3.Дифференциальные уравнения второго порядка.

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка :

стандартный вид:

Рассмотрим важнейшие классы таких уравнений. Основной метод решения - это понижение порядка дифференциального уравнения, т.е. сведение его к уравнению (или уравнениям) первого порядка. Для этого делается общая замена

y^/ = р,

где p≡p(x) – новая неизвестная функция от x.

3.1. Класс простейших дифференциальных уравнений

где f(x) – известная функция. Уравнение решается последовательным интегрированием.

Метод решения. Вводим р = y^/, тогда p^/ = Следовательно, р есть

первообразная от известной функции f( x); она находится интегрированием:

В результате появится произвольная постоянная С₁. Теперь в уравнении

y^/ = р

y^/ есть известная функция от х. Как и выше, у есть первообразная от р(х) и , следовательно, находится интегрированием:

у =

В ответе появляется еще одна произвольная постоянная С₂ .

Пример 8.

Решение. р = y^/; p^/=sin2x-4; ;

.

Ответ:

Пример 2 из раздела 1 также относится к рассматриваемому классу.

3.2. Класс уравнений, не содержащих y.

Метод решения. Вводим р = y^/ , тогда p^/ = Для p получилось

ДУ первого порядка. Решая его методом разделения переменных

(раздел 2.2), находим р = р(х).

Пример 9. x y^//+2y^/=0

Решение. р = y^/; xp^/=-2p, отсюда , ln p=-2ln x+ln C₁, p=C₁x^-2, y=-C₁x^-1+C₂.

Ответ: y=-C₁x^-1+C₂ .

3.3. Класс уравнений, не содержащих X.

Метод решения. Заменяем y^/= =p, Далее p считаем сложной функцией: р=р(у(х)). Тогда , и уравнение принимает вид: p =f (y,p).Это ДУ первого порядка .Находим р как функцию от у : p=p(y). Это еще одно ДУ первого порядка: =p(у).Решаем его методом разделения переменных:

Пример 10: .

Решение. , , ln p=lny+lnC, p=Cy, ,

ln y=C₁ x+lnC₂.

Ответ: y=C₂· .

3.4. Класс линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

К этому классу относятся ДУ вида

y^// +py^/+qy = f(x), (13)

где p,q – вещественные числа. Это же уравнение с нулевой правой частью, т.е. когда f(x)=0, называется линейным однородным ДУ. Вначале решают линейное однородное ДУ, а затем находят общее решение линейного неоднородного ДУ.

а) Линейные однородные уравнения дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами.

y^// +py^/+qy = 0 . (14)

Они попадают в класс ДУ из раздела 3.3. Однако для них имеется более простой метод решения.

Пусть y₁(x) и y₂(x) - частные решения этого уравнения.

Определение. Два решения называются линейно зависимыми, если

они пропорциональны друг другу: y₂(x) = α · y₁(x) или y₂(x) = b · y₁(x) . Понятия линейной зависимости и линейной независимости применимы к любой паре функций. Например, и при линейно независимы, так как .Две функции e^kx и z(x)e^kx также линейно независимы, если z(x) – многочлен степени ≥ 1.

Для двух линейно независимых частных решений y₁ и y₂ ДУ(14) и произвольных постоянных C₁ и C₂ линейная комбинация

y=C₁ y₁+ C₂ y₂ (15)

является решением ДУ (14). Эта формула в действительности даёт все решения линейного однородного ДУ (14),так как число (два) произвольных постоянных совпадает с порядком ДУ, и разным значениям произвольных постоянных соответствуют разные решения. Если решение дифференциального уравнения есть комплексная функция y(x)=u(x)+iv(x), то отдельно действительная часть u(x) и мнимая часть v(x) являются решениями.

Будем искать решение уравнения (14) в виде y(x)= e^kx, где k - пока неизвестное число. Тогда y^/=ke^{k x}, y^//= k²e^kx , и уравнение примет вид:

k ² e^kx+ pke^kx+qe^kx = 0.

Поделив обе части уравнения на e^kx, получим алгебраическое, а именно, квадратное уравнение относительно неизвестного k:

k²+pk+q = 0

(это уравнение называется характеристическим), решение которого есть

.

Числа k₁ и k₂ называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим три возможности ( >0, =0, <0) для подкоренного выражения. (Напомним, что p² - 4 q называется дискриминантом характеристического уравнения.)

1. >0, тогда , и - два линейно независимые решения уравнения (14). Общее решение имеет вид

y(x)=C₁ +C₂ . (16)

2. =0, тогда . Формула y(x)= e^kx дает только одно из двух линейно независимых решений: y₁(x)= e^kx. Второе решение y₂(x) ищем в виде y₂(x)= z(x)· e^kx. Подставляя это в уравнение (14), получаем : z^//=0, одним из решений которого является z = x. В результате получаем пару линейно независимых решений y₁(x)= e^kx, y₂(x) =xe^kx и общее решение ДУ (14):

y(x)= e^kx + e^kx. (17)

3. <0, k₁=α +βi, k₂=α – βi, где . Общее решение

y(x)= e^{( α + βi)x}+ e^{( α - βi)x} = e^{α x} ( e ^βix+ e^{- βix}).

Согласно формулам Эйлера e ^βix=cos βx+isin βx, e^{- βix}= cos βx-isin βx.

Как указывалось выше, в случае комплексного решения отдельно e^{α x} cos βx и e^{α x} sin βx являются решениями. Следовательно, общее решение (вещественное) ДУ (14) имеет вид

y(x)= e^{α x}(С₁ cos βx+С₂ sin βx). (18)

Пример 11. y^// -2y^/-8y = 0.

