Понятие дроби. Умножение и деление дробей.
Дробь- это число состоящее из числителя и знаменателя.
Знаменатель- это число показывающее на сколько равных частей разделили тот или иной предмет, объект, отрезок (число под чертой).
Дроби бывают:
1)правильные дроби
(числитель меньше знаменателя).
2)несократимые дроби- дробь в которой числитель и знаменатель делятся только на единицу.
3)неправильные дроби – числитель больше знаменателя.
4) смешанные
5)равные дроби
6)сократимые дроби- дробь в которой числитель и знаменатель делятся на 1, саму себя и другие числа.
Над дробями можно выполнять следующие арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление.
Умножение дроби.
Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
Числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби.
Знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби.
2 |
* |
3 |
= |
2*3 |
= |
3 |
5 |
4 |
5*4 |
10 |
Чтобы умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.
3 |
* |
5 = |
3*5 |
= |
15 |
8 |
8 |
18 |
(Равно 1целая семь восьмых)
Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.
Деление дробей
Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, отличную от нуля, нужно:
Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать произведение в числитель новой дроби;
Знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать произведение в знаменатель новой дроби.
Понятие дроби. Сложение и вычитание дробей.
Дробь - это отношение числителя к его знаменателю.
Дробь- это число состоящее из числителя и знаменателя.
Знаменатель- это число показывающее на сколько равных частей разделили тот или иной предмет, объект, отрезок (число под чертой).
Дроби бывают:
1)правильные дроби (числитель меньше знаменателя).
2)несократимые дроби- дробь в которой числитель и знаменатель делятся только на единицу.
3)неправильные дроби – числитель больше знаменателя.
4) смешанные
5)равные дроби
6)сократимые дроби- дробь в которой числитель и знаменатель делятся на 1, саму себя и другие числа.
Над дробями можно выполнить следующие арифметические действия: сложение и вычитание.
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений:
a |
+ |
b |
= |
a + b |
|
|
c |
c |
c |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
2 |
= |
1 + 2 |
= |
3 |
5 |
5 |
5 |
5 |
Для
сложения дробей необходимо привести
их к общему знаменателю, после чего
сложить числители, не меняя знаменатель.
например
2 |
+ |
1 |
1 |
= |
3 |
2 |
Чтобы найти разницу двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений:
a |
- |
b |
= |
a - b |
c |
c |
c |
3 |
- |
1 |
= |
3 - 1 |
= |
2 |
5 |
5 |
5 |
5 |
Для вычитания дробей их также необходимо привести к общему знаменателю, затем вычислить разность числителей, не меняя знаменатель. Например,
2 |
1 |
- |
1 |
1 |
= |
2 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
Понятие отношения делимости. Признаки делимости чисел в десятичной системе счисления
(на 2,3,4,5,6,9,10,12,15,16,18,20,25).
В математике с давних пор пытались узнать делится ли число на некоторое число или нет. В результате этого появились признаки делимости. В зависимости от числа делителей натуральные числа делителей натуральные числа делятся на простые и составные:
Число называется простым если оно делится на само себя и на единицу.
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31}
Числа называются составными если они имеют более двух делителей.
{4,6,8,10,12……}
Общим делителем для натуральных чисел а и в называются числа которые являются делителем каждого из данных чисел.
НОД натуральных чисел а и в называется наибольшее число из общих делителей данного числа.
Свойства НОД:
1.НОД всегда существует и единственный
2.НОД не превосходит меньшего из данных чисел
3. НОД делится на любой из общих делителей.
Общим кратным называются числа которые кратны каждому из данных чисел.
НОК чисел а и в называется самое маленькое число из всех кратных.
Свойства НОК:
1.НОД всегда существует и единственный
2.НОД не меньше большего из данных чисел.
3.Любое ОК делится на НОК.
Признак делимости на 2.
Для того чтобы число делилось на 2 необходимо и достаточно чтобы оно оканчивалось цифрами 0, 2, 4, 6,8
Признак делимости на 3.
Для того чтобы число делилось на 3 необходимо и достаточно чтобы сумма цифр данного числа делилось на 3.
Признак делимости на 4.
Для того чтобы число делилось на 4 необходимо и достаточно чтобы двузначное число образованное двумя последними цифрами делилось на 4.
Признак делимости на 5.
Для того чтобы число делилось на 5 необходимо и достаточно чтобы запись числа оканчивалась цифрами 0 и 5.
Признак делимости на 6.
Для того чтобы число делилось на 6 необходимо и достаточно чтобы оно делилось на 2 и 3 одновременно.
Признак делимости на 9.
Для того чтобы число делилось на 9 необходимо и достаточно чтобы сумма цифр данного числа делилась на 9
Признак делимости на 10.
Для того чтобы число делилось на 10 необходимо и достаточно чтобы его запись оканчивалась на 0.
Признак делимости на 12.
Для того чтобы число делилось на 12 необходимо и достаточно чтобы оно делилось на 3 и 4 одновременно
Признак делимости на 15.
Для того чтобы число делилось на 15 необходимо и достаточно чтобы оно делилось на 3 и 5 одновременно
Признак делимости на 18.
Для того чтобы число делилось на 18 необходимо и достаточно чтобы оно делилось на 2 и 9 одновременно
Признак делимости на 20.
Для того чтобы число делилось на 20 необходимо и достаточно чтобы оно делилось на 4 и 5 одновременно.
Признак делимости на 25.
Для того чтобы число делилось на 25 необходимо и достаточно чтобы двузначное число образованное двумя последними цифрами делилось на 25 или оканчивалось двумя 00.
Понятие отношения.Способы задания отношений.Свойства отношений(рефлексивность,симметричность,антисимметричность,транзитивность).
Между множествами можно устанавливать различные отношения: математические, родственные, ранговые.
Х=
R: «Больше на з»
У=
R: «Быть родственниками»
Х=
R: «Кратно»
Отношение Х на множестве А называется рефлексивным если о каждом элементе множества А можно сказать, что он находится в отношении Х с самим собой.
3
3,6
6, 9
Отношения Х на множестве А называется симметричным, если элемент а находится в отношении Х элементом с элементом в и в находится в отношении Х с элементом а.
Б
р с , б р с
Отношение Х на множестве А называется антисимметиричным, если элемент а находится в отношении х элементом в, а в не находится в отношении Х с элементом а.
ахв,
в
а.
6
3,
3
6.
Отношение Х на множестве А называется транзитивным, если элемент а находится в отношении х в, в находится в отношении хс.
ахв, вхс, ахс.
Граф отношений специальный чертеж, состоящий из точек и стрелок. R называется отношением между элементом множества Х,если пара первый и второй компоненты должны принадлежать данному множеству.
Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.Н: отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур.
Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Множество Х с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.