2.3. Класс однородных дифференциальных уравнений.

ДУ первого порядка y^/=f(x,y) называются однородными, если его правую часть можно представить как функцию только от отношения переменных у и х: . Имеем ДУ вида

. (7)

Метод решения. Заменим неизвестную функцию y новой неизвестной функцией u по формуле y=ux, получим:

, и уравнение (7) примет вид

Это уравнение с разделяющимися переменными:

, .

Интегрируя, найдём

Пример 6. (x+y)dx + xdy=0.

Решение. Разделим обе части уравнения на x, получим: Имеем ДУ в нормальной форме типа (7): y^/ = - Заменим y на uх, получим u ^/ + u =-(1+ u) или u ^/ =-(1+2u) . Это уравнение с разделяющимися переменными: , которое можно проинтегрировать: . Обозначим 2С₁ = lnC. По свойствам логарифмов имеем , или . Отсюда находим: 1+2u =Cx^-2.

Ответ: u= .

2.4.Класс линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение линейное (т.е. первой степени) относительно неизвестной функции и её производной:

a(x) y^/+b(x) y=f(x) , (8)

где a(x), b(x) и c(x) - заданные функции от x (в частности, они могут быть постоянными числами).

Метод решения линейного ДУ.

Для решения уравнения искомую функцию y будем искать в виде произведения двух множителей:

y=uv. (9)

Одну из этих функций u удобно выбрать как (ненулевое) частное решение уравнения (8) с нулевой правой частью:

а(х) . (10)

(Такое ДУ называется линейным однородным.) Другая функция v определится из уравнения (8).

Разделяя переменные в уравнении (10), получим: ; интегрируя, находим ln u = -F(x) +C₁, где F(x) - первообразная для . Так как достаточно иметь какое-либо отличное от нуля решение уравнения (10), то можно положить С₁=0. В результате: u=e ^-F(x) .

Подставим (9) в уравнение (8):

а(х) uv^/ +а(х) u^/v+b(x)uv=f(x), или а(х) uv^/ +[а(х )u^/ +b(x)u]v=f(x).

Мы специально выбрали u с помощью уравнения (10), так чтобы в последнем уравнении выражение в квадратных скобках обнулилось.

Получаем для v простейшее ДУ: а(х)u(х) v^/ =f(x) , v^/ = , откуда находим v=

Общее решение ДУ (8): у = u(х)· .

Подведем итог. Общее решение ДУ (8) ищем в виде y=uv, где u – (ненулевое) частное решение линейного однородного ДУ

a(x) u^/ + b(x) u=0,

а v – общее решение простейшего ДУ

a(x) u(х) v^/ =f(x).

Пример 7. xy^/+y=3.

Решение. Ищем решение в виде y=uv, где u - (ненулевое) частное решение линейного однородного ДУ

, (11)

а v – общее решение простейшего ДУ

х u(х) v^/ = 3. (12)

Разделяя переменные в уравнении (11), получим , которое после интегрирования и отбрасывания произвольной постоянной примет вид ln u = - ln x, ln u=x^-1, u=x^-1. Подставляем u=x^-1 в уравнение (12), получаем:

х x^-1v^/ =3, или v^/ =3 , общее решение которого есть v= = 3x+C.

Ответ: y=x^-1(3x+C) =3+ С x^-1 .