3. Методические советы по выполнению контрольной работы
При выполнении контрольной работы рекомендуется использовать литературу, указанные в списке рекомендуемой и дополнительной литературы.
Выполнению работы должны предшествовать ознакомление с соответствующими разделами курса и изучение рекомендованной литературы. Следует учитывать, что вследствие быстрых экономических преобразований происходит постоянные изменения в нормативных актах, составе и способе исчисления определенных показателей и т.д. Поэтому приведенный список литературы должен дополняться более новыми источниками (законы, инструкции, положения и т.д.).
При выполнении работы необходимо руководствоваться следующими правилами:
контрольная работа должна быть представлена в заочное отделение экономического факультета в установленные сроки;
контрольная работа должна быть выполнена аккуратно в тетради, страницы следует пронумеровать, оставить поля для замечаний преподавателя-рецензента, допускать лишь общепринятые сокращения слов;
в начале работы указывается номер варианта, замена одного варианта другим не допускается;
перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие;
решение задач следует сопровождать приведением необходимых формул развернутых расчетов, кратких пояснений;
каждая задача должна завершаться формулировкой выводов, раскрывающих экономическое содержание исчисленных показателей;
в конце работы следует привести список литературы;
работа должна быть подписана студентом с указанием даты ее выполнения;
если студент получил работу с подписью «на доработку», то работу необходимо дополнить, устранить все замечания и отдать повторно преподавателю на проверку.
Контрольная работа оформляется в объеме 20 – 25 страниц рукописного текста.
Выбор теоретического вопроса и задач контрольной работы производится исходя из предпоследней и последней цифр индивидуального шифра студента (Приложение 1).
Задача 1 составлена по теме «Сводка и группировка данных». В ней исследуется взаимосвязь изучаемых признаков с помощью аналитической группировки.
Пример решения задачи. Имеются следующие данные о рабочих-сдельщиках (табл. 1).
Таблица 1 - Исходные данные
№ п/п |
Стаж работы, лет |
Месячная выработка рабочего, руб. |
№ п/п |
Стаж работы, лет |
Месячная выработка рабочего, руб. |
1 |
1,0 |
2000 |
16 |
10,5 |
2760 |
2 |
1,0 |
2020 |
17 |
1,0 |
2340 |
3 |
3,0 |
2050 |
18 |
9,0 |
2700 |
4 |
6,5 |
2900 |
19 |
9,0 |
2640 |
5 |
9,2 |
2980 |
20 |
6,5 |
2520 |
6 |
4,4 |
2500 |
21 |
5,0 |
2410 |
7 |
6,9 |
2800 |
22 |
6,0 |
2560 |
8 |
2,5 |
2300 |
23 |
10,1 |
2620 |
9 |
2,7 |
2230 |
24 |
5,5 |
2450 |
10 |
16,0 |
3100 |
25 |
2,5 |
2400 |
11 |
13,2 |
2840 |
26 |
5,0 |
2440 |
12 |
14,0 |
3200 |
27 |
5,3 |
2520 |
13 |
11,0 |
2950 |
28 |
7,5 |
2530 |
14 |
12,0 |
2790 |
29 |
7,0 |
2520 |
15 |
4,5 |
2220 |
30 |
8,0 |
2620 |
Для изучения зависимости между стажем работы и месячной выработкой рабочих произведите группировку рабочих по стажу, образовав пять групп с равными интервалами. Каждую группу охарактеризовать: числом рабочих; средним стажем работы; месячной выработкой продукции - всего и в среднем на одного рабочего.
Применяя метод группировок для взаимосвязи, необходимо прежде всего определить факторный признак, оказывающий влияние на взаимосвязанные с ним признаки. Таким признаком в нашем примере является стаж работы, который должен быть положен в основание группировки. По условию требуется выделить пять групп рабочих по стажу с равными интервалами.
Сначала вычислим величину интервала группировочного признака (стажа работы) по формуле:
(1)
где
- величина равного интервала;
и
- максимальные и минимальные значения
группировочного признака;
- предполагаемое
число групп.
Для нашего примера величина равного интервала равна:
Следовательно, первая группа рабочих имеет стаж 1 - 4 года; вторая - 4 - 7 и т.д. По каждой группе надо подсчитать численность рабочих и оформить результаты в виде таблицы. Предварительно составим макет таблицы, который заполним сводными групповыми показателями (табл. 2).
Таблица 2 - Распределение рабочих по стажу работы
Группы, № п/п |
Группы рабочих по стажу, лет |
Число рабочих, чел. |
Средний стаж работы, лет |
Месячная выработка, руб. |
|
всего |
на одного рабочего |
||||
1 |
1-4 |
|
|
|
|
2 |
4-7 |
|
|
|
|
3 |
7-10 |
|
|
|
|
4 |
10-13 |
|
|
|
|
5 |
13-16 |
|
|
|
|
|
Итого |
|
|
|
|
Для заполнения макета таблицы составим рабочую таблицу 3.
Таблица 3 - Рабочая таблица
№ п/п |
Группы рабочих по стажу, лет |
Номер рабочего |
Стаж, лет |
Месячная выработка, руб. |
|||
1 |
1-4 |
1 |
1,0 |
2000 |
|||
2 |
1,0 |
2020 |
|||||
3 |
3,0 |
2050 |
|||||
8 |
2,5 |
2300 |
|||||
9 |
2,7 |
2230 |
|||||
17 |
1,0 |
2340 |
|||||
25 |
2,5 |
2400 |
|||||
|
Итого |
7 |
13,7 |
15340 |
|||
2 |
4-7 |
4 |
6,5 |
2900 |
|||
6 |
4,4 |
2500 |
|||||
7 |
6,9 |
2800 |
|||||
15 |
4,5 |
2220 |
|||||
20 |
6,5 |
2520 |
|||||
21 |
5,0 |
2410 |
|||||
22 |
6,0 |
2560 |
|||||
24 |
5,5 |
2450 |
|||||
26 |
5,0 |
2440 |
|||||
27 |
5,3 |
2520 |
|||||
|
Итого |
10 |
55,6 |
25320 |
|||
3 |
7-10 |
5 |
9,2 |
2980 |
|||
18 |
9,0 |
2700 |
|||||
19 |
9,0 |
2640 |
|||||
28 |
7,5 |
2530 |
|||||
29 |
7,0 |
2520 |
|||||
30 |
8,0 |
2620 |
|||||
|
Итого |
6 |
49,9 |
15990 |
|||
4 |
10-13 |
13 |
11,0 |
2950 |
|||
14 |
12,0 |
2790 |
|||||
16 |
10,5 |
2760 |
|||||
23 |
10,1 |
2620 |
|||||
|
Итого |
4 |
43,6 |
11120 |
|||
5 |
13-16 |
10 |
16,0 |
3100 |
|||
11 |
13,2 |
2840 |
|||||
12 |
14,0 |
3200 |
|||||
|
Итого |
3 |
43,2 |
9140 |
|||
|
Всего |
30 |
206 |
76910 |
|||
Групповые показатели рабочей таблицы и исчисленные на их основе средние показатели занесем в соответствующие графы макета таблицы и получим сводную аналитическую таблицу 4.
Таблица 4 - Группировка рабочих по стажу работы
Группы, № п/п |
Группы рабочих по стажу, лет |
Число рабочих, чел. |
Средний стаж работы, лет |
Месячная выработка, руб. |
|
всего |
на одного рабочего |
||||
1 |
1-4 |
7 |
1,95 |
15340 |
2191 |
2 |
4-7 |
10 |
5,56 |
25320 |
2532 |
3 |
7-10 |
6 |
8,31 |
15990 |
2665 |
4 |
10-13 |
4 |
10,9 |
11120 |
2780 |
5 |
13-16 |
3 |
14,4 |
9140 |
3047 |
|
Итого |
30 |
6,87 |
76910 |
2564 |
Сравнивая гр. 4 и 6 таблицы 4, видим, что с увеличением стажа рабочих растет месячная выработка продукции. Следовательно, между изучаемыми признаками (показателями) имеется прямая зависимость.
Для полноты анализа можно отметить, что в данной совокупности рабочих больше во второй группе. Удельный вес рабочих в этой группе составляет 33,3%, выработка продукции этими рабочими составляет 32,9 %. Средняя выработка в этой группе на 32 руб. ниже, чем в среднем по всем рабочим.
