30. Экспертное ранжирование альтернатив.

Для оценивания альтернатив в различных ситуациях используются следующие шкалы. Причём каждый тип шка­лы имеет ограниченную область применений, выход за которую дает ошибочные или бес­смысленные результаты.

Шкала наименований применяется для классификации. Она служит только для разделения на классы и не позволяет говорить об их предпочтительности.

Порядковая (ранговая) шкала применяется для упорядоче­ния объектов по их пред­почтительности, но не позволяют утверждать, в какой степени один объект лучше, чем другой. Например, один ученик превосходит другого по ряду предметов, при этом могут быть не учтены другие качества второго ученика, которые могут быть решающими в другой ситуации. Как тут не вспомнить опыт Японии, который заключается в том, что каждому человеку ищут наиболее подходящую сферу применения.

При ранжировании эксперты своим качественным сужде­ниям приписывают количественные оценки, которые называются баллами. При этом с учётом человеческого фактора (эксперты тоже люди) количество этих баллов ограничено психическими возможностями человека – 7±2. (Очевидно, что суммирование этих баллов может давать любые оценки) Бал­лы показывают ранг тех или иных объектов и сле­дуют обычно в порядке возрастания их предпочтительности. Баллами можно оценивать квалификацию со­трудников, рейтинги предприятий. Говоря о предпочтениях, можно заменять это слово на термин «доминирование» и, например, делать вывод о доминировании одной альтернативы по отношению к другой. При ранжировании групп объектов используется понятие «стратификация». Например, отели в зависимости от качества обслуживания относят к разным стратам и обозначают соответствующим числом звезд.

Как для классификации, так и для ранжирования могут использоваться мнения экспертов. Их оценки называются экспертными. Бесспорно оценки экспертов являются важнейшими для менеджмента. Напомним, в связи с этим ориентировочное соотношение явных и скрытых знаний у специалиста: 20% к 80%.

Наиболее совершенными являются мет­рические шкалы. Это шкала интервалов, шкала отношений и абсолютная шкала.

В шкале интервалов из­меряются сроки службы оборудования, сроки начала и окончания работ и все другие пока­затели, для измерения которых необходимо фиксировать масштаб и начало отсчета.

Шкала отношений – частный случай шкалы интервалов. Однако она более совершенна, чем шкала интервалов, так как при любых преобразованиях сохраняет отношение свойств объектов и позво­ляет судить о том, во сколько раз некоторое свойство одного объекта «сильнее» или «сла­бее», чем это же свойство у другого объекта.

Абсолютная шка­ла – самая совершенная. Это означает, что существует только одно отображение объектов в числовую шка­лу. Например, в абсолютной шкале определя­ются число людей, объектов, событий и т.д., которое можно измерить единственным спосо­бом с помощью натуральных чисел.

Шкала считается тем совершенней, чем мень­ше множество ее допустимых преобразований.

Наибольший интерес для принятия УР представляет порядковая (ранговая) шкала, поскольку ею пользуются эксперты, т. е. профессионалы, помогающие ЛПР сориентироваться в сложных коллизиях проблемной ситуации.

Экспертное ранжирование альтернатив

При сравнении альтернатив возможны три варианта результата: А доминирует Б (будем обозначать это как А > Б), Б доминирует А (Б > А) и альтернативы А и Б равноценны (А = Б). Как уже упоминалось, ранговая шкала – особенная, т.е. не говорит о том на сколько одна альтернатива отличается от другой, а говорит только о порядке следования альтернатив. Такое оценивание чаще субъективное, чем объективное. Тем не менее, стремление к объективности в современном мире повсеместно. Встаёт вопрос только в том, насколько оно оправдано. Надо не забывать, что объективная телеология, те наука о том, что человеческое поведение можно измерять по аналогии с машинным – это кибернетика, которая возникла только в середине 20 века.

Рассмотрим методы перехода от индивидуальных ранжирований экспертов к групповому (итоговому) ранжированию. Для этого возьмём простейший пример.

