2 Лінійна функція

Лінійною називають функцію, яку можна задати формулою виду , де - аргумент, і – дійсні числа.

Розглянемо дві лінійні функції, задані формулами на множині всіх дійсних чисел .

і

Побудуємо графіки даних функцій (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Приклади графіків лінійних функцій

Бачимо, що графік кожної з наведених функцій – пряма. Можна узагальнити наведені приклади й довести таке твердження.

Графік кожної лінійної функція – пряма. І кожна пряма на координатній площині, не перпендикулярна осі абсцис, є графіком деякої лінійної функції.

Для побудови прямої, що є графіком будь-якої лінійної функції, досить знати координати двох точок. Щоб побудувати графік функції , треба скласти таблицю для двох будь-яких значень аргументу.

Позначимо на координатній площині точки з координатами 0 і 3, 2 і 0 та проведемо через них пряму (рис. 2.2). Це і є графік функції .

Рис. 2.2. Графік функції

Властивості лінійної функції для різних значень можна визначити по графіках, представленням, наприклад, на рис. 1.2.1 і 1.2.2. Представимо їх у вигляді табл. 2.1

Таблиця 2.1

Властивості функції	Вид функції ( )
	,	,
Область визначення	Всі числа	Всі числа
Область значення	Всі числа	Всі числа
Позитивні значення
Позитивні значення
Проміжки спадання	-	Всі числа
Проміжки зростання	Всі числа	-

Розглянемо окремі випадки лінійних функцій.

Якщо , то функції має вигляд . Графік такої функції пряма, паралельна осі .

Рис. 2.3. Графік функції , якщо

Якщо , , то лінійна функція має вигляд . Цю функцію називають прямою пропорційністю, тому що будь-яке (відмінне від нуля) значення такої функції пропорційне відповідному значенню аргументу.

Графік прямої пропорційності – пряма, що проходить через початок координат. На рис. .2.4 зображені графіки функцій

Рис. 2.4. Графіки функції , якщо

Розглянемо два практичних приклади.

Приклад 1. Побудуйте графік функцій, заданою формулою

Розв’язання.

Дана функція – лінійна, її графік пряма. Визначимо координати двох точок цієї прямої, склавши таблицю.

	0	2
	1	2

Нанесемо на координатну площину точки й і проведемо через них пряму (рис. 2.5). Це і є графік даної функції.

Рис. 2.5. Графік функції

Існують функції, що не є лінійними на всій області визначення, але на окремих проміжках області визначення мають властивості лінійних. Їхній графік – це ламані лінії. Розглянемо одну з таких функцій.

Приклад 2. Побудуйте графік функцій .

Розв’язання.

По визначенню модуля можемо записати:

Якщо то

Якщо то

Відповідно,

Ця функція на двох різних проміжках задається різними формулами лінійних функцій:

Якщо то

Якщо то

Складемо такі таблиці їхніх значень

	Якщо то		Якщо то
	1	3	-2	0
	0	2	3	1

Побудуємо графік «ламаної» лінійної функції, який складається з двох лінійних проміжків, з’єднаних в точці x=1.

Рис. 2.6. Графік функції .