С ростом стажа постепенно увеличивается прирост продукции. Рабочие пятой группы, наиболее квалифицированные, опытные произвели продукцию на 856 руб., или на 39,1 % больше по сравнению с рабочими первой группы. Следовательно, подтверждается вывод, сделанный ранее, что между изучаемыми признаками имеется прямая связь.
Задача 2 выполнена по теме «Вторичная группировка».
Пример решения задачи. Имеются следующие данные (табл. 5).
Таблица 5 - Группировка предприятий по количеству занятых
Количество занятых, тыс. чел. |
Число предприятий |
100 и менее |
4 |
101—300 |
16 |
301—1000 |
35 |
1001—2000 |
28 |
2001—5000 |
12 |
5001 и более |
5 |
Итого |
100 |
Перегруппируйте предприятия по количеству занятых (от 200 и менее, 201—500, 501—1000, 1001—3000, 3001 и более).
Иногда возникает потребность в перегруппировке данных с целью сравнения структур двух группировок, выделения типов и т.п. Перегруппировка осуществляется путем или объединения, или расщепления интервалов первичной группировки. Результаты перегруппировки называют вторичной группировкой. Если границы интервалов первичной и вторичной группировок совпадают, частоты (частости) объединяющихся интервалов просто суммируются. В случае расщепления интервала первичной группировки частоты (частости) распределяются в той же пропорции, что и величина расщепленного интервала. Например, на основе первичной группировки предприятий региона по количеству занятых (т = 6) необходимо создать новые группы (m = 5) с другими интервалами. Техника перегруппировки показана в табл. 6.
Таблица 6 - Группировка предприятий по количеству занятых
Первичная группировка |
Вторичная группировка |
||
Количество занятых, тыс. чел. |
Число предприятий |
Количество занятых, тыс. чел. |
Число предприятий |
100 и менее |
4 |
200 и менее |
4 + 16∙(200 - 101)/(300 - 101) = 4 + +½∙16 = 12 |
101—300 |
16 |
201—500 |
16∙ (300 - 200)/(300 - 100) + +35∙ (500 - 301)/(1000 - 301) = =½∙16+ 2/7∙35 = 18 |
301—1000 |
35 |
501—1000 |
35∙ (1000 - 500)/(1000 - 301) = = 5/7∙35 = 25 |
1001—2000 |
28 |
1001—3000 |
28+12∙ (3000 - 2001)/(5000 - 2001) = = 28 + 1/3∙12 = 32 |
2001—5000 |
12 |
3001 и более |
12∙ (5000 - 3000)/(5000 - 2001) + 5 = =2/3∙12 + 5 = 13 |
5001 и более |
5 |
|
|
Итого |
100 |
Итого |
100 |
Задача 3 составлена по теме «Абсолютные и относительные величины».
Пример решения задачи. На основе данных рассчитать различные виды относительных показателей, характеризующих производство зерна в фермерских хозяйствах (табл. 7).
Таблица 7 - Производство зерна в фермерских хозяйствах
Периоды |
Фермерское хозяйство 1 |
Фермерское хозяйство 2 |
|||
посевная площадь, га |
валовой сбор зерна, т |
урожайность зерновых культур, ц с 1 га |
|||
всего |
в т.ч зерновых |
план |
факт |
||
Базисный |
470 |
240 |
310 |
390 |
26 |
Отчетный |
585 |
234 |
400 |
430 |
28 |
1. Относительный показатель планового задания:
Первое фермерское хозяйство запланировало увеличить валовой сбор зерна на 2,5 % по сравнению с фактически достигнутым уровнем базисного периода.
2. Относительный показатель выполнение плана:
План по производству зерна в первом фермерском хозяйстве перевыполнен на 7,5%.
3. Относительный показатель динамики рассчитывается как отношение любого показателя в отчетном периоде к аналогичному показателю в базисном периоде. Например:
Это значит, что у первого фермера валовой сбор зерна в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 10,2%.
4. Относительный показатель структуры:
т. е. зерновые в базисном периоде в первом фермерском хозяйстве занимали 51,06 % общей площади.
В отчетном периоде доля зерновых соответственно составляет 40,0%:
5. Относительный показатель интенсивности рассчитывается как отношение валового сбора зерновых к площади зерновых культур, т.е. получаем именованный показатель — урожайность зерновых культур, который имеет единицу измерения «центнеров с одного гектара».
У первого фермера она составила соответственно:
в
базисный период
в
отчетный период
6. Относительный показатель сравнения рассчитывается в данном случае как отношение урожайности в базисном или отчетном периоде у первого и второго фермеров.
В
базисном периоде
т. е. у второго фермера урожайность выше,
чем у первого фермера на 59,5%.
В
отчетном периоде превышение составило
т.е. на 52,2 %.
Задачи 4…7 представлены по теме «Средние величины».
Пример решения задачи 4. Дневная выработка двух комбайнов на уборке озимой ржи характеризуется следующими данными (табл. 8).
Таблица 8 - Дневная выработка двух комбайнов
Дневная выработка, га |
Дни работы |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1-й комбайн |
19 |
20 |
14 |
18 |
19 |
11 |
2-й комбайн |
16 |
18 |
17 |
13 |
8 |
12 |
Определите среднюю выработку по каждому комбайну.
Для решения задачи воспользуемся средней арифметической простой:
(2)
Пример решения задачи 5. Распределение двух комбайнов по выработке на уборке озимой ржи представлено в таблице 9.
Таблица 9 - Распределение двух комбайнов по выработке
Дневная выработка, га |
Количество дней работы за сезон |
||
5 |
10 |
6 |
|
1-комбайн |
14 |
24 |
30 |
2-комбайн |
12 |
22 |
26 |
Определите среднюю сезонную выработку по двум комбайнам отдельно, а так же в целом.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся средней арифметической взвешенной:
(3)
Среднюю сезонную выработку по второму комбайну и в целом определите самостоятельно.
Пример решения задачи 6. Имеются некоторые данные о реализации магазином партии продукции А по дням недели (табл. 10).
Таблица 10 - Данные о реализации магазином партии продукции А
Дни реализации |
Исходные данные |
Расчетные данные |
|
Цена реализации, руб. за 1 кг |
Общая выручка за 1 день, руб. |
Объем реализованного картофеля, кг |
|
Пятница |
5,5 |
1265 |
230 |
Суббота |
5,8 |
3683 |
635 |
Воскресенье |
6,2 |
6119 |
987 |
Понедельник |
5,4 |
997 |
185 |
Вторник |
5,3 |
1078 |
203 |
Итого |
Х |
13142 |
2240 |
Определите среднюю цену реализации продукции А за 5 дней.
Для решения задачи воспользуемся средней гармонической взвешенной:
(4)
Пример решения задачи 7. Имеются следующие данные о месячной заработной плате рабочих (табл. 11).
Таблица 11 - Месячная заработная плата рабочих группы малых предприятий одного из регионов
Группы рабочих по размеру заработной платы, руб. |
Число рабочих, чел |
2000 – 3000 |
15 |
3000 – 4000 |
35 |
4000 – 5000 |
75 |
5000 – 6000 |
40 |
6000 – 7000 |
25 |
Свыше 7000 |
10 |
Итого |
200 |
Исчислите среднюю заработную плату, моду и медиану заработной платы рабочих малых предприятий.
По
условию задачи имеется интервальный
ряд распределения рабочих, поэтому
средняя заработная плата исчисляется
по формуле средней арифметической
взвешенной (сначала определим середину
каждого интервала, т.е.
).
Следовательно, средняя месячная заработная плата рабочих малых предприятий составляет 4775 руб.
Далее исчислим моду по формуле:
(5)
где
– нижняя граница модального интервала,
– величина
модального интервала,
– частота модального
интервала,
– частота интервала
предшествующего модальному интервалу,
–
частота интервала,
следующего за модальным интервалом.
Таким образом, наиболее часто встречающаяся величина средней месячной заработной платы составляет 4533 руб.
Медиану определим по формуле:
(6)
где
– нижняя граница медианного интервала,
– величина
медианного интервала,
– сумма частот,
– накопление
частот интервала, предшествующего
медианному интервалу,
– частота медианного
интервала.
Следовательно, половина рабочих имеет среднемесячную заработную плату меньше 4667 руб., а половина – больше этой суммы.
