УКРАЇНА

НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра автоматизації сільськогосподарського

виробництва ім. акад. Мартиненка І.І.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕХНОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

(навчальний посібник)

Для студентів спеціальності 8.092501

«Автоматизовані системи управління

Технологічними процесами»

Київ – 2008

УДК 681.51

У навчальному посібнику викладені основи навчальної дисципліни «Математичне моделювання технологічних процесів», яка є необхідною для розробки систем автоматичного управління.

Матеріали навчального посібника призначені для використання при підготовці фахівців спеціальності 8.092501 «Автоматичні система управління технологічними процесами».

Рекомендовано до видання навчально-методичною радою факультету електротехніки та автоматики Національного аграрного університету.

Укладачі: доктор технічних наук, професор Кузьменко Б.В., канд.. техн.. наук, професор Лисенко В.П.

Рецензенти: Директор НДІ техніки і технологій НАУ, доктор технічних наук, професор Козирський В.В., декан факультету електрики та автоматики НАУ, кандидат технічних наук, доцент Радько І.П.

Навчальне видання ідентифікація та моделювання технологічних об’єктів (Навчальний посібник)

Для студентів спеціальності 8.092501

«Автоматизовані системи управління

Технологічними процесами»

Укладачі: КУЗЬМЕНКО Борис Володимирович

ЛИСЕНКО Віталій Пилипович

Зав. Видавничим центром НАУ А.П. Колесніков

Редактор

Підписано до друку Формат

Ум.друк.арк. Обл.-вид.арк.

Зам. №

Наклад 100 прим.

Видавничий центр НАУ

03040, Київ, вул.. Героїв Оборони, 15

ВСТУП

Покращення якості продукції та підвищення ефективності виробництва сільськогосподарської продукції неможливо без комплексної автоматизації виробничих процесів та вдосконалення методів управління. Для управління необхідний об’єкт управління, стан якого змінюється органом управління. Поява складних об’єктів управління та введення алгоритмів адаптації для управління об’єктами призвело до розв’язку задач ідентифікації та моделювання, спрямованих на вивчення стану, властивостей та керованості об’єктів управління.

Ідентифікація – це процес побудови моделі, адекватної об’єкту з точністю, яка визначається заданим критерієм. Істотного значення набуває апріорна інформація, коли відомою вважається структура об’єкта, тому, відповідно, задача ідентифікації зводиться до оцінювання параметрів. Розв’язок цієї задачі. Викладенню навчального матеріалу з цього питання є основною задачею цього навчального посібника.

1. Типові технологічні процеси та моделі об’єктів керування.

Математичне моделювання реалізується у трьох взаємопов’язаних стадіях:

• формалізація процесу – побудова математичної моделі (складання математичного опису об’єкту чи системи);

• програмування розв’язку задачі (розробка алгоритмів та програм) для знаходження числових значень параметрів;

• встановлення відповідності (адекватності) математичної моделі.

Побудова математичної моделі починається з формалізованого опису об’єкту моделювання. Аналітичний аспект моделювання складається із смислового описування об’єкта у математичній формі, у вигляді сукупності співвідношень між окремими параметрами моделі.

Рівняння, які виражають залежність вихідних координат об’єкту від вхідних, називаються статичними характеристиками, які необхідно під час проектування технологічного процесу, визначення нормальних режимів роботи устаткування, оптимізації технологічних процесів і конструювання об’єктів із заздалегідь заданими властивостями. Для стаціонарних об’єктів сталий режим є незмінним у часі і не залежить від часу.

Рівняння статистики можуть бути зображені як в алгебраїчній, так і в диференціальній формі. Для реактору з мішалкою для гомогенної реакції статична характеристика має вигляд:

, (1.1)

де , х – концентрація речовини на виході та вході апарату з об’ємом V; y₁,y₂… - концентрації речовини всередині апарату.

Для трубчатого реактора рівняння статики має вигляд:

, (1.2)

де - концентрації речовини y₁, y_{2 –} в перерізі, розміщеному на відстані l від входу в апарат; l – довжина апарату.

Сукупність математичних виразів, які описують зміну в часі вихідних координат об’єкту - це математичний опис його динаміки. Рівняння, які встановлюють залежність вихідних координат від зміни вхідних збурюючих параметрів, називаються динамічними характеристиками.

Динамічні характеристики об’єктів, як правило, описуються диференціальними рівняннями. Залежність вихідних координат від часу при зміні вхідних називається перехідним процесом об’єкту або системи керування.

Перехідні процеси в об’єктах із зосередженими параметрами описуються лінійними диференціальними рівняннями. Наприклад зміну концентрації y₁(t) речовини в реакторі ідеального змішування можна описати рівнянням:

(1.3)

де V – об’єм реактора; F₁,F₂ – витрати речовини на його вході і виході; W_p – швидкість утворення продукту реакції ; y₁(t); y₂(t) – відповідно, вхідна та вихідна концентрації.

