2. Аналітичне моделювання об’єктів керування

Технологічні об’єкти керування.Об’єктом керування називається апарат, який характеризується вихідними технологічними параметрами, що підлягають стабілізації або зміні за заданою програмою з допомогою автоматичних засобів регулювання. До основних технологічних параметрів відносяться: витрати, температура, тиск, рівень, склад і фізичні властивості речовини (концентрація, густина, в’язкість та ін.). Як правило, вхідними параметрами для об’єктів керування є витрати матеріальних потоків або потужність (наприклад електрична), причому вхідними є такі, які використовуються для регулювання вихідних параметрів. Параметрами збурення називаються такі, що не можуть бути застосовані для регулювання вихідних, але на останні мають безпосередній вплив. Це витрати, температура, тиск, концентрація та ін.

Об’єкти керування поділяються на прості і складні. До простих відносяться об’єкти з одним вихідним параметром (трубопровід, резервуар під тиском, апарат з рідиною, теплообмінник). До складних відносяться об’єкти, які мають два або більше вихідних параметри (рідинний теплообмінник змішування, випарна установка, абсорбер, ректифікаційна колона та ін.).

Трубопровід.

Це важливий об’єкт керування, оскільки за допомогою регулюючої арматури можна змінювати витрати або тиск матеріального потоку, який спрямовується до технологічного обладнання.

Витрати тиску в трубопроводі під час руху в ньому реальної рідини зумовлено опором тертя та місцевими опорами. Витрати на тертя мають місце за всією довжиною трубопроводу і залежать від режиму руху потоку, збільшуючись із зростанням турбулентності. Місцеві опори виникають за всяких змін потоку внаслідок зміни його перетину або напряму. Для трубопроводу, як для об’єкту керування, місцеві опори спричиняють: діафрагма, ротаметр, регулююча арматура (крани, вентилі, клапани, засувки).

Витрати тиску на переборювання тертя підчас руху (для всіх режимів) потоку в круглій циліндричній трубі:

(2.1)

де - коефіцієнт тертя; L, D – довжина та діаметр труби; - густина потоку; v – середня швидкість його руху.

Для ламінарного потоку (Re 2300) коефіцієнт тертя буде рівним для шорстких труб:

(2.2)

Втрата тиску у місцевих опорах:

де - коефіцієнт місцевого опору (табл. 4.6).

Таблиця 2.1. - Значення місцевих опорів

Місцевий опір	Значення
Діафрагма з гострими кутами у прямій трубі де d0 – діаметр отвору діафрагми; D – діаметр труби; - товщина діафрагми.
Вентиль нормальний (повністю відкритий)
Вентиль прямоточний
Засувка; де – умовний прохід
Кран пробковий

Загальні втрати тиску у трубопроводі під час руху рідини обчислюють за допомогою формули:

, (2.3)

де п –кількість місцевих опорів; g – 9,81 м/с²; h – висота підйому рідини; Р₁,Р₂– значення тиску на кінцях трубопроводу.

Трубопровід відноситься до інерційних об’єктів, його вихідний параметр – тиск після регулюючого органа, а вхідний – витрата матеріального потоку.

Резервуари (ємності).

Вони використовуються для зберігання (постійного або тимчасового) газів під тиском, або рідин. Резервуари газів (газгольдери, ресивери) мають як правило два матеріальні потоки: вхідний, від апарата нагнітання (вентилятор, компресор) і вихідний, з якого витрачається газ. Як об’єкт керування резервуар має один вихідний параметр – тиск. Вхідними параметрами можуть бути витрати у лінії нагнітання, та у лінії стоку, оскільки регулювання тиску газу у резервуарі можна виконувати тим чи іншим потоком.

Резервуар з газом відноситься до інверсійних об’єктів керування. У стані рівноваги кількість газу, яка входить у резервуар, дорівнює кількості газу, яка виходить з нього, тобто F_n = F_c, де F_n , F_c – масові витрати притоку та стоку.

Якщо стік відсутній то кількість газу у резервуарі:

, (2.4)

де V – об'єм резервуара; М – молекулярна вага газу; Р – тиск, МПа; z – поправочний коефіцієнт; Т – температура, К; R – газова стала.

Резервуари для рідини мають при наймі один вхідний F_n та один вихідний F потік. Як об’єкт керування, він має один вихідний параметр – рівень, якщо тиск над поверхнею рідини дорівнює атмосферному. У стані рівноваги притік дорівнює стоку, (F_n = F_c).

Відомі три способи подання рідини у резервуар (рис. 2.2):

1. На поверхню рідини;

2. Від дна резервуара;

3. У герметичний резервуар.

