
31. Объем прямоугольного и прямого параллелепипеда.
32. Объем прямой призмы и цилиндра.