Числовые выражения. Значение числовых выражений.

Запись, состоящая из чисел, арифметических действий и скобок называется числовым выражением.

Числовые выражения бывают простые и сложные.

Выражения, в которых нужно выполнить одно действие называются простыми.

5+8

98:2

Выражения, в которых нужно выполнить два или более действий называются сложными.

(5+4)*2

98:2-30

Число, полученное в результате последовательного выполнения действий, называется значением числового выражения.

В математике существуют такие числовые выражения, которые не имеют смысла.

8:(4-4)

Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений.

Если два буквенных выражения соединить между собой знаком =, то получится математическое предложение, которое называется уравнением.

Уравнене – это равенство с одной переменной.

Решить уравнение, значит найти корни уравнения.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение вместо переменной получается верное равенство.

Два уравнения называются равносильными, если корни этих уравнений одинаковые.

(х+70)*4=328

Х+70=328:4

Х+70=82

Х=82-70

Х=12

_________________

(12+70)*4=328

328=328

Операции над множествами: пересечение и объединение.

Объединением мно-в А и В называется мно-во содержащие только такие элементы, которые принадлежат мн-ву А и мн-в В. Например: А={к,н,и,г,а}В={к,л,а,с,с} АUB={к,н,г,а,л,с}

Пересечение мн-в А и В называется мн-во содержащие только такие элементы, которые принадлежат мн-ву А и мн-ву В.Например: А={к,н,и,г,а}В={к,л,а,с,с} А∩B={к,а}

Отношения между элементами одного множества. Способы задания и свойства отношений.

Отношения между элементами мн-ва Х, называются мн-во,где 1 и 2-я компонента принадлежит данному мн-ву или мн-ву Х.

Способы задания отношений.

1.перечислив все пары элементов взятых из мн-ва Х.Некоторые отношения R на мн-во Х

Х={4,5,6,7,9} Х R={(5,4),)(6,4),(6,5),(7,4)(7,5)}

2)указав характер св-ва всех пар элементов находятся в отношении R

R: «число х больше числа у»

R:»число х меньше числа у на 3»

Граф-это чертеж, состоит из точек соединенных стрелками.

Свойства отношений:

1)Рефлективность

2)Симметричность

3) антисимметричность

4)транзитивность

Отношение R на мн-во Х называется рефлективным, если при любом элементе мн-ва х можно сказать, ч то оно находится в отношении R с самим собой.

Отношение R на мн-во Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует что и элементом у следует что и элемент у находится в отношении R с элементом х.

Отношение R на мн-во Х называется антисимметричным, если для элементов х и у из мн-ва х, из того что элемент х находится в отношении R с элементом х не находится.

Отношение R на мн-во Х называется транзитивным, если из того, что элемент х находится у и элемент у находятся в отношении R с элементом z,следует что и элемент х х находится в отношении R с элементом z.

Отношение эквивалентности.

Отношение R на мн-во Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если на мн-ве Х задано отношением эквивалент, то оно разбивает это мн-во на попарно пересекающихся подмножества (классы эквивалентов).

Отношение порядка.

Отношение R на мн-во Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и ассиметрично.

Мн-во Х с заданным на нем отношении порядка, называется упорядочным множеством.

Соответствие между элементами двух множеств.

Соответствие-это отношение между элементами 2хмн-в,где 1компонета принадлежит мн-ву х,2я копонента мн-ву у.

Х- мн-во фигур

У- мн-во значений их площадей.

Взаимно -однозначные соответствие-это такие соответствия при которых х каждому элементу мн-ва х соответствует1й элемент мн-ва у и каждый элемент мн-ва у соответствует только 1элементу из мн-ва х.

Мн-ва х и у считает: равноценными, если между ними существует взаимно -однозначное соответствие.

Высказывания. Элементарные с составные высказывания.

Высказывания- это предложения, о которых можно сказать истинно оно или ложно. Высказывания обозначаются большими лат. буквами. Высказывания бывают:

1)Элементарными А: «4 делится на 2»

2)составными называются высказывания объединенными логическими связями

А и В: «число 4 делится на 2 и на4»

В математике существует несколько логических связок: и, или, если, то, не.

Дизъюнкция, конъюнкция, импликация и отрицание высказываний.

Конъюнкция-это операция когда высказывания соединены между собой связкой «и»(V)

Дизъюнкция-это операция когда высказывания соединены между собой связкой «»или(∩)

Импликация- это операция когда высказывания соединены между собой связкой «если то»(=)

Отрицание-это операция когда перед высказыванием стоит частица «не»(-)

Конъюнкция истина только в одном случаи, когда оба высказывания истины ,в остальных случаях она ложна. Дизъюнкция ложна только в одном случае, когда оба высказывания ложны, в остальных случаях она истина. Импликация ложна только в одном случае, если высказывание А истинно, В ложно.

Теорема. Структура и виды теорем.

Теорема-это операция когда, из высказывания А следует высказывание В иначе говоря это импликация высказывания. В математике высказывания А называются условие то, что дано в теореме. Высказывание В называется заключение то, что требуется данного в теореме. В математике существует 4 вида теорем:

1)прямая-это теорема в которой из условия А следует заключение В. Например: Если углы вертикальны, то они равны.

2)обратная -это теорема в которой из заключения В следует условие А. Например: Если углы равны, то они вертикальны.

3)противоположная – это теорема в которой из отриц.условия следует отриц.заключение. Например: Если углы не вертикальны, то они не равны.

4)обратная противоположной - это теорема, в которой из отриц.заключение следует отриц.условие. Например: Если углы не равны, то они не вертикальны.

Прямая и обратная противоположная теорема равны.

Кванторы. Смысл слов «все» и «некоторые».