Якщо рідина подається на поверхню рис. 2.2.а. то кількість притоку становить:

,

де – густина рідини; – поперечний перетин резервуару; L – рівень.

Рис. 2.2. Способи подачі рідини у резервуар.

Якщо рідина подається знизу рис 2.2.б, то її кількість обмежуватиметься тиском гідростатичного стовпа, який становить:

(2.5)

Якщо P_H=P_Г , то настає стан рівноваги і рівень приймає стале положення, і :

(2.6)

звідки:

. (2.7)

Розглянемо рис 2.2.в. При подачі рідини з витратою F під тиском Р_H рівень L₁ буде підвищуватися. Тоді об'єм повітря над рідиною буде зменшуватися, що призведе до збільшення тиску Р. Зростання тиску продовжуватимешся до тих, доки не настане рівновага тисків . Тоді подача рідини в резервуар припиниться, і припиниться також збільшення рівня L₁. Об’єм повітря у верхній частині резервуару:

(2.8)

Оскільки:

; (2.9)

, (2.10)

де m_г – маса газу у верхній частині резервуару.

Теплообмінники

Теплообмінники – це пристрої, в яких відбувається теплообмін між гріючим та нагрівальним середовищами. У теплообмінних апаратах можуть відбуватися різні процеси: нагрівання, охолодження, випаровування, конденсація, кипіння, затвердіння та складні тепло - та масообмінні процеси. Теплообмінні апарати в залежності від призначення поділяються на підігрівачі, випарювачі, конденсатори, скрубери, регенератори, кип’ятильники, випарні установки та ін. За принципом дії вони поділяються на поверхневі, змішувальні та регенератори.

У поверхневих теплообмінниках два теплоносії розділяються стінкою і теплота передається від більш нагрітого теплоносія до менш нагрітого.

Змішувальні теплообмінники працюють без роздільної стінки між теплоносіями. Тому теплоносій переміщується за безпосереднього стикання теплоносіїв і супроводжується масообміном.

У регенеративних теплообмінниках передача теплоти проходить шляхом стикання одного теплоносія із завчасно нагрітими тілами – нерухомою або перемішуючою насадкою, яка періодично нагрівається або охолоджується другим теплоносієм.

Теплообмінні процеси можуть проходити лише за наявності різниці температури, яка є рушійною силою теплообміну. Теплота від одного тіла до другого може передаватися теплопровідністю, конвекцією та тепловим випромінюванням, тому слід розрізняти процеси теплообміну.

Процес передачі теплоти через стінку називається теплопередачею. Передача теплоти від поверхні твердого тіла (стінки) до газового або рідинного середовища називається конвективною теплопередачею.

Закон передачі теплоти теплопровідністю (Фур’є) має вигляд:

(2.11)

де – коефіцієнт теплопровідності; S – поверхня теплопередачі; Т – температура; х – товщина стінки.

Кількість теплоти, необхідної для нагріву тіла, пропорційна його масі і зміні температури:

, (2.12)

де m – маса тіла; с – питома теплоємність речовини; T₁,T₂ – температури теплоносія і нагріваючого тіла.

При теплопередачі (коефіцієнт k):

, (2.13)

де t – час переносу тепла.

Для конвективного теплообміну основною характеристикою є коефіцієнт тепловіддачі α_k, а кількість теплоти, що передається теплообміном становить:

. (2.14)

Є також променеве випромінювання. При нагріванні тіл частина теплової енергії перетворюється в променеву.

Кількість теплоти, яка переходить від більш нагрітого тіла до нагрітого променевим випромінюванням визначається рівнянням

,

де с_1-2 – коефіцієнт взаємного випромінювання; φ – кутовий коефіцієнт, що визначається формою і розмірами поверхонь, які беруть участь в теплообміні; Т₁ , Т₂ – температури більш і менш нагрітих тіл.

Попереднє рівняння можна записати у вигляді

, (2.15)

де .

Для сумісного теплообміну випромінюванням і конвекцією буде мати місце:

, (2.16)

де .

Теплоносіями в теплообмінних апаратах можуть бути: водяна пара, топкові гази, електронагрівання, нагріті рідини. Крім електронагріву теплоносії характеризуються масовими або об'ємними витратами.

Водяна пара – один з найпоширеніших теплоносіїв. Використовують насичену водяну пару. Питома теплота конденсації пари r = Дж/кг. Позитивна якість насичення водяної пари - сталість температури конденсації за умови даного (сталого) тиску, що дає змогу досить точно підтримувати температуру нагрівання і легко її регулювати, змінюючи тиск гарячої пари.