Задачи 8 и 9 направлены на изучение темы «Показатели вариации, дисперсионный анализ».
Пример решения задачи 8. Имеются выборочные данные о стаже работников коммерческих банков (табл. 12).
Таблица 12- Выборочные данные о стаже работников коммерческих банков
Стаж, лет |
Среднесписочная
численность
работников,
чел.
|
Середина
интервала,
|
|
|
|
|
До 3 |
10 |
2 |
20 |
-3 |
9 |
90 |
3-5 |
48 |
4 |
192 |
-1 |
1 |
48 |
5-7 |
28 |
6 |
168 |
1 |
1 |
28 |
7-9 |
10 |
8 |
80 |
3 |
9 |
90 |
Свыше 9 |
4 |
10 |
40 |
5 |
25 |
100 |
Итого |
100 |
- |
500 |
- |
|
356 |
Определить: 1) средний стаж работы, 2) дисперсию, 3) средние квадратическое отклонение, 4) коэффициент вариации.
1. Средний стаж работников составит:
2. Дисперсию определим по формуле:
3. Средние квадратическое отклонение:
4. Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:
Анализ
полученных данных говорит о том, что
стаж работников коммерческих банков
отличается от среднего стажа
в
среднем на 1,9 года, или на 37,7 %. Значение
коэффициента вариации превышает 33%,
следовательно, вариация производственного
стажа велика, найденный средний
производственный стаж плохо представляет
всю совокупность работников, не является
ее типичной, надежной характеристикой,
а саму совокупность нет оснований
считать однородной по производственному
стажу.
Пример решения задачи 9. Определите наиболее эффективную систему оплаты труда рабочих по данным таблицы 13, используя правило сложения дисперсий.
Таблица 13 – Исходные данные
Сдельная система оплаты труда |
Затраты времени
на производимые операции, млн.
|
Число рабочих,
чел.
|
Полное затраченное
время, мин.
|
Затраты времени
в среднем, мин.
|
Простая |
28, 30, 29, 27, 31 |
5 |
145 |
29,0 |
Премиальная |
23, 25, 24, 27, 24 |
5 |
123 |
24,6 |
Прогрессивная |
18, 16, 19, 21, 20 |
5 |
94 |
18,8 |
Итого |
|
15 |
362 |
24,13 |
Рассчитаем частные дисперсии по формуле:
(7)
Рассчитаем среднюю из частных дисперсий:
Определим межгрупповую дисперсию:
(8)
Определим общую дисперсию по формуле:
(9)
Сделаем проверку по правилу сложения дисперсий:
(10)
Так
как, правило сложения дисперсий
соблюдается, то по максимальной величине
частной дисперсии
можно считать, что наиболее эффективной
системой оплаты труда по исследуемой
совокупности является сдельная
прогрессивная оплата труда.
Задача 10 представлена по теме «Выборочное наблюдение».
Пример
решения задачи 10. Для
определения расчетов с кредиторами
предприятий корпорации в коммерческом
банке была проведена случайная выборка
100 платежных документов, по которым
средний срок перечисления и получения
денег оказался равным 22 дням
со стандартным отклонением 6 дней
.
Необходимо
с вероятностью
определить
предельную ошибку выборочной средней
и доверительные пределы средней
продолжительности расчетов предприятий
данной корпорации.
Для
вероятности
находим
Предельную
ошибку определим по формуле повторного
отбора, так как численность генеральной
совокупности
неизвестна:
(11)
Предельную относительную ошибку выборки рассчитаем по формуле:
(12)
Генеральная
средняя будет равна
,
а доверительные интервалы (пределы)
генеральной средней рассчитаем по
формуле исходя из двойного неравенства:
(13)
Тогда
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя продолжительность расчетов предприятий данной корпорации колеблется в пределах от 20,8 до 23,2 дня.
Задача 11 составлена по теме «Статистическое изучение динамики. Показатели анализа ряда динамики».
Пример решения задачи. Имеются данные о числе родившихся в Чувашской Республике за 2005-2010 гг., чел. (табл. 14).
Таблица 14 – Число родившихся
2005 г. |
2006 г. |
2007 г. |
2008 г. |
2009 г. |
2010 г. |
13133 |
13291 |
14835 |
14967 |
16103 |
16174 |
Определите аналитические показатели ряда динамики числа родившихся в Чувашской Республике за 2005 – 2010 гг.: 1) абсолютные приросты; 2) темпы роста; 3) темпы прироста; 4) абсолютное значение одного процента прироста, а также средние показатели (средний уровень ряда и средние показатели изменения уровней ряда). Сделайте прогноз на три предстоящих года по среднему абсолютному приросту и среднему темпу роста. Постройте график.
В зависимости от
задачи исследования абсолютные приросты
,
темпы роста
и темпы прироста
могут быть исчислены с использованием
постоянной
базы сравнения (базисные) и переменной
базы сравнения
(цепные).
1. Абсолютный прирост - разность между последующим уровнем ряда и базисным (или предыдущим).
Абсолютный прирост базисный рассчитывается по формуле:
(14)
Так,
и т.д.
Абсолютный прирост цепной рассчитывается по формуле:
(15)
Так,
и т.д.
Таблица 15 - Динамика числа родившихся в Чувашской Республике
Годы |
Число родившихся, чел. |
Абсолютный прирост, чел. |
Темпы роста, % |
Темпы прироста, % |
Абсолютное значение 1 % прироста, чел. |
||||||
базисный |
цепной |
базисный |
цепной |
базисный |
цепной |
|
|||||
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|||
2005 |
13133 |
- |
- |
100 |
- |
- |
- |
- |
|||
2006 |
13291 |
158 |
158 |
101,20 |
101,20 |
1,20 |
1,20 |
131,33 |
|||
2007 |
14835 |
1702 |
1544 |
112,96 |
111,62 |
12,96 |
11,62 |
132,91 |
|||
2008 |
14967 |
1834 |
132 |
113,97 |
100,89 |
13,97 |
0,89 |
148,35 |
|||
2009 |
16103 |
2970 |
1136 |
122,62 |
107,59 |
22,62 |
7,59 |
149,67 |
|||
2010 |
16174 |
3041 |
71 |
123,16 |
100,44 |
23,16 |
0,44 |
161,03 |
|||
Следует отметить, что сумма цепных абсолютных приростов равна последнему базисному абсолютному приросту.
2. Темп роста - отношение уровней ряда динамики, которое выражается в коэффициентах и процентах.
Темп роста базисный определяется отношением каждого последующего уровня к базисному значению по формуле:
(16)
Так,
и
т.д.
Темп роста цепной определяется отношением последующего уровня к предыдущему по формуле:
(17)
Так,
и
т.д.
Между цепными и базисными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение соответствующих цепных темпов роста равно базисному. Зная базисные темпы, можно исчислить цепные делением каждого последующего базисного темпа роста на каждый предыдущий.
3. Темп прироста определяют двумя способами:
а) темп прироста базисный - отношение абсолютного прироста базисного к базисному значению:
(18)
Так,
и т.д.
Темп прироста цепной - отношение абсолютного прироста цепного к цепному значению:
(19)
Так,
и т.д.
б) как разность между коэффициентом роста и единицей, если темпы роста выражены в коэффициентах:
(20)
или как разность между темпами роста и 100 %, если темпы роста выражены в процентах:
(21)
Так,
и т.д.
и т.д.
4.
Абсолютное
значение одного процента прироста
так же исчисляют двумя путями:
а) отношение абсолютного прироста цепного к темпу прироста цепного:
(22)
Так,
и т.д.
б) как одна сотая часть предыдущего уровня:
(23)
Так,
и т.д.
Средний уровень ряда рассчитаем по формуле:
чел.
Средний абсолютный прирост исчисляется двумя способами:
а) как средняя арифметическая простая годовых абсолютных (цепных) приростов
б) как отношение базисного абсолютного прироста к числу периодов
Средний темп роста исчисляется двумя способами:
а) как средняя геометрическая цепных коэффициентов роста по «цепному» способу
б) по «базисному» способу
Средний темп прироста определим по формуле:
(24)
или средний коэффициент роста:
(25)
Так,
Таким образом, ежегодно в Чувашской Республике увеличилось число родившихся на 608 человек, или на 4,25 %.