Пусть имеется множество альтернатив {a1; a2; a3; a4} и множество экспертов {Э1; Э2; Э3}. Составим следующую матрицу ранжирования альтернатив Аi экспертами Эj.

Табл. Матрица ранжирования

Ранги	Э1	Э2	Э3	Шкала Борда
1	а3	а3	а1	4
2	а4	а2	а2	3
3	а2	а1	а4	2
4	а1	а4	а3	1

Самый простой метод поиска группового ранжирования по данным ранжированиям экспертов называется метод суммирования рангов. При этом сначала для каждой альтернативы суммируются ранги, данные каждым из экспертов:

Для а1 эта сумма – 4+3+1=8;

Для а2 – 3+2+2=7;

Для а3 – 1+1+4=6;

Для а4 – 2+4+3=9.

Напомним, что чем меньше сумма рангов, тем лучше.

Поэтому итоговое ранжирование будет следующим: a3>a2>a1>a4.

Метод Борда (Франция, XVIII век) отличается от рассмотренного только шкалой, которая для данного примера приведена в табл.

Метод парных сравнений предложен во Франции, также в XVIII веке, математиком Кондорсе. Рассмотрим его на том же примере.

Сначала при помощи идеи предложенной Н.П.Белецким в учебном пособии Интеллектуальная техника менеджмента выделим все возможные пары альтернатив и отметим знаками >,< характер их доминирования.

Табл. Выделение пар альтернатив и отношений доминирования между этими аi

a1 << > a2
a1 << > a3	a2 << > a3
a1 < >> a4	a2 < >> a4	a3 < >> a4

Далее подсчитаем количество доминирований для каждой альтернативы:

Для а1 – 1+1+2=4;

Для а2 – 2+1+2=5;

Для а3 – 2+2+2=6;

Для а4 – 1+1+1=3.

Чем больше доминирований, тем лучше альтернатива.

Итоговое ранжирование будет следующим: a3>a2>a1>a4. Получено аналогичное групповое ранжирование. Однако, этот метод считается лучшим по сравнению с предыдущими.

Интересный метод поиска группового ранжирования предложен в учебнике А.И. Орлова «Теория принятия решений». Назовём его метод медиан.

Матрицу ранжирования в этом случае представим в виде:

Табл. Матрица рангов

	а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7
Э1	5	3	1	2	7	4	6
Э2	5	4	3	1	7	2	6
Э3	1	6	5	4	7	2	3
Э4	5	4	2,5	2,5	7	1	6
Э5	7	2	4	6	3	5	1
Э6	5	6	4	3	2	1	7
Э7	6	1	2	3	5	4	7
Э8	5	1	3	2	7	4	6
∑ рангов	39	27	24,5	23,5	45	23	42
Итоговый ранг по ∑	5	4	3	2	7	1	6
Медианы	5	3,5	3	2,75	7	3	6
Итоговый ранг по медианам	5	4	2,5	1	7	2,5	6

Здесь строки содержат ранги альтернатив от а1 до а7. Если все из альтернатив доминируют по отношению друг к другу, то им соответствуют ранги от 1 до 7. Если среди альтернатив есть равноценные, то появляются дробные числа. Например, если альтернативы делят 2-ой и 3-ий ранг, то в таблице ставится 2,5.

Метод суммирования рангов, расчёт по которому дан для сравнения, даёт следующее групповое ранжирование: a6>a4>a3>a2>a1>a7>a5. Однако, использовать операцию суммирования при ранжировании альтернатив менее корректно, чем операцию нахождения группового среднего (медианы). Напомним, что для нахождения медианы необходимо сначала упорядочить ряд чисел в порядке возрастания, а затем найти среднее число в этом ряду. Если в ряду чётное количество чисел, то медиана находится как среднее арифметическое ближайших к середине двух чисел.

Ранжирование по медианам даёт следующий результат: а4>{a3; a6}>a2>a1>a7>a5.

Мы видим, что результат получился другой. На место а6 попала а4!

Интересно также на основе рассмотренных выше методов поиска группового ранжирования альтернатив проанализировать существующие методы голосования.

