Вычитание многозначных чисел в десятчной системе счисления

Вычиьание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа a не превышающего 18 сводится к поиску такого числа с что а=b+c и происходит с опорой на таблицу сложения однозначных чисел . Если числа a и b многозначные и b> a то смысл действия вычитания остается тем же что и для вычитания в пределах 20 но техника нахождения разности становится иной.

Как известно многозначные числа вычитают столбиком . Выясним каковы теоретические основы этого алгоритма.

Рассмотрим разность 769 -547. Представим данные числа в виде сумм степеней десяти с коэффицентами : 769 -547 =(7*10+6*10+9)-(5*10+4*10+7). Чтобы вычесть из числа 7*10+6*10+9 сумму 5*10+4*10+7, достаточно вычесть из нее каждое слагаемое одно за другим поэтому можно записать : (7*10+6*10+9) - 5*10 - 4*10 - 7.

Вообще правило вычитания м столбиком основывается на:

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа

Способе записи чисел в десятичной системе счисления

Распределительном законе умножения относительно вычитания

Таблице сложения однозначных чисел .

Алгоритм :

1 записываем вычитаемое под уменьшаемым так чтобы соответствующие разрядыс находились друг под другом.

2 если цифра в разряде едениц вычитаемого не превосходят соответствующей цифры уменьшаемого вычитаем ее из цифры уменьшаемого после чего переходим к следующему разряду

3 если цифра единиц мвычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля то уменьшаем цифры десятков уменьшанмого на 1 одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10 после чего вычитаем из числа 10+а число б и записываем результат в разряде единиц разности далее переходим к след. разряду

4 если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого и цифры стоящие в разряде десятков сотен и тд уменьшаемого равны нулю то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом . Уменьшаем ее на 1 все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9 а цифру в разряде единиц на 10 вычитаем б из 10+а заптсываем результат в разряде единиц разности и переходим к следующему разряду.

5 в следующем разряде повторяем описанный процесс

6 процесс вычитания заканчивается когда производится вычитание из старшего разряда кменьшаемого

Десятичная система счисления. сложение многоз чисел в десят ситему

Понятие   системы   счисления 

• Система счисления или нумерация- это способ записи чисел.

• Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления. Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью.

• Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа.

• В привычной нам десятичной системе значения числа образуется следующим образом: значение цифр умножаются на «вес» соответствующих разрядов и все полученные значения складываются.

Например, 5047=5*1000+0*100+4*10+7*1.

 Система   счисления  – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами.  Система   счисления  – это знаковая  система , в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Алфавит Х из р символов и правила записи (изображения) и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются  системой   счисления  (нумерацией) с основанием р. Число X в системе  с основанием р обозначается как Xp. Основание системы записывается справа от числа в нижнем индексе.

Основанием  системы   счисления  называется количество цифр и символов, применяющихся для изображения числа. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей  системы   счисления  тоже 10, и  система   счисления  называется “ десятичная ”.

Все  системы   счисления  строятся по общему принципу: определяется

величина р – основание  системы , а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени.

Для представления чисел используются позиционные и непозиционные  системы   счисления .

 Система   счисления  в которой вес цифры (или символа алфавита) зависит от ее места в записи числа или слова называется позиционной; в противном случае  система  называется непозиционной.

Пример 2.

• Непозиционная  система   счисления  - римская. Примеры числел в этой системе: III - 3, VI - 6, LXXVI - 76 (где L=50, X=10, V=5, I=1).

Как видно цифрами здесь служат латинские символы. Запись числа в этой системе получается двусторонней конкатенацией, причем правая конкатенация ассоциируется с добавлением, а левая – с убавлением (например, IV и VI).

• Позиционные  системы   счисления :  десятичная , двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.

• Алгоритм перевода  десятичных  чисел в р-ную  систему   счисления :

• последовательно делить число х10, а затем все частные (получаемые при делении) на р - основание системы, в которую переводится число до тех пор, пока не получится в очередном частном число меньшее р;

• сформировать новое число, последовательно приписывая остатки от деления начиная с последнего частного;

Пример 3. Число 2210 перевести в двоичную  систему   счисления .

Решение. Делим число 2210 последовательно на 2 до тех пор, пока не получится в очередном частном число меньшее или равное 1 

Записываем остатки от деления в обратном порядке и получаем новое число: 101102.

Сложение однозначных  чисел  можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к оп­ределению, все суммы, которые получаются при сложении однознач­ных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сло­жения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл  сложения  сохраняется и для  многозначных   чи­сел , но практическое выполнение  сложения  происходит по особым пра­вилам. Сумму  многозначных   чисел обычно находят, выполняя  сложе­ние  столбиком

 В основе алгоритма  сложения   многозначных   чисел  ле­жат следующие теоретические факты:

-  способ записи  чисел   в   десятичной   системе   счисления ;

-  свойства коммутативности и ассоциативности  сложения ;

-  дистрибутивность умножения относительно  сложения ;

-  таблица  сложения  однозначных  чисел .

Десятичная система счисления. Сложение и вычитание.

Десятичная система счисления -это язык для наименования записи чисел выполнения действия над ними. Данная система счисления называется так по 2м причинам: в записи любого числа используются 10 цифр; название разрядных единиц связаны с десятичным основанием.

Квантор.

Квантор с латинского язык означает «сколько». В матем сущ. 2 вида квантора:1. Квантор общности.2. квантор существования. К кванторам общности относятся слова: все, любой, каждый, всякий.к кванторам существования относятся слова: некоторые, несколько, хотя бы один, найдутся, существует, существуют.

Например;

В математике очень часто используются кванторы. Например « все четные числа делятся на 2».

Х-(о,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

1.Все эти числа однозначные.

2.некоторые числа четные.

Все квадраты прямоугольники.

Все четные числа делятся на 2.

В любом треугольнике сумма углов =180 о

Правило 1. Истинность высказывания с квонтором общности устанавливается путем док-ва. Например: ВСЕ прямоугольники- многоугольники, истина.

Правило2. Ложность высказываний с квантором общности устанавливается при помощи конкретного примера. Например: Все животные дикие-ложно. Собака это домашнее животное- истино.

Правило3. Истинность высказывания с квонтором сущности устанавливается при помощи контора примера. Например: Некоторые студенты отличники - истина.Правило4. Ложность высказываний с квантором сущности устанавливается путем док-ва. Например:Некоторые не четные числа делятся на 2 – ложно. Док-ва. 2п- обозначение четных чисел. 2п+1 обозначение не четных чисел