Составим прогноз числа родившихся в Чувашской Республике на предстоящие три года по среднему абсолютному приросту по формуле:
По
среднему темпу роста прогнозные
показатели определим по формуле:
Более наглядно этот прогноз изобразим на графике (рис. 1).
Рис. 1. Динамика и прогноз числа родившихся в Чувашской Республике
Таким образом, по нашим прогнозам в Чувашии будет наблюдаться рост рождаемости.
Задачи 12…14 составлены по теме «Методы анализа основных тенденций развития в рядах динамики, экстраполяция и прогнозирование».
Пример решения задачи 12. По данным табл. 16 выявите основную тенденцию методами скользящей (подвижной) средней и аналитического выравнивания по прямой. Результат экстраполяции прогноза добычи газа представьте в виде точечных оценок и определите вероятностные границы интервала. Постройте графики. Сделайте выводы.
Таблица 16 –Добыча естественного газа в Российской Федерации, млн. м3
Год |
Добыча естественного газа, млн. м3 |
Год |
Добыча естественного газа, млн. м3 |
1995 |
595467 |
2003 |
620234 |
1996 |
601472 |
2004 |
632623 |
1997 |
571062 |
2005 |
640801 |
1998 |
591400 |
2006 |
656271 |
1999 |
591641 |
2007 |
652740 |
2000 |
583933 |
2008 |
665525 |
2001 |
581443 |
2009 |
584477 |
2002 |
595106 |
|
|
Источник. Регионы России. Социально – экономические показатели. – 2003, 2009.
Расчет скользящей средней по данным добычи естественного газа приведен в табл. 17.
Таблица 17 – Исходные данные и результаты расчета скользящей средней
Год |
Добыча естественного газа, млн. м3 |
Скользящая средняя |
|
трехлетняя |
пятилетняя |
||
1995 |
595467 |
|
|
1996 |
601472 |
|
|
1997 |
571062 |
|
590208,4 |
1998 |
591400 |
584701 |
587901,6 |
1999 |
591641 |
588991,3 |
583895,8 |
2000 |
583933 |
585672,3 |
588704,6 |
2001 |
581443 |
586827,3 |
594471,4 |
2002 |
595106 |
598927,7 |
602667,8 |
2003 |
620234 |
615987,7 |
614041,4 |
2004 |
632623 |
631219,3 |
629007 |
2005 |
640801 |
643231,7 |
640533,8 |
2006 |
656271 |
649937,3 |
649592 |
2007 |
652740 |
658178,7 |
639962,8 |
2008 |
665525 |
634247,3 |
|
2009 |
584477 |
|
|
Таким образом, скользящие средние выявляют основную тенденцию добычи газа в РФ. Снижение производства газа в 2009 г. по всей видимости вызвано кризисом 2008-2009 гг.
Рис. 2. Добыча естественного газа в Российской Федерации
Рассмотрим
метод аналитического выравнивания ряда
динамики по прямой
.
Определим параметры
и
методом наименьших квадратов, решив
систему нормальных уравнений:
(26)
где
- фактические уровни ряда,
- время (порядковый
номер периода или момента времени).
Упростим расчет параметров, взяв за начало отсчета времени (t=0) центральный интервал (момент).
Так как у нас для расчетов было взято 15 лет (нечетное число), то обозначим время t, используя ноль (табл. 18).
Таблица
18 - Расчетные данные для определения
параметров системы нормальных уравнений
и выровненных
теоретических значений (
)
Годы |
Добыча естественного газа, млн. м3 |
t |
t |
yt |
|
||||
1995 |
595467 |
-7 |
49 |
-4168269 |
540508,4 |
||||
1996 |
601472 |
-6 |
36 |
-3608832 |
545004,5 |
||||
1997 |
571062 |
-5 |
25 |
-2855310 |
549500,6 |
||||
1998 |
591400 |
-4 |
16 |
-2365600 |
553996,7 |
||||
1999 |
591641 |
-3 |
9 |
-1774923 |
558492,8 |
||||
2000 |
583933 |
-2 |
4 |
-1167866 |
562989 |
||||
2001 |
581443 |
-1 |
1 |
-581443 |
567485,1 |
||||
2002 |
595106 |
0 |
0 |
0 |
571981,2 |
||||
2003 |
620234 |
1 |
1 |
620234 |
576477,3 |
||||
2004 |
632623 |
2 |
4 |
1265246 |
580973,4 |
||||
2005 |
640801 |
3 |
9 |
1922403 |
585469,6 |
||||
2006 |
656271 |
4 |
16 |
2625084 |
589965,7 |
||||
2007 |
652740 |
5 |
25 |
3263700 |
594461,8 |
||||
2008 |
665525 |
6 |
36 |
3993150 |
598957,9 |
||||
2009 |
584477 |
7 |
49 |
4091339 |
603454 |
||||
Итого |
8579718 |
0 |
280 |
1258913 |
8579718 |
||||
Так как
,
то система нормальных уравнений примет
вид:
(27)
Тогда из первого
и второго уравнений поочередно получим
и
Получим уравнение
прямой
Теперь подставив поочередно значения t из таблицы 3 в полученное уравнение, заполним последний столбец этой же таблицы (рис. 3).
,
то есть задачу мы решили верно.
Рис. 3. Прогноз добычи полезных ископаемых
Теперь получим точечный прогноз, подставив в это уравнение значение t по возрастанию, так
млн. м3;
млн. м3;
млн. м3.
Параметры и можно вычислить иначе с помощью определителей по формулам:
(28)
(29)
Вспомогательные расчеты проведем в таблице 19, взяв величину t в порядке возрастания.
Таблица 19 – Расчет параметров и с помощью определителей
Годы |
Добыча естественного газа, млн. м3 |
t |
t |
yt |
|
1995 |
595467 |
1 |
1 |
595467 |
423613 |
1996 |
601472 |
2 |
4 |
1202944 |
444808,4 |
1997 |
571062 |
3 |
9 |
1713186 |
466003,9 |
1998 |
591400 |
4 |
16 |
2365600 |
487199,3 |
1999 |
591641 |
5 |
25 |
2958205 |
508394,8 |
2000 |
583933 |
6 |
36 |
3503598 |
529590,3 |
2001 |
581443 |
7 |
49 |
4070101 |
550785,7 |
2002 |
595106 |
8 |
64 |
4760848 |
571981,2 |
2003 |
620234 |
9 |
81 |
5582106 |
593176,6 |
2004 |
632623 |
10 |
100 |
6326230 |
614372,1 |
2005 |
640801 |
11 |
121 |
7048811 |
635567,6 |
2006 |
656271 |
12 |
144 |
7875252 |
656763 |
2007 |
652740 |
13 |
169 |
8485620 |
677958,5 |
2008 |
665525 |
14 |
196 |
9317350 |
699153,9 |
2009 |
584477 |
15 |
225 |
8767155 |
720349,4 |
Итого |
8579718 |
120 |
1240 |
74572473 |
8579718 |
Подставим расчетные данные в формулы:
млн. м3;
млн. м3.
Отсюда получим линейное уравнение:
Параметры уравнения парной линейной регрессии можно рассчитать и по следующим формулам:
(30)
(31)
Подставив значения t по возрастанию, получим прогноз показателя на три года:
млн. м3;
млн. м3;
млн. м3.
Более наглядно изобразим на рис. 13.
Рассчитаем экстраполируемые прогнозные значения в виде интервальной оценки. Для этого воспользуемся формулой:
,
(32)
то есть
(33)
где
-
коэффициент доверия по критерию
Стьюдента;
-
остаточное среднее квадратическое
отклонение от тренда.
Рис. 4. Прогноз добычи полезных ископаемых
В таблице 20 приведем необходимые расчеты.
