Федеральное агентство по образованию

ФГОУ ВПО «Сибирский федеральный университет».

«Сибирский федеральный университет»

Остыловская О.А.

Методические указания и задания для самостоятельной работы

по дисциплине "математика"

для студентов заочной формы обучения направления 080801.65 Прикладная информатика (по областям).

Красноярск

2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общие сведения…………………………………………………………..3

1. Учебная программа дисциплины «Математика»…………………4

1.1. Цели и задачи изучения дисциплины…………………………….4

1.2. Содержание разделов дисциплины……………………………….4

1.3. Список вопросов к экзамену………………………….………….10

1.4. График самостоятельной работы студентов

по дисциплине………………………………………………………15

2. Задания для самостоятельной работы студентов

на 1 семестр………………………………………………………..14

2.1. Типовой расчет №1…………………………………………………14

2.2. Типовой расчет №2…………………………………..…………….16

3. Задания для самостоятельной работы студентов

на 2 семестр …………………………………………………………..20

3.1. Типовой расчет №3…………………………………………………20

3.2. Типовой расчет №4……………………….………………………..24

4. Литература……………………………………………………………..27

Общие сведения

Методические указания рассчитаны на студентов заочного отделения направления 080801.65 Прикладная информатика (по областям) и содержит сведения о том, что предстоит делать при освоении данной дисциплины.

Представлены основные методические вопросы изучаемой дисциплины: содержание разделов и тем лекционного курса; список вопросов к зачету (1 семестр) и к экзамену (2 семестр); задания для самостоятельной работы (типовой расчет) к каждому семестру; список основной и дополнительной литературы.

Изучение математики студентами сопровождается выполнением типовых расчетов. Типовой расчет – набор задач по некоторой теме, индивидуальных для каждого студента, предназначенных для закрепления теоретических знаний и отработки практических навыков. Поэтому выполнять задания типового расчета следует своевременно и самостоятельно. Перед выполнением типового расчета необходимо изучить соответствующий теоретический материал (лекции, рекомендованная литература) и решения задач, разобранные на практических занятиях.

При выполнении типового расчета необходимо строго придерживаться следующих правил:

1. Каждый типовой расчет выполняется в отдельной тетради в клетку. Поля обязательны. Номер варианта соответствует последней цифре в номере зачетной книжки.

2. Решения задач выполняются ручкой с яркими синими или черными чернилами, все чертежи выполняются карандашом с использованием линейки и, если необходимо, циркуля.

3. Обязательно указывается номер каждой задачи и полностью приводится ее формулировка.

4. При решении задач типового расчета нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения. Решения задач следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Решение каждой задачи типового расчета должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения.

5. Типовой расчет сдается на проверку преподавателю в строго установленный срок.

6. Самостоятельность выполнения типового расчета проверяется на его защите у преподавателя (на собеседовании с преподавателем), который вправе предложить решить задачи аналогичного типа или задать вопросы по любым задачам из данного типового расчета.

Типовой расчет засчитывается преподавателем по результатам защиты в ходе очной встречи при условии, что правильно решены все задачи на этапе самостоятельной работы.

Время выполнения типового расчета - 12 недель в каждом семестре.

1. Учебная программа дисциплины «Математика»

1.1. Цели и задачи изучения дисциплины

Обучающийся должен знать:

• основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа и дифференциальных уравнений, дискретной математики;

• основные приемы решения и исследования математически формализованных задач.

Обучающийся должен уметь:

• употреблять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

• представлять графически результаты исследования;

• находить алгебраические и численные решения уравнений.

1.2. Содержание разделов и тем лекционного курса

Раздел 1. Системы линейных уравнений

Тема 1. Определители и системы линейных уравнений Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. Определители третьего и высших порядков и их приложения к системам линейных уравнений.

Тема 2. Матрицы и их приложения к системам линейных уравнений

Матрицы и операции над ними. Квадратные матрицы. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Раздел 2. Элементы векторной алгебры

Тема 3. Векторы в декартовой системе координат

Основные понятия. Декартова система координат в пространстве. Координаты вектора и их выражение через координаты его начала и конца. Выражение длины вектора через координаты его начала и конца.

Тема 4. Операции над векторами

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по заданным направлениям. Линейные операции над векторами в координатной форме записи. Скалярное умножение векторов. Векторное умножение векторов. Смешанное умножение векторов.

Раздел 3. Элементы аналитической геометрии

Тема 5. Прямая на плоскости

Прямая линия, угол наклона и угловой коэффициент. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Тема 6. Кривые второго Понятие о порядке линии. Эллипс. Парабола. Гипербола.

Тема 7. Плоскость в пространстве Задание плоскости в векторной и координатной форме. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении. Общее уравнение плоскости.

Тема 8. Прямая и плоскость в пространстве Задание прямой линии в пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через три данные точки. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Задание прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей.

