14

министерство образования и науки российской федерации

государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Российский заочный институт

Текстильной и лёгкой промышленности

Кафедра математики и физики

М А Т Е М А Т И К А

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Тема12.

Методические указания к решению задач

по дисциплинам «Высшая математика», «Математика в экономике»

для студентов всех специальностей

Москва 2010

Составители ОксакА.И., Ровенская О. С.

Дифференциальые уравнения, тема12. Методические указания к решению задач по дисциплинам «Высшая математика», «Математика в экономике».

М. 2011. 13с.

Предназначено для студентов всех специальностей.

1. Общие понятия.

Для описания различных явлений в природе, науке, технике используется понятие функции. Тем не менее не всегда возможно установить характер зависимости одного явления от другого, т.е. функции одной переменной величины, у, от независимой переменной х (другими словами, функция y(x) может быть неизвестна). Если известна зависимость между величинами x, y и производными от y по x: y^/, y^//,…, y⁽ⁿ⁾, то можно записать уравнение, связывающее эти величины.

Дифференциальным уравнением (сокращенно ДУ) называется равенство, содержащее независимую переменную, например, x (которая считается «известной»), неизвестную функцию у= y(x) (которую нужно «найти») и одну или несколько ее производных y^/, y^//,…, y⁽ⁿ⁾. Общий вид ДУ таков :

. (1)

Мы рассматриваем случаи, когда неизвестная функция зависит только от одной переменной. Такие ДУ называется обыкновенными. В общем случае неизвестная функция может зависеть от нескольких переменных; тогда ДУ содержит частные производные этой функции по независимым переменным и называется уравнением в частных производных.

Порядком ДУ называется порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в уравнение. Решением, или частным интегралом ДУ называется всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая его в тождество. График решении называется интегральной кривой.

Пример 1. y^/ = x - x².

Решение. Это ДУ первого порядка; y(x) – первообразная для x - x² .

Ответ : (С – произвольная постоянная).

Как видно из этого примера, ДУ может иметь много решений. Придавая произвольной постоянной C различные числовые значения, мы получим различные так называемые частные решения уравнения.

Решение у= y(х,С₁,…,С_n) ДУ называется общим, если оно содержит столько произвольных постоянных C₁,C₂,…,C_n, каков порядок ДУ, причем различным значениям C₁,C₂,…,C_n соответствуют различные решения ДУ.

ДУ (1), разрешенное относительно старшей производной y⁽ⁿ⁾, имеет нормальную форму

y⁽ⁿ⁾ = . (2)

Как правило, нужное в конкретной задаче частное решение характеризуется своими начальными условиями. Для дифференциальных уравнений первого порядка задание начального условия сводится к указанию начального значения у₀ ≡y(x₀) неизвестной функции в некоторой начальной точке х =х ₀. Для дифференциального уравнения второго порядка начальные условия требуют задания значения у₀≡у(х₀) искомой функции и ее производной y^/₀ ≡ y^/(х₀) в начальной точке х=х₀.Числа у₀ и y^/₀ называются начальными значениями. В общем случае начальные условия должны содержать столько начальных значений, каков порядок дифференциального уравнения, т.е. каково число произвольных постоянных в общем решении.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения по начальным условию называется задачей Коши. Доказано, что если правая часть уравнения (2) и ее частные производные по всем переменным (кроме х)

непрерывны, то существует единственное решение задачи Коши на некотором интервале значений х, содержащем точку х₀. Это утверждение называется теоремой существования и единственности.

Подставляя начальное значение в общее решение y(х,С) ДУ первого порядка, получаем обыкновенное (недифференциальное ) уравнение для С :

y(х₀,С)=у₀,

из которого определяем то значение С = с произвольной постоянной С, которая доставляет требуемое решение у =y(х,с) задачи Коши.

Пример 2. Рассмотрим падение тела в пустоте. у(х) - координата тела

в любой момент времени х ; g – ускорение свободного падения; v(х) – скорость движения. Так как у^/(х) = v(х), a v^/(х) = - g, то у^//(х) = - g , т.е. закон движения тела записывается дифференциальным уравнением второго порядка: . (Перед­ g стоит знак минус, потому что сила тяжести направлена в сторону, противоположную направлению оси Оy.) Найти общее решение, а также решение задачи Коши при начальных условиях у(0)=2, v(0)=0.

Решение. v(х) – первообразная для -g, у(х) - первообразная для v(х). По определению пишем:

.

у(х) –общее решение дифференциального уравнения. Если v(0)=0 и у(0)=2, то С₁=0, и С₂=2, и частное решение будет имеет вид

Имеется сравнительно немного классов дифференциальных уравнений,

которые решаются в явном виде. Для каждого такого класса существуют свой метод решений. Практически любое дифференциальное уравнение можно решить на ЭВМ численно. В связи с развитием вычислительной техники численные методы приобретают всё большее значение.