Таблица 20 – Вспомогательная таблица
Годы |
Добыча
естественного газа, млн. м3
|
|
|
|
1995 |
595467 |
423613 |
171854 |
29533797316 |
1996 |
601472 |
444808,4 |
156663,6 |
24543483565 |
1997 |
571062 |
466003,9 |
105058,1 |
11037204376 |
1998 |
591400 |
487199,3 |
104200,7 |
10857785880 |
1999 |
591641 |
508394,8 |
83246,2 |
6929929814 |
2000 |
583933 |
529590,3 |
54342,7 |
2953129043 |
2001 |
581443 |
550785,7 |
30657,3 |
939870043,3 |
2002 |
595106 |
571981,2 |
23124,8 |
534756375 |
2003 |
620234 |
593176,6 |
27057,4 |
732102894,8 |
2004 |
632623 |
614372,1 |
18250,9 |
333095350,8 |
2005 |
640801 |
635567,6 |
5233,4 |
27388475,56 |
2006 |
656271 |
656763 |
-492 |
242064 |
2007 |
652740 |
677958,5 |
-25218,5 |
635972742,3 |
2008 |
665525 |
699153,9 |
-33628,9 |
1130902915 |
2009 |
584477 |
720349,4 |
-135872,4 |
18461309082 |
Итого |
8579718 |
- |
- |
108650969937,47 |
Остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда рассчитаем по формуле:
где - число уровней ряда динамики;
-
число параметров
адекватной модели тренда.
Согласно
таблице Стьюдента (приложение 2) при
уровне значимости
коэффициент
доверия составляет 2,1604.
Согласно точечной оценке прогнозного значения добыча естественного газа в 2010 г. составит 607950,16 млн. м3. Тогда вероятностные границы интервала будут в пределах
Вероятностные границы на 2011 г. и 2012 г. рассчитайте самостоятельно.
Пример решения задачи 13. По данным табл. 21 выявите основную тенденцию методом аналитического выравнивания по прямой по формулам и с помощью статистическо функции ЛИНЕЙН, а экспоненциальный тренд рассчитайте, используя функцию ЛГРФПРИБЛ.
Согласно условию задачи число уровней четное число равное 6, поэтому условное обозначение времени будет как бы в полугодиях.
Таблица 21 - Расчетные данные для определения параметров системы нормальных уравнений и выровненных теоретических значений ( )
Годы |
Посевные площади всех сельскохозяйственных культур, тыс. га |
t |
t |
yt |
|
2005 |
551,3 |
-5 |
25 |
-2757 |
546,03 |
2006 |
549,1 |
-3 |
9 |
-1647 |
553,59 |
2007 |
549,9 |
-1 |
1 |
-549,9 |
561,15 |
2008 |
571,7 |
+1 |
1 |
571,7 |
568,71 |
2009 |
595,7 |
+3 |
9 |
1787,1 |
576,27 |
2010 |
571,9 |
+5 |
25 |
2859,5 |
583,83 |
Итого |
3389,6 |
0 |
70 |
264,6 |
3389,6 |
2011 |
|
+7 |
|
|
591,39 |
2012 |
|
+9 |
|
|
598,95 |
2013 |
|
+11 |
|
|
606,51 |
Источник. Сельское хозяйство, охота и охотное хозяйство, лесоводство в России. 2011. Стат. сб. /Росстат – М., 2011. –С. 220.
Так как
,
то
и
Получим уравнение
прямой
Теперь подставив поочередно значения t из таблицы 3 в полученное уравнение, заполним последний столбец этой же таблицы.
,
то есть задачу мы решили верно.
Теперь получим точечный прогноз, подставив в это уравнение значение t по возрастанию, так
тыс. га;
тыс. га;
тыс. га;
Более наглядно изобразим на рис. 5.
Рис. 5. Прогноз посевных площадей сельскохозяйственных культур ЧР
Приведем пример использования статистической функции ЛИНЕЙН в MS Excel (Windows 7):
1) введем первичные данные, приняв за независимую переменную время (t), а у – площади сельскохозяйственных культур;
2) выделим пустые ячейки, взяв два столбца и пять строк (D2:D7; E2:E7);
3) в главном меню выбираем Формулы. Нажимаем на кнопку Вставить функцию. Открывается диалоговое окно Мастер функций, выбираем в окне «Категория» - Статистические, «Функция» - ЛИНЕЙН. Кликаем на ОК.
Рис. 6. Диалоговое окно «Мастер функций»
4) заполняем диалоговое окно «Аргументы функции» аналогично рис. 7.
Рис. 7. Диалоговое окно «Аргументы функций»
5) нажимаете последовательно на ОК, клавишу F2, <CTRL> + <SHIFT> + <ENTER>. В результате получаем следующие значения (рис. 8).
Рис. 8. Регрессионная статистика функции ЛИНЕЙН
Мы
получили следующую функцию
Среднее квадратическое отклонение
равно 5,41,
- 1,58,
-
13,26. Коэффициент детерминации составил
0,59, число степеней свободы – 4, F
– статистика
– 5,69, остаточная сумма квадратов –
703,29, регрессионная сумма квадратов –
1000,19.
Экспоненциальный тренд (функция ЛГРФПРИБЛ) рассчитывается аналогично (рис. 9).
Рис. 9. Регрессионная статистика функции ЛГРФПРИБЛ
Мы
получили следующую функцию
Среднее квадратическое отклонение
равно 0,02,
- 0,006,
-
0,023. Коэффициент детерминации составил
0,59, число степеней свободы – 4, F
– статистика
– 5,86, остаточная сумма квадратов –
0,002, регрессионная сумма квадратов –
0,003.
Пример решения задачи 14. По данным табл. 21 в MS Excel постройте графики и спрогнозируйте посевные площади всех сельскохозяйственных культур Чувашской Республики построив 1) линейную, 2) экспоненциальную, 3) логарифмическую, 4) полиноминальную, 5) степенную линии тренда, указав на ней функцию и коэффициент апроксимации. Определите линию тренда, наиболее полно отражающую исследуемую совокупность.
Решение: в MS Excel (Windows 7) построим диаграммы по следующей схеме:
1) выделим посевную площадь,
2) в главном меню выбираем Вставка /График. Следует обратить внимание, что во время выполнения следующих операций вы должны постоянно кликать на график,
3) находим Конструктор /Макеты диаграмм и нажимаем на нужный макет (в нашем примере первый по счету),
4) в главном меню выбираем Макет /Названия осей /Название основной горизонтальной оси /Название под осью. Заполняем названия осей («Посевная площадь, га» и «Годы»),
5) находим Конструктор /Выбрать данные и выходит диалоговое окно «Выбор источника данных». Кликаем мышкой на «Ряд 1», затем на «Изменить» с левой стороны,
Рис. 10. Диалоговое окно «Выбор источника данных»
Рис. 11. Диалоговое окно «Изменение ряда»
Заполняем Имя ряда и нажимаем дважды на ОК.
6) находим Конструктор /Выбрать данные и выходит диалоговое окно «Выбор источника данных». Кликаем мышкой на «Изменить» уже с правой стороны. Выходит новое диалоговое окно «Подписи оси» и заполняем его. Затем вновь нажимаем дважды на ОК,
Рис. 12. Диалоговое окно «Подписи оси»
7) выбираем Макет /Линия тренда /Линейное приближение. На графике появляется линия тренда. Дважды кликаем на нее и выходит диалоговое окно «Формат линии тренда».
Рис. 13. Диалоговое окно «Формат линии тренда»
Отмечаем прогноз на три года и ставим две галочки внизу. Кликаем на «Закрыть».
Более наглядно полученный график представлен на рис. 23.
Рис. 14. Линейная линия тренда
Как видно из рис.
14 линейная функция имеет вид
По аналогичной схеме построим остальные графики. Как только вы поняли, что можете строить их без подсказки, можете облегчить себе работу следующим образом. Скопировать предыдущий график, кликнуть дважды на линии тренда и менять ее параметры.
Рис. 15. Экспоненциальная линия тренда
Рис. 16. Логарифмическая линия тренда
Рис. 17. Полиноминальная линия тренда
Рис. 18. Степенная линия тренда
Внимательно
сравнив графики по максимальному
значению
определяем, что наиболее полно исследуемую
совокупность отражает экспоненциальная
линия тренда.
Задачи 15 и 16 составлены по теме «Индексы. Анализ индексным методом».
Задача 15. На основе данных о продаже товаров (табл. 22) определите: 1) индивидуальные индексы объемов продаж в натуральном выражении, цен и товарооборота; 2) агрегатные индексы физического объема; 3) агрегатные индексы цен по формулам Пааше и Ласпейреса; 4) общий индекс товарооборота; 5) абсолютные приросты товарооборота за счет изменения объемов продаж, цен за счет совместного действия обоих факторов. Показать взаимосвязь между общими индексами и между абсолютными приростами товарооборота.