Тема 9. Поверхности второго порядка

Раздел 4. Элементы высшей алгебры

Тема 10. Алгебраические структуры

Алгебраические операции. Группа. Кольцо. Поле.

Раздел 5. Предел и непрерывность функции

Тема 11. Числовая последовательность как функция натурального аргумента. Предел числовой последовательности, геометрическое истолкование. Теорема о единственности предела последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства пределов последовательностей.

Тема 12. Предел функции. Непрерывность функции. Понятие предела функции. Теоремы о существовании предела функции. Замечательные пределы и их следствия. Определение непрерывности функции в точке. Приращение аргумента и функции, типы разрывов. Условие непрерывности сложной функции.

Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Тема 13. Производная, ее геометрический и физический смысл Определение производной. Связь между существованием производной и непрерывностью функции

Тема 14. Правила нахождения производной Производная постоянной величины. Производная степенной функции. Производная суммы, разности произведения и частного двух функций. Производная сложной функции. Логарифмическая производная.

Тема 15. Дифференциал функции и его геометрический смысл

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление дифференциала.

Раздел 7. Приложение производной к исследованию функций и построению графиков

Тема 16 . Применение производной для нахождения экстремумов функции. Теоремы о среднем. Экстремумы функции. Теорема Ферма. Теорема Голля. Теорема Лагранжа. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции. Достаточное условие существования экстремума. Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на замкнутом интервале.

Тема 17. Общая схема исследования функции и построения графика Поведение функции в точках разрыва и на концах бесконечного интервала. Асимптоты. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба графика функции. Общая схема исследования функции.

Раздел 8. Неопределенный интеграл

Тема 18. Неопределенный интеграл и его простейшие свойства Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интервала. Таблица простейших неопределенных интегралов.

Тема 19. Методы интегрирования Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки). Метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей. Понятие об интегралах, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции.

Раздел 9. Определенный интеграл и его приложения

Тема 20. Свойства определенного интеграла Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральная сумма и определенный интеграл. Свойства, выражаемые равенствами. Свойства, выражаемые неравенствами. Теорема о среднем.

Тема 21. Методы вычисления определенных интегралов Непосредственное интегрирование. Замена переменной (способ подстановки). Интегрирование по частям. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Тема 22. Несобственные интегралы Несобственные интегралы I рода. Несобственные интегралы II рода.

Тема 23. Приложения определенного интеграла. Площади плоских фигур. Понятие объема и его основные свойства. Объем прямоугольного и прямого параллелепипеда, прямой призмы и цилиндра. Объем пирамиды. Объем тела вращения. Объем шара и его частей. Длина дуги кривой. Дифференциал дуги. Площадь поверхности вращения.

Раздел 10. Функции нескольких переменных

Тема 24. Функции двух независимых переменных Область определения функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных. Производная сложной функции.

Раздел 11. Экстремальные задачи для функции нескольких переменных.

Тема 25. Экстремальные задачи для функции нескольких переменных Производная по направлению. Градиент. Экстремумы функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в заданной области. Метод наименьших квадратов.

Тема 26. Кратные интегралы Двойные интегралы. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле.

Раздел 12. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тема 27. Дифференциальные уравнения первого порядка Понятие о дифференциальном уравнении. Теорема Коши. Поле направлений. Изоклины. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Начальная задача (задача Коши). Особое решение. Логистичеcкая функция и логистическая кривая.

Тема 28. Линейные дифференциальные уравнения Понятие линейного дифференциального уравнения. Метод Лагранжа. Метод Бернулли. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

Тема 29. Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка. Линейная независимость функций. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Раздел 13. Числовые и степенные ряды.

Тема 30. Числовые ряды. Основные определения. Простейшие свойства сходящихся рядов. Критерий Коши.

Тема 31. Ряды с неотрицательными Признак сравнения рядов с неотрицательными членами. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши.

Тема 32. Степенные ряды. Понятие о функциональных рядах. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Структура их областей сходимости. Теорема Абеля. Действия со степенными рядами. Разложение функций в степенные ряды.

Раздел 14. Численные методы

Тема 33. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям Абсолютная и относительная погрешности. Вычисление приближенного значения функции при помощи дифференциала.

Тема 34. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула парабол.

Раздел 15. Векторный анализ и элементы теории поля.

Тема 35. Криволинейные. Определение криволинейного интеграла первого рода. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Определение криволинейного интеграла второго рода. Свойства криволинейного интеграла второго рода. Формула Остроградского – Грина.

Тема 36. Поверхностные интегралы – 8 часов (2 – аудиторных, 6 – самостоятельно)

Определение поверхностного интеграла первого рода. Свойства поверхностного интеграла первого рода. Определение поверхностного интеграла второго рода и его свойства. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Формула Гаусса – Остроградского.

Тема 37. Элементы теории поля – 8 часов (2 – аудиторных, 6 – самостоятельно)

Основные определения. Формула Стокса. Ротор. Циркуляция векторного поля. Дивергенция.