• метод относительного большинства состоит в том, что каждый голосующий называет только одного кандидата (альтернативу), и кандидат, набравший наибольшее число голосов, объявляется победителем. При этом выбранным может стать кандидат, самый нежелательный для абсолютного большинства участников. Покажем это на примере. Пусть имеются 3 кандидата А, Б, В и 7 голосующих с предпочтениями, показанными в таблице . При голосовании трое назовут - А, двое - Б, двое - В. Избранным окажется А, несмотря на то, что для 4 избирателей из 7 он наименее желателен.

Таблица 2.2 Распределение предпочтений

Предпочтения альтернатив	Количество избирателей
А>Б>В	3
Б>В>А	2
В>Б>А	2

Если проанализировать рассмотренные результаты голосования, используя метод суммирования рангов, то сначала нужно занести в таблицу индивидуальное ранжирование, предложенное каждым из избирателей. Затем, для того чтобы найти групповое ранжирование, надо просуммировать ранги для каждой из альтернатив.

Ранг	Избиратель 1	Избиратель 2	Избиратель 3	Избиратель 4	Избиратель 5	Избиратель 6	Избиратель 7
1	А	А	А	Б	Б	В	В
2	Б	Б	Б	В	В	Б	Б
3	В	В	В	А	А	А	А

Для А сумма рангов равна 15; для Б – 12; для В – 15. В результате имеем следующее групповое ранжирование: Б>{A;B}. Лучшей оказалась альтернатива Б, а в результате выборов победил А.

Так можно проанализировать и другие методы голосования: метод абсолютного большинства, косвенные выборы, попарные выборы и др.²

Только по результатам голосования нельзя судить о справедливости сделанного выбора. Для формирования коллективного решения, как правило, нужна информация о совокупности индивидуальных упорядочений альтернатив, иногда учитываются сведения о степени предпочтения, выраженные числовыми оценками. Таким образом, задача коллективного выбора ставится как задача агрегирования предпочтений.

Принципы согласованного выбора альтернатив Эрроу³.

Кеннет Джозеф Эрроу стал в 1972 году лауреатом Нобелевской премии по экономике. Ранее в 1951 г. им была написана докторская диссертация на тему «Социальный выбор и индивидуальные ценности». В ней приведены рассматриваемые принципы.

1. Принцип независимости. Он состоит в том, что «расширение или сужение множества альтернатив не должно менять исходного отношения доминирования между ними».

2. Принцип непредвзятости. Отношения между альтернативами должны удовлетворять свойству транзитивности преобразований.

3. Принцип монотонности. Если один из экспертов изменил своё мнение в пользу коллективного, то исходное групповое ранжирование альтернатив не изменится.

4. Условие ненавязанности. Эксперт может установить любые отношения для любой пары альтернатив.

5. Принцип отсутствия диктатора. Мнение ни одного из экспертов не может быть решающим.

Эрроу отметил, что хотя эти принципы логичны, но противоречат друг другу. Например, 2-ий принцип противоречит 4-му. Из свойства транзитивности преобразований следует, что если ai>aj и aj>a_k, то ai>a_k. Но! Известен парадокс Кондорсе (Эрроу) согласно которому эксперт может утверждать, что а_к>ai. Это соответствует 4-му принципу Эрроу.

Из пятого принципа следует то, что среди экспертов трудно провести эффективный мозговой штурм. Их идеи должны высказываться анонимно. Для этого предусмотрен метод «Дельфи».

Методы оценивания альтернатив весьма разнообразны и широко рассмотрены в литературе. Например, в /1/ представлены многочисленные примеры выбора решений в условиях определенности. Основной вывод тот, что не следует доверяться непроверенной очевидности, выбирать на авось. Там же даны варианты оценки альтернатив по одному критерию; приведены примеры поиска оптимальных решений по ряду критериев, в условиях ресурсных ограничений. Наличие оптимальной стратегии, однако, еще не означает, что поставленная задача будет решена наилучшим образом. Помимо эффективности, каждой стратегии присуща определенная трудность реализации.