Таблица 22 – Исходные данные
Товары |
Единица измерения |
Количество |
Цена, руб. |
||
Базисный период
|
Отчетный период
|
Базисный период
|
Отчетный период
|
||
Картофель |
кг |
1000 |
750 |
13 |
15 |
Молоко |
л |
2000 |
1800 |
30 |
32 |
Решение: 1. По картофелю:
или 75 %.
или 115,38 %.
или 86,54 %.
По молоку:
или 90 %.
или 106,67 %.
или 96 %.
2.
или 87,33 %.
То есть количество проданных товаров по двум видам в среднем снизилось на 12,67 %.
3. а) по формуле Пааше:
или 108 %.
То есть средний прирост цен на все товары составил 8 %.
б) по формуле Ласпейреса:
или 108,22 %.
То есть, если бы население приобрело товаров в отчетном периоде столько же, сколько и в базисном, то цены в среднем увеличились бы на 8,22 %.
4.
или 94,32 %.
То есть товарооборот по двум товарам уменьшился на 5,68 %.
5.
тыс. руб.
То есть за счет снижения среднего количества реализованных товаров выручка от продажи снизилась на 9250 тыс. руб.
по методике Пааше
тыс. руб.
Таким образом, за счет изменения среднего роста цен денежная выручка продавцов увеличилась на 5100 тыс. руб.;
по методике Ласпейреса
тыс. руб.
То есть, если население в отчетном периоде купило бы столько же товаров, что и в базисном, то в результате среднего роста цен население бы выиграло 6000 тыс. руб.;
тыс. руб.
То есть товарооборот по всем товарам сократился на 4150 тыс. руб.
Взаимосвязь
(действует при условии, что индекс
найден по методике Пааше) между индексами:
;
между абсолютными приростами товарооборота:
тыс. руб.
Задача 16. Имеются следующие данные о выпуске продукции «А» по двум заводам (табл. 23).
Таблица 23 – Исходные данные
№ завода |
Базисный год |
Отчетный год |
||||
Произведено продукции, тыс. шт. |
Себестоимость единицы, руб. |
Удельный вес продукции, % |
Произведено продукции, тыс. шт. |
Себестоимость единицы, руб. |
Удельный вес продукции, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
60 |
24 |
50 |
80 |
20 |
40 |
2 |
60 |
20 |
50 |
120 |
18 |
60 |
|
120 |
|
100 |
200 |
|
100 |
Вычислить:
Индекс себестоимости переменного состава;
Индекс себестоимости постоянного состава;
Индекс структурных сдвигов
Решение: 1. Вычислим индекс себестоимости переменного состава:
или 85,45 %.
Таким образом, средняя себестоимость снизилась на 14,55 %.
2. Индекс себестоимости постоянного состава:
или 87,04 %.
Себестоимость продукции по двум заводам в среднем снизилась на 12,96 %.
3. Индекс структурных сдвигов равен:
или 98,2 %, т.е. себестоимость изделия в отчетном периоде снизилась дополнительно на 1,8 % за счет изменения структуры.
Исчисленные выше индексы можно вычислить по удельным весам продукции заводов, выраженных в коэффициентах:
а) индекс себестоимости переменного состава:
б) индекс себестоимости постоянного состава:
в) индекс структурных сдвигов:
Задачи 17…20 составлены по теме «Статистические методы изучения взаимосвязей».
Пример решения задачи 17. Охарактеризуйте зависимость урожайности зерновых от качества почвы (табл. 24), рассчитав параметры нижеследующих функций: а) линейной, б) степенной, в) экспоненты, г) показательной, д) равносторонней гиперболы, е) обратной и т.д. Определите показатели тесноты связи для каждой модели, оценив каждую из них по показателю детерминации, F-критерию Фишера, ошибку апроксимации и выбрать наилучшую из них. Для расчетов используйте программы Statgraphics, статистические функции ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБЛ в MS Excel, инструмент анализа данных Регрессия и т.д.
Решение: для определения формы связи между урожайностью зерновых культур и качеством почвы построим график (рис. 19). На оси абсцисс нанесем значение независимой переменной (качество почвы), на оси ординат - зависимой (урожайность).
Рис. 19. Зависимость урожайности от качества почвы
а) рассмотрим линейную функцию, выраженную уравнением прямой линии:
(34)
где
- урожайность зерновых, ц/га;
-
качество почвы, бал.;
-
параметры уравнения связи, которые
следует определить на основе решения
системы нормальных уравнений с двумя
неизвестными:
(35)
Для удобства расчетов заполним таблицу 24.
Таблица 24 - Данные для уравнения связи и коэффициента корреляции
№ хозяйства |
Урожайность зерновых, ц/га
|
Качество почвы, балл
|
Расчетные данные |
Ожидаемое значение урожайности в
зависимости от качества почвы
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||
1 |
17,3 |
40 |
299,29 |
1600 |
692 |
17,7944 |
-0,2737 |
1,582081 |
|||
2 |
17,9 |
42 |
320,41 |
1764 |
751,8 |
18,0862 |
-0,2191 |
1,224022 |
|||
3 |
21,2 |
45 |
449,44 |
2025 |
954 |
18,5239 |
2,5355 |
11,95991 |
|||
4 |
20,5 |
48 |
420,25 |
2304 |
984 |
18,9616 |
1,2901 |
6,293171 |
|||
5 |
21,2 |
48 |
449,44 |
2304 |
1017,6 |
18,9616 |
1,4447 |
6,814623 |
|||
6 |
18,6 |
61 |
345,96 |
3721 |
1134,6 |
20,8583 |
-1,7007 |
9,143548 |
|||
7 |
19,5 |
65 |
380,25 |
4225 |
1267,5 |
21,4419 |
-1,3461 |
6,903077 |
|||
8 |
19,8 |
66 |
392,04 |
4356 |
1306,8 |
21,5878 |
-1,5915 |
8,037879 |
|||
9 |
24 |
74 |
576 |
5476 |
1776 |
22,755 |
2,0631 |
8,59625 |
|||
10 |
21,2 |
75 |
449,44 |
5625 |
1590 |
22,9009 |
-1,2823 |
6,048585 |
|||
11 |
19,5 |
79 |
380,25 |
6241 |
1540,5 |
23,4845 |
-3,5277 |
18,09077 |
|||
12 |
28 |
84 |
784 |
7056 |
2352 |
24,214 |
4,4269 |
15,81036 |
|||
13 |
22,5 |
85 |
506,25 |
7225 |
1912,5 |
24,3599 |
-1,6185 |
7,193333 |
|||
14 |
24 |
86 |
576 |
7396 |
2064 |
24,5058 |
-0,6639 |
2,76625 |
|||
15 |
24,5 |
87 |
600,25 |
7569 |
2131,5 |
24,6517 |
-0,7093 |
2,895102 |
|||
16 |
22,5 |
95 |
506,25 |
9025 |
2137,5 |
25,8189 |
-3,2547 |
14,46533 |
|||
17 |
24,3 |
100 |
590,49 |
10000 |
2430 |
26,5484 |
-2,0001 |
8,230864 |
|||
18 |
30,5 |
100 |
930,25 |
10000 |
3050 |
26,5484 |
3,6545 |
11,98197 |
|||
19 |
28,5 |
100 |
812,25 |
10000 |
2850 |
26,5484 |
1,1091 |
3,891579 |
|||
20 |
29,6 |
100 |
876,16 |
10000 |
2960 |
26,5484 |
1,6637 |
5,620608 |
|||
Итого |
455,1 |
1480 |
10644,67 |
117912 |
34902,3 |
455,1 |
2,1316E-14 |
157,5493 |
|||
Данные таблицы 259 занесем в систему уравнения.
Разделив оба
уравнения на коэффициент при
,
т.е. первое на 20, второе - на 1543, получим:
Вычтем из большего уравнения меньшее, в данном случае из второго первое:
.
Решим
задачу методом определителей: определитель
системы
равен:
Уравнение
регрессии составит:
Используя статистическую функцию ЛИНЕЙН в MS Excel (Windows 7) получим следующее решение (рис. 20).
Рис. 20. Регрессионная статистика функции ЛИНЕЙН
Мы
получили следующую функцию
Коэффициент детерминации составил
0,62.
Коэффициент регрессии (параметр ), равный 0,1459, показывает, что с увеличением балла почвы на единицу урожайность в данных конкретных условиях возрастает на 0,1459 ц/га.