Кванторы - это слова «все» и «некоторые» в переводе с лат. «квантор» означает сколько.

Кванторы: общности и существования. К квантору общности относятся слова: все, любой, каждый, всякий. К квантору существования относятся слова: некоторые, несколько, хотя бы один, найдутся.

Истинность высказывания общности устанавливается путем доказательства, чтобы убедится в ложности таких высказываний, достаточно привести пример. Истинность высказывания с квантором существования устанавливается путем конкретного примера, чтобы убедиться в ложности таких высказываний необходимо провести доказательство.

Предиксет .

Предиксет- это предложение с одной или несколькими переменными, которые образуются в высказываниях при подстановки в него конкретных значений и переменных: х>3. В математике существуют: одноместные, двуместные. и. п- местные предикаты.

Числа.

Числа бывают: простые - это такие натуральные числа которые имеют 2 делителя (само число и 1) (3,5,7,11,13,17,19,23,31,37,41,43); Составные - это такие натуральные числа которые имеют более 2х делителей (4:1,4:2,4:4). Делимое-это число которое делим. Делитель-это число на которое делим. Общим делителем чисел А и В называется всякое натуральное число которое является делителем каждого из данных чисел.

Признаки делимости.

Признаки делимости- это алгоритм позволяющий быстро определить образовавшее число кратное заранее заданному числу.

Признак делимости на 2:для того, чтобы число делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы оно заканчивалось 0,2,4,6,8.Например:222

Признак делимости на 3:для того, чтобы число делилось на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр данного числа делилась на три. Например:315 ,315=3+1+5=9, 9/3=3

Признак делимости на 4:для того, чтобы число делилось на 4 необходимо и достаточно, чтобы двузначное число образовано двумя последними цифрами делилось на 4.например:512,так как 12/4

Признак делимости на 5:для того, чтобы число делилось на 5 необходимо и достаточно, чтобы запись оканчивалась на 0и 5.Например:625,так как 5/5

Признак делимости на 6:для того, чтобы число делилось на 6 необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на два и на три одновременно. Например:828,так как оно делится и на два и на три.

Признак делимости на 9:для того, чтобы число делилось на 9 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр данного числа делилось на 9.Например:6264,так как сумма6+2+6+4=18/9

Признак делимости на 10:для того, чтобы число делилось на 10 необходимо и достаточно, чтобы запись числа оканчивалась на 0 .например:100,так как оканчивается на 0.

Признак делимости на 12:для того, чтобы число делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на три и четыре одновременно. Например:5424,так как оно делится на три и четыре.

Признак делимости на 15:для того, чтобы число делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на три и пять одновременно. Например:390,так как оно делится на три и пять.

Признак делимости на 18:для того, чтобы число делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на два и девять. Например:1152,так как оно делится на два и девять.

Признак делимости на 20:для того, чтобы число делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на четыре и пять. Например:2180,так как оно делится на четыре и пять.

Признак делимости на 25:для того, чтобы число делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы двузначное число образованное двумя последними цифрами делилось на 25 или оканчивалась двумя нулями. Например:700,так как оканчивается двумя нулями.

НОК и НОД.

Общим делителем чисел А и В называется всякое натуральное число которое является делителем каждого из данных чисел.

НоД чисел А и В называется наибольшее число из всех общих делителей.

Свойства НОД.

1) непривосходит меньшего из данных чисел

2)делится на любой общий делитель.

Общий краткий чисел А и В называется всякое натуральное число, которое принято каждое из данных чисел.

Свойства НОК.

1) Не меньше большего из данных чисел

2) Любое общее кратное делится на Нок.

Понятие делимости. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

В математике с давных пор пытались узнать делится ли число на некоторое число или нет. В результате этого появились признаки делимости. В зависимости от числа делителей натуральные числа делятся:

1. На простые- число наз- ся простым если оно делится на самого себя и на единицу. 2, 3, 5, 7, 11, 17

2. Составные- числа наз- ся составнвми если они имееют более двух делителей. 4,6, 8, 10,12

Общим делителем для натуральных чисел а и б наз- ся числа которые яв- ся делителем каждого из данных чисел.

Дано( 24, 32)

НОД( 24)= 1 2 3 4 6 8 12 24

НОД(32)= 1 2 4 8 16 32

Нод( 24, 32)= 1 2 4 8

НОД( 24.,32)= 8

Наибольшим общим делителем натуральных чисел а и б наз- ся наибольшее число из общих делителей данного числа.

Свойства НОД

1. НОД всегда существует и единственный ( 1^о нод Э и Е)

2. НОД не превосходит меньшего и з данных чисел( 2^о 8<24 24 <32 Нод <_а, где а <b)

3. НОД делится на любой из общих делителей

110 и 215

110:2=55 55:5=11 11:11 = 1( 110= 2, 5, 11

215:5= 43 43: 43=1 ( 215= 5, 43)

Нод( 110 и 215)= 5

НОК

НОК- числа которые кратны каждому из данных чисел. НОК- чисел а и б наз- ся самое маленькое число из всех кратных. СВОЙСТВА НОК

1. Всегда сущ-ет и единственный

2. Не меньше большего из данных чисел

3. Любое общее кратное делится на НОК

НОД( а и б) * НОК (а и б)= а * б( произведение НОД и НОК равно произ- нию этих чисел)

Пример :( 342 и 954)

342: 2= 171 171: 3= 57 57 : 3= 19 19: 19

954: 2= 477 477: 3=159 159:3= 53 53: 53

НОД ( 342и 954)= 2*3*3= 18

НОК( 342 и 954)= 2*3*3 *19*53= 18126

( 18*18126)= ( 342* 954)= 326 268