Динаміка об’єктів з розподіленими параметрами описуються диференціальним рівнянням з частинними похідними, які містять похідні за часом. Наприклад, для трубчастого реактору ідеального витіснення диференціальне рівняння має вигляд:

, (1.4)

де l – координата по довжині труби; V – швидкість потоку.

Статичні характеристики входять в рівняння динаміки об’єктів керування в явній чи неявній формі.

Структура та компоненти моделі.

Об’єктом керування (рис. 1.1) називається апарат, або сукупність апаратів, з вхідними та вихідними параметрами, між якими існує функціональний зв’язок. Для об’єктів керування вхідними координатами є витрати палива, сировини інших енергоносіїв (наприклад електрична потужність, пара під тиском). До вихідних відносяться : температура Т, тиск Р, рівень L, концентрація Q речовини. Об’єкт або система характеризується збуреннями. Це технологічні параметри, які мають функціональний зв’язок з вихідними координатами, що підлягають контролю, але не можуть бути керованими.

Рис. 1.1. Структурна схема об’єкту керування.

Наприклад температура газового чи рідинного потоку, концентрація речовин і т.д. Одним з найсуттєвіших збурень об’єкта є зміна навантаження. Під навантаженням об’єкта розуміють кількість речовини або теплоти, що проходить через об’єкт за одиницю часу.

Вихідні координати об’єктів керування є регулювальними величинами (відповідають технологічним параметрам T,P,L,Q). Вхідні координати x₁, x₂ (витрати сировини F_M і теплоти F_T) є регулюючими, за їх допомогою підтримується на заданому рівні вихідні координати за наявності збурень (відповідно T₀,F₀,P₀,Q₀).

Технологічні об’єкти поділяються на одно- та багатовимірні. Одновимірні об’єкти мають одну вихідну координату і описуються одним рівнянням статики та динаміки. Прикладом одновимірного об’єкту керування може бути резервуар з рідиною. Вхідними координатами є витрати: надходження F_n та стік F_c рідини, а вихідною координатою – рівень рідини L. Якщо регулюючою координатою є стік F_c, то прихід F_n буде збуренням (рис. 1.2).

Вихідну координату можна змінювати впливаючи на величину стоку регулюючим органом (PO). Рівняння статики такого об’єкту має вигляд:

, (1.5)

а рівняння динаміки:

. (1.6)

Рис 1.2. Резервуар з рідиною (а), та його структурна схема (б).

Якщо регулюючий орган закритий і F_c = 0, то:

. (1.7)

У багатовимірних об’єктах з незалежними вихідними координатами зміна однієї з вихідних координат приводить до зміни тільки своєї вихідної координати. Такі об’єкти можна розділити на декілька одновимірних об’єктів і розглядати їх незалежно один від одного. Прикладом такого об’єкту може бути апарат для підігрівання води (рис. 1.3).

Рис. 1.3 Випарна установка (а), та її структурна схема (б).

В апарат надходить вода з витратою F_n і температурою Т₁. Нагрівання води до температури Т₂ відбувається за допомогою теплообмінника, по якому подається теплоносій (вода, пара та ін.). Для забезпечення загального матеріального балансу в апараті необхідно підтримувати відповідний рівень води. Зміна витрат теплоносія не буде впливати на рівень, а останній (в певних межах) на температуру нагріву. Тоді можна вважати, що об’єкт керування розділяється на два одновимірних, з окремими вихідними та вхідними координатами (рис. 4.4),

Рис. 1.4. Розділення двовимірного об’єкта з незалежними координатами на два одновимірних

В багатовимірних об’єктах з взаємозалежними вихідними координатами зміна вхідних величин призводить до одночасної зміни декількох вихідних, що пояснюється наявністю перехресних Зв’язків. Наприклад, у випарній установці рідина нагрівається до температури кипіння. За рахунок випаровування змінюється рівень і тиск в апараті, що змінює температуру кипіння (рис. 1.5)

Рис. 1.5. Випарна установка (а), та її структурна схема (б)

Зміна витрат теплоносія F_T приводить до зміни температури Т кипіння, тиску Р, а також рівня L рідини. Витрата пари впливає на тиск Р і рівень рідини L, а зміна величини стоку призводить до зміни рівня і тиску. Тобто зміна хоча б однієї вхідної координати спричиняє одночасну зміну всіх вихідних координат.

Такий об’єкт може бути описаний системою із трьох рівнянь причому кожне із них вміщує другі вихідні координати. Для температури математична модель матиме вигляд:

(1.8)

для тиску:

(1.9)

для рівня:

(1.10)

Технологічні об’єкти поділяються на об’єкти без внутрішніх зворотних зв’язків, з від’ємним зворотним зв’язком і додатним зворотним зв’язком.