Определим тесноту связи между изучаемыми признаками, для чего рассчитаем коэффициент корреляции по формулам:
. (36)
(37)
Для определения
коэффициента корреляции надо определить
средние значения
,
,
а также средние квадратические отклонения
по результативному и факторному
признакам. Все исходные и расчетные
данные имеются в таблице 259.
,
,
,
Коэффициент парной линейной корреляции можно рассчитать и по другой формуле, если известен коэффициент регрессии:
Рассчитанный
коэффициент корреляции показал
существенную зависимость урожайности
зерновых от качества почв. Коэффициент
детерминации
показывает, что на 25 % урожайность в
данных условиях зависит от качества
почвы, а на 75 % - от других факторов,
которые не рассматривались в задаче.
Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:
Если возьмем коэффициент детерминации по данным рис. 30, то получим следующий F-критерий Фишера:
Этот расчет совпадает с рис. 30.
Табличное значение F-критерий Фишера составило 4,41. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.
Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:
Этот показатель
не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение
расчетных
и фактических
данных не столь велико.
Решим эту задачи с помощью программы Statgraphics:
Откроем таблицу данных и введем значения;
В главном меню выберем Ralate/ Simple Regression;
Заполним поля у и х, нажмем на OK три раза (рис. 21…23) и получаем результат (рис. 24).
Рис. 21. Диалоговое окно Simple Regression
Рис. 22. Диалоговое окно Simple Regression Options
Рис. 23. Диалоговое окно Tables and Graphs
Рис. 24. Результаты расчетов
Определим эмпирическое корреляционное отношение по формуле:
или 78,68.
Определим теоретическое корреляционное отношение по формуле:
Таким
образом, мы получили те же значения и
уравнение
регрессии составило:
Из рисунка 34 видно, что случайные ошибки
параметров
и
равны
и
.
Эти значения указывают на величину,
сформировавшуюся под воздействием
случайных факторов. На их основе
рассчитываются значения t-критерия
Стьюдента:
и
.
На основе Приложения 2 определим
критические значения t-критерия
Стьюдента для уровня значимости
,
т.е. с вероятностью 0,95 составит 2,1098,
,
т.е. с вероятностью 0,99 – 2,8982. Так как
фактические значения больше теоретических
(критических), то делаем вывод о
существенности данных параметров (
и
),
которые формируются под воздействием
не случайных причин. Об это же
свидетельствует показатель вероятности
случайных значений параметров регрессии,
так
То есть вероятность случайно получить
такое значение t-критерия
Стьюдента составляет 0,0000, что не превышает
допустимый уровень значимости 5 %.
Чуть ниже на рис. 34 представлен расчет F-критерий Фишера, и он составляет 29,23. Согласно дисперсионному анализу вероятность получить случайно такое значение F-критерий Фишера составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5%.
Отсюда же берем
нескорректированный коэффициент
детерминации
,
который оценивает долю вариации
результата в зависимости от факторов
в общей вариации. Этот показатель
показывает на достаточно высокую связь
результата и от факторного признака.
Скорректированный коэффициент
детерминации
оценивает тесноту связи с учетом
степеней свободы общей и остаточной
дисперсий. Он дает такую оценку тесноты
связи, которая не зависит от числа
факторов в модели и поэтому может
сравниваться по разным моделям с разным
числом факторов.
Помощью инструмента анализа данных Регрессия получим следующие данные (рис. 25).
Рис. 25. Регрессионная статистика
Как видим из рис. 25 уравнение регрессии полностью совпадает.
б) рассмотрим степенную функцию:
(38)
Линеаризуем модель логарифмированием:
Пусть
,
,
Тогда получим
линейное уравнение:
.
Для удобства расчетов заполним таблицу 25.
Таблица 25 - Данные для уравнения связи и индекса корреляции
№ хозяйства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2,850707 |
3,688879 |
10,51591 |
8,126528 |
13,60783 |
2,879097 |
17,7982 |
0,248206 |
29,75703 |
2 |
2,884801 |
3,73767 |
10,78243 |
8,322075 |
13,97017 |
2,898926 |
18,15464 |
0,064843 |
23,57103 |
3 |
3,054001 |
3,806662 |
11,62555 |
9,326923 |
14,49068 |
2,926966 |
18,67089 |
6,39639 |
2,418025 |
4 |
3,020425 |
3,871201 |
11,69267 |
9,122966 |
14,9862 |
2,953195 |
19,16709 |
1,776646 |
5,085025 |
5 |
3,054001 |
3,871201 |
11,82265 |
9,326923 |
14,9862 |
2,953195 |
19,16709 |
4,132719 |
2,418025 |
6 |
2,923162 |
4,110874 |
12,01675 |
8,544874 |
16,89928 |
3,0506 |
21,12802 |
6,390899 |
17,26403 |
7 |
2,970414 |
4,174387 |
12,39966 |
8,823362 |
17,42551 |
3,076413 |
21,68049 |
4,754532 |
10,59503 |
8 |
2,985682 |
4,189655 |
12,50898 |
8,914297 |
17,55321 |
3,082618 |
21,81543 |
4,061964 |
8,732025 |
9 |
3,178054 |
4,304065 |
13,67855 |
10,10003 |
18,52498 |
3,129115 |
22,85375 |
1,313896 |
1,550025 |
10 |
3,054001 |
4,317488 |
13,18561 |
9,326923 |
18,6407 |
3,13457 |
22,97876 |
3,16399 |
2,418025 |
11 |
2,970414 |
4,369448 |
12,97907 |
8,823362 |
19,09207 |
3,155687 |
23,46916 |
15,75425 |
10,59503 |
12 |
3,332205 |
4,430817 |
14,76439 |
11,10359 |
19,63214 |
3,180628 |
24,06187 |
15,5089 |
27,51003 |
13 |
3,113515 |
4,442651 |
13,83226 |
9,693978 |
19,73715 |
3,185438 |
24,17787 |
2,81526 |
0,065025 |
14 |
3,178054 |
4,454347 |
14,15616 |
10,10003 |
19,84121 |
3,190191 |
24,29307 |
0,085892 |
1,550025 |
15 |
3,198673 |
4,465908 |
14,28498 |
10,23151 |
19,94434 |
3,19489 |
24,40748 |
0,00856 |
3,045025 |
16 |
3,113515 |
4,553877 |
14,17857 |
9,693978 |
20,73779 |
3,230641 |
25,29587 |
7,816884 |
0,065025 |
17 |
3,190476 |
4,60517 |
14,69269 |
10,17914 |
21,20759 |
3,251487 |
25,82872 |
2,336998 |
2,387025 |
18 |
3,417727 |
4,60517 |
15,73921 |
11,68086 |
21,20759 |
3,251487 |
25,82872 |
21,82082 |
59,98503 |
19 |
3,349904 |
4,60517 |
15,42688 |
11,22186 |
21,20759 |
3,251487 |
25,82872 |
7,135714 |
33,00503 |
20 |
3,387774 |
4,60517 |
15,60128 |
11,47702 |
21,20759 |
3,251487 |
25,82872 |
14,22252 |
46,85403 |
Итого |
62,22751 |
85,20981 |
265,8842 |
194,1402 |
364,8998 |
62,22812 |
452,4346 |
119,8099 |
288,8695 |
В среднем |
3,111375 |
4,260491 |
13,29421 |
9,70701 |
18,24499 |
2,879097 |
17,7982 |
|
29,75703 |
Получим систему нормальных уравнений:
Коэффициент эластичности 0,4064 показывает, что с ростом качества почвы на 1 балл, урожайность зерновых возрастает на 0,41 ц/га.
Если решить эту систему через статистическую функцию ЛИНЕЙН в MS Excel получим следующее уравнение
Решим эту задачу с помощью программы Statgraphics (рис. 26).
Рис. 26. Результаты расчетов
Получаем
уравнение
регрессии
Из рисунка 36
видно, что случайные ошибки параметров
и
равны
и
.
Эти значения указывают на величину,
сформировавшуюся под воздействием
случайных факторов. На их основе
рассчитываются значения t-критерия
Стьюдента:
и
.