Решение: k²-2k-8=0, k₁=4, k₂=-2. Согласно формуле (16) пишем

Ответ: y=C₁e^4x+C₂e^-2x.

Пример 12. y^// - 6y^/ + 9y = 0.

Решение: k⁰-6k+9=0, k₁= k₂=k =3. Согласно формуле (16)

Ответ: y = C₁e^3x+C₂xe^3x.

Пример 13. y^// - 6y ^/+ 13y = 0

Решение: k²-6k+13=0, k₁=3-2i, k₂=3+2i. Согласно формуле (18) имеем

Ответ: y = e^3x(C₁ cos2x+C₂ sin2x).

б) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного линейного ДУ (13) равно сумме

y=C₁y₁+C₂y₂+y*

общего решения C₁y₁+C₂y₂ соответствующего однородного уравнения (14) и частного решения y* данного неоднородного уравнения (13). Частное решение y* определяется видом правой части f(x) в (13), и его можно явно определить для функций f(x) специального вида – произведений функции е^lх и многочленов P_n(x) некоторой степени ≤ n . (При комплексном l берется вещественная часть такой такого произведения; см. ниже).

При вещественном l ,когда

f(x) = P_n(x)·e^lx ,

частное решение y* можно взять в виде

y* = x^m·Q_n(x)·e^lx,

где показатель m означает, со сколькими корнями k₁ и k₂ характеристического уравнения совпадает l ( показатель m может быть 0, или 1, или 2).

Если l=λ+μi- комплексное число, то правая часть f(x) cпециального вида есть вещественная часть произведения е^lх на многочлен, т.е.

f(x) = e^λx · (P_n(x)·cos μx+ _n(x)·sin μx).

Тогда частное решение ищется в виде

y* = x^m ·e^λx ·( Q_n(x)·cos μx + _n(x)·sin μx),

где m=0. если λ+μi не совпадает ни с одним из корней k₁ и k₂ ,

и m=1, если λ+μi совпадает с одним из корней k₁ и k₂ .

Перечислим типичные случаи.

(а) f(x)=P_n(x) (P_n(x) - многочлен n -й степени), тогда y* ищем в виде:

y*=Q_n(x), если k₁ ≠ k ₂, k₁ ≠0, k ₂ ≠ 0 ;

y*=xQ_n(x), если k₁ =0, k ₂ ≠0;

y*=x²Q_n(x), если k₁ = k ₂= 0.

2. f(x)=ae^lx с вещественным l, тогда y* ищем в виде:

y*=Ae^lx, если l ≠k₁, l≠k₂;

y*=Axe^lx, если k₁ ≠ k ₂ , l=k₁ либо l=k₂;

y*=Ax²e^lx, если l=k₁=k₂.

(c) f(x)= e^λx(a ·sinµ+b·cosµx) с комплексным l= λ+iμ, тогда y* ищем в виде:

y*= e^λx· (A ·sin µx+B ·cos µx),если λ+iμ≠k ₁ и λ+iμ≠k₂;

y*=x·e^λx (A ·sin µx+B · cosµx), если λ+iμ=k ₁ или λ+iμ=k₂.

Для нахождения частного решения y* применяется метод неопределённых коэффициентов : подставляем y* в уравнение (13) и находим неизвестные коэффициенты многочлена Q_n(x) или неизвестные числа A,B.

Пример 14. y^// -2y^/-8y =2e^x.

Решение: общее решение однородного уравнения есть С₁e^4x+С₂e^-2x, Частное ищем в виде y*=Аe^x. Подставляя y* в исходное уравнение, получим

A e^x -2A e^x -8A e ^x =2 e^x . откуда находим А=-2/9 и y*=- 2/9 e^x.

Ответ: y(x) = С₁e^4x+С₂e^-2x - 2/9 e^x.

Пример 15. y^// -2y^/-8y = e^4x .

Решение: общее решение однородного уравнения: С₁e^4x+С₂e ^-2x; частное решение ищем в виде y*=Aхe^4x . Подставляя в исходное уравнение y* и приравнивая коэффициенты при e^4x , получим A = 1/6

и y*=1/6 e^4x .

Ответ: y(x) = С₁e^4x+С₂e^-2x +1/6 xe^4x.

Пример 16. y^// -6y^/+9y = e^3x.

Решение: общее решение однородного уравнения есть С₁e^3x+С₂ xe^3x, тогда частное решение ищем в виде y*=Aх²e^3x . Подставляя y* в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при е^3х , получим: A =1/2,

y*=1/2· x²e^3x

Ответ: y(x) = С₁e^3x+С₂ xe^3x + 1/2· x²e^3x.

Пример 17. y^// - 6y ^/+ 25y =50 x.

Решение: общее решение однородного уравнения есть e^3x(C₁ ·cos 4x+ C₂·sin 4x); частное решение ищем в виде y*=Ax+B. Подставляя это в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим: A=2, B=12/25 , y*=2x+12/25.

Ответ: y = e^3x(C₁ cos 4x+ C₂ sin 4x)+2x+12/25.

Пример 18. y^// -6y ^/+ 13y =sin x.

Решение: общее решение однородного уравнения есть e^3x(C₁ cos 2x+

C₂ sin 2x).Частное решение ищем в виде y*=A sin x +B cos x. Подставляя y* в исходное и приравнивая коэффициенты при sin x и cos x, получим А=1/15, В=1/30 , y*=1/15· sin x +1/30 ·cos x.

Ответ: y = e^3x(C₁ cos2x+ C₂ sin2x)+ 1/15· sin x +1/30 ·cos x.