Теплота, що надходить з парою у теплообмінник становить:

; (2.17)

де – масові витрати пари.

Звідки витрати пари знаходять за формулою:

, (2.18)

ле – витрати назріваючої рідини; – середня питома теплоємність середовища; – початкова та кінцеві температури нагріваючого середовища; – втрати теплоти від стінок у навколишнє середовище, які приблизно становлять ( )% від ; – питома ентальпія пари; – питома теплоємність конденсату.

Обігрівання топковими газами використовується там, де потрібно отримати високі температури, для досягнення яких застосувати водяну пару або інші теплоносії неможливо. Вони дають змогу здійснювати нагрів до 1100⁰С, і створюються у процесі спалювання рідинного чи газоподібного палива у спеціальних топках.

Кількість тепла, яке виділяється при згорянні палива:

. (2.19)

де m – маса палива, яке повністю згоріло; r_р – теплота згоряння даного палива (твердого або рідинного).

Для газоподібного палива кількість теплоти, яка виділяється під час його згоряння:

, (2.20)

де V – об’єм повністю згорілого палива, - теплота згоряння газоповітряного палива.

Для об’єктів керування де використовуються теплота електричної енергії, кількість теплоти, яка виділяється електронагрівачем дорівнює:

. (2.21)

де U, I – напруга та струм у нагрівачі; t – час; R – активний опір; P - потужність нагрівача.

Теплота від електронагрівача може подаватися через теплопередачу, конвекцію та променеве випромінювання. Два останні способи, як правило, використовуються одночасно.

Якщо нагрівання теплообмінника здійснюється нагрітою (висококиплячою) рідиною, то кількість теплоти, що переноситься потоком нагрітої рідини, визначається рівнянням:

. (2.22)

де F_p ,с, T_p – масові витрати, теплоємнвсть, температура нагрітої рідини.

Випарні установки.

Випаровування застосовують для збільшення концентрації розчинів нелетких речовин, виділення з розчину чистого розчинника (дистиляція), і кристалізації розчинних речовин. Для нагріву випарюючого розчину до кипіння, використовують водяну пару, рідше інші теплоносії (топкові гази, електронагрів, тощо). Нагрівання випарюваного розчину виконується шляхом передачі теплоти через стінку. Випаровування ведуть під вакуумом, при атмосферному і підвищеному тисках. В залежності від методу випаровування, випарні установки поділяють на установки поверхневого типу, в яких розчин контактує з поверхнею теплообміну, та випарні установки контактного типу, де нагрівання здійснюється без роздільної поверхні теплообміну і випарні установки адіабатного випаровування.

Розглядаючи випарні установки, як об’єкти керування, робимо висновок, що вони можуть мати такі вихідні параметри: температуру Т, концентрацію Q (або густину) упареного розчину; тиск Р якщо установка працює під вакуумом, чи підвищеним тиском, а також рівень L рідини в нижній частині установки. Вхідними параметрами будуть: витрати свіжого розчину F_p, який підлягає випаровуванню; витрати енергоносія F_т, витрати упареного розчину F_k, а також витрати вторинної пари , якщо процес випаровування здійснюється під тиском, рис. 2.3:

Рис. 2.3. Структурна схема випарної установки, як об’єкту керування.

Рівняння матеріального балансу всього процесу випарювання має вигляд:

. (2.23)

де , – масові витрати свіжого та кінцевого упареного розчину; – масові витрати випареної води.

Рівняння матеріального балансу за абсолютно сухим компонентом, який перебуває в розчині має вигляд:

. (2.24)

де , – масові концентрації цільового компонента відповідно у свіжому і кінцевому розчині; , – густина цих розчинів.

З останнього рівняння маємо:

. (2.25)

Звідки кількість випареної води становить:

. (2.26)

Рівняння теплового балансу випарної установки має вигляд

. (2.27)

де – теплота теплоносія; – температура свіжого розчину; , – питомі теплоємності свіжого та кінцевого розчину; – температура кубової рідини установки;. – питома ентальпія вторинної пари на виході із апарату; – теплові втрати у навколишнє середовище.

Витрати складають теплового навантаження апарату, ними часто нехтують при моделюванні, тоді:

. (2.28)

Кількість теплоти, яка передається нагрівальною поверхнею випарної установці визначається рівнянням:

. (2.29)

де , – питомі ентальпії сухої насиченої пари та конденсату при температурі конденсації; – показник складу пари; – питома теплота конденсації граючої пари.