Об’єкти у яких відсутній вплив вихідної координати на вхідну, тобто внутрішній зворотній зв’язок відсутній, називаються нейтральними. Приклад - розглянутий раніше, резервуар з рідиною, якщо стік F_c = 0. В теорії автоматичного керування такий об’єкт називається інтегруючою динамічною ланкою, яка описується рівнями:

, (1.11)

де k – коефіцієнт передачі ланки за швидкістю.

Це рівняння описує об’єкт по каналу збурення , оскільки х = 0. Диференціальне рівняння має вигляд:

, (1.12)

де - стала часу об’єкту.

Розглянемо резервуар з рідиною. Для F_c = 0 рівняння матеріального балансу буде мати вигляд:

, (1.13)

де V – об’єм рівня в апараті.

Тобто:

. (1.14)

Замінимо об’єм V через рівень L і поперечний переріз S, тобто , оскільки . Тоді:

. (1.15)

Проінтегруємо вираз від 0 до t:

. (1.16)

При ступінчатій зміні F_n на величину рівень рідини L змінюватиметься:

, (1.17)

тобто швидкість зміни рівня при ступінчастій зміні притоку F_n є сталими і становлять

. (1.18)

У відносних одиницях, при умові , , (L₀, – величини рівня та притоку за умови урівноваженого стану об'єкту). Тоді:

, (1.19)

або:

, (1.20)

порівнюючи коефіцієнти матимемо:

. (1.21)

Y

б

Рис. 1.6. Структурна схема (а) та перехідний процес (б)

нейтрального об’єкту

Стік рідини в розглянутому раніше резервуарі з рідиною (рис. 1.6, а, б) створює внутрішній від’ємний зв’язок: підвищення рівня рідини за рахунок збільшення притоку F_n призводить до зростання гідростатичного тиску рідини і витрат через стічну трубу. Тобто незалежно від величини притоку, кожен раз буде встановлюватися нове стале положення рівня. Зворотний зв’язок буде жорстким з коефіцієнтом k_зв . В цьому випадку нейтральний об’єкт буде доповнюватися зворотним зв’язком, як показано на рис. 4.7.

Рис. 1.7. Структурна схема та перехідний процес апарату із стоком

Передаточна функція такого об’єкту буде W(s) = k/(T·s + 1), де k = 1/ k _зв ; Т´₀ = Т₀ / k _зв .

Це рівняння описує аперіодичну ланку і відповідає такому диференціальному рівнянню:

, (1.22)

де - стала часу; k – коефіцієнт передачі.

Розв’язком є експоненціальна залежність:

(1.23)

Об’єкти керування, які описуються рівняннями та називаються стійкими об’єктами першого порядку.

Кожний об’єкт керування технологічними процесами розділяється на елементарні динамічні ланки з відомими передаточними функціями. З’єднання динамічних ланок може бути послідовним, паралельним, або із зворотним зв’язком. Слід врахувати, що об’єкти керування мають “чисте запізнення”, яке виражається в тому, що їх вихідні величини починають змінюватися не відразу після нанесення збурення, а через деякий проміжок часу. У динамічній моделі чисте запізнення враховується окремою динамічною ланкою, яка включається послідовно з ланкою об'єкту. Основні структурні схеми об'єкту керування та, відповідно, їх передаточні функції наведено в таблиці 1.1.

Таблиця 1.1 - Основні структурні схеми об'єктів керування та їх передаточні функції.

Об’єкт	Структурна схема	Передаточна функція
Нейтральний другого порядку
Стійкий другого порядку
Те саме
Стійкий третього порядку
Те саме	y
Нейтральний першого порядку із запізненням
Стійкий першого порядку із запізненням
С тійкий другого порядку із запізненням
Те саме

Рівняння руху об’єктів з чистим запізненням має вигляд:

, (1.24)

або:

. (1.25)

Об’єкти з позитивним зворотним зв’язком відносяться до нестійких.

Приклад.

Хімічний реактор ідеального перемішування в якому відбуваються екзотермічна реакція. Якщо теплота, що виділяється в результаті реакції, перевищує теплоту, що відводиться системою охолодження, то температура в реакторі підвищуватиметься і зростатиме швидкість реакції і температура. Позитивний зворотній зв’язок в реакторі створює швидкість реакції. Диференціальні рівняння, що описують об’єкти керування з позитивними зв’язками, містять від’ємні складові, наприклад:

(1.26)

або

. (1.27)

Результатами математичного моделювання об’єктів керування є отримання передаточних функцій для всіх вхідних каналів, які входять в структурні схеми автоматичних систем керування.

Параметри технологічного об’єкта керування необхідні для розрахунків оптимальних настроювань регуляторів та досягнення якості перехідного процесу системи регулювання.