На основе Приложения 2 определим
критические значения t-критерия
Стьюдента для уровня значимости
,
т.е. с вероятностью 0,95 составит 2,1098,
,
т.е. с вероятностью 0,99 – 2,8982. Так как
фактические значения больше теоретических
(критических), то делаем вывод о
существенности данных параметров (
и
),
которые формируются под воздействием
не случайных причин. Об это же
свидетельствует показатель вероятности
случайных значений параметров регрессии,
так
То есть вероятность случайно получить
такое значение t-критерия
Стьюдента составляет 0,0000, что не превышает
допустимый уровень значимости 5 %.
Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:
Коэффициент
детерминации составил 0,5852, таким образом,
на 58,52% вариации
объясняется вариацией
,
на долю прочих факторов приходится 23,5
%.
Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:
Табличное значение
F-критерий
Фишера составило 4,41. Так как фактическое
значение F
превышает табличное, уравнение регрессии
статистически
значимо.
Чуть ниже (рис. 36) представлен расчет F-критерий Фишера, и он составляет 26,43. Согласно дисперсионному анализу вероятность получить случайно такое значение F-критерий Фишера составляет 0,0001, что не превышает допустимый уровень значимости 5%.
Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:
Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.
в) рассмотрим функцию экспоненты:
(39)
Для оценки параметров приведем уравнение к линейному виду:
Воспользуемся методом наименьших квадратов и получим систему уравнений:
Для удобства расчетов заполним таблицу 26.
Таблица 26 - Данные для уравнения связи и индекса корреляции
№ хозяйства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,0578 |
40 |
2,3121 |
1600 |
114,0283 |
18,0970 |
0,6352 |
29,757 |
0,0461 |
2 |
0,0559 |
42 |
2,3464 |
1764 |
121,1616 |
18,3279 |
0,1831 |
23,571 |
0,0239 |
3 |
0,0472 |
45 |
2,1226 |
2025 |
137,4301 |
18,67984 |
6,3512 |
2,4180 |
0,1189 |
4 |
0,0488 |
48 |
2,3415 |
2304 |
144,9804 |
19,03853 |
2,1360 |
5,0850 |
0,0713 |
5 |
0,0472 |
48 |
2,2642 |
2304 |
146,5921 |
19,03853 |
4,6720 |
2,4180 |
0,1020 |
6 |
0,0538 |
61 |
3,2796 |
3721 |
178,3129 |
20,67416 |
4,302147 |
17,2640 |
0,1115 |
7 |
0,0513 |
65 |
3,3333 |
4225 |
193,0769 |
21,20516 |
2,90762 |
10,5950 |
0,0874 |
8 |
0,0505 |
66 |
3,3333 |
4356 |
197,055 |
21,34003 |
2,3717 |
8,7320 |
0,0778 |
9 |
0,0417 |
74 |
3,0833 |
5476 |
235,176 |
22,45032 |
2,4015 |
1,5500 |
0,0646 |
10 |
0,0472 |
75 |
3,5378 |
5625 |
229,0501 |
22,5931 |
1,9407 |
2,4180 |
0,0657 |
11 |
0,0513 |
79 |
4,0513 |
6241 |
234,6627 |
23,1734 |
13,4938 |
10,5950 |
0,1884 |
12 |
0,0357 |
84 |
3 |
7056 |
279,9052 |
23,9198 |
16,6484 |
27,5100 |
0,1457 |
13 |
0,0444 |
85 |
3,7778 |
7225 |
264,6488 |
24,0719 |
2,4708 |
0,0650 |
0,0699 |
14 |
0,0417 |
86 |
3,5833 |
7396 |
273,3126 |
24,2250 |
0,0506 |
1,5500 |
0,0094 |
15 |
0,0408 |
87 |
3,5510 |
7569 |
278,2846 |
24,3791 |
0,0146 |
3,0450 |
0,0049 |
16 |
0,0444 |
95 |
4,2222 |
9025 |
295,784 |
25,6475 |
9,9065 |
0,0650 |
0,1399 |
17 |
0,0413 |
100 |
4,1152 |
10000 |
319,0476 |
26,4735 |
4,7242 |
2,3870 |
0,0894 |
18 |
0,0328 |
100 |
3,2787 |
10000 |
341,7727 |
26,4735 |
16,2126 |
59,9850 |
0,1320 |
19 |
0,0351 |
100 |
3,5088 |
10000 |
334,9904 |
26,4735 |
4,1067 |
33,0050 |
0,0711 |
20 |
0,0338 |
100 |
3,3784 |
10000 |
338,7774 |
26,4735 |
9,7749 |
46,8540 |
0,1056 |
Итого |
0,9024 |
1480 |
64,4208 |
117912 |
4658,049 |
452,7551 |
105,3042 |
288,8695 |
1,7255 |
Получим систему нормальных уравнений:
Сделаем потенцирование
.
Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:
Коэффициент детерминации составил 0,6365, таким образом, на 63,65 % вариации объясняется вариацией , на долю прочих факторов приходится 36,47 %.
Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:
Табличное значение
F-критерий
Фишера составило 4,41. Так как фактическое
значение F
превышает табличное, уравнение регрессии
статистически
значимо.
Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:
Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.
Решим эту задачу с помощью программы Statgraphics (рис. 27).
Таким
образом, мы получили те же значения и
уравнение
регрессии
.
Из рисунка 37
видно, что случайные ошибки параметров
и
равны
и
.
На их основе рассчитываются значения
t-критерия
Стьюдента:
и
.
На основе Приложения 2 определим
критические значения t-критерия
Стьюдента для уровня значимости
,
т.е. с вероятностью 0,95 составит 2,1098,
,
т.е. с вероятностью 0,99 – 2,8982. Так как
фактические значения больше теоретических
(критических), то делаем вывод о
существенности данных параметров (
и
),
которые формируются под воздействием
не случайных причин. Об это же
свидетельствует показатель вероятности
случайных значений параметров регрессии,
так
То есть вероятность случайно получить
такое значение t-критерия
Стьюдента составляет 0,0000, что не превышает
допустимый уровень значимости 5 %.
Рис. 27. Результаты расчетов
Чуть ниже на рис. 28 представлен расчет F-критерий Фишера, и он составляет 32,03. Согласно дисперсионному анализу вероятность получить случайно такое значение F-критерий Фишера составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5%.
г) рассмотрим функцию показательной кривой:
(40)
Для оценки параметров приведем уравнение к линейному виду:
Воспользуемся методом наименьших квадратов и получим систему уравнений:
Получим систему нормальных уравнений:
Получаем уравнение регрессии:
Сделаем потенцирование и получим
;
;
,
,
получаем
.
Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:
Коэффициент детерминации составил 0,6282, таким образом, на 62,82% вариации объясняется вариацией , на долю прочих факторов приходится 37,18 %.
Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:
Табличное значение
F-критерий
Фишера составило 4,41. Так как фактическое
значение F
превышает табличное, уравнение регрессии
статистически значимо.
Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:
Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.
Эту задачу решим с помощью статистической функции ЛГРФПРИБЛ (рис. 28).
Рис. 28. Решение статистической функции ЛГРФПРИБЛ
Таким образом, мы
получаем уравнение регрессии
.
д) рассмотрим функцию равносторонней гиперболы:
. (41)
Для оценки параметров
приведем уравнение к линейному виду
при
.
Затем получим
Воспользуемся методом наименьших квадратов и получим систему уравнений:
Таблица 27 - Данные для уравнения связи и коэффициента корреляции
№ хозяйства |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
17,3 |
0,025 |
0,4325 |
0,000625 |
17,39276 |
0,00860349 |
-0,53616 |
2 |
17,9 |
0,0238095 |
0,42619 |
0,000567 |
18,0186 |
0,01406483 |
-0,66254 |
3 |
21,2 |
0,0222222 |
0,47111 |
0,000494 |
18,85305 |
5,508179518 |
11,07052 |
4 |
20,5 |
0,0208333 |
0,42708 |
0,000434 |
19,5832 |
0,84052988 |
4,472215 |
5 |
21,2 |
0,0208333 |
0,44167 |
0,000434 |
19,5832 |
2,614055713 |
7,626435 |
6 |
18,6 |
0,0163934 |
0,30492 |
0,000269 |
21,91727 |
11,00429439 |
-17,8348 |
7 |
19,5 |
0,0153846 |
0,3 |
0,000237 |
22,44762 |
8,688454595 |
-15,116 |
8 |
19,8 |
0,0151515 |
0,3 |
0,00023 |
22,57016 |
7,673789783 |
-13,9907 |
9 |
24 |
0,0135135 |
0,32432 |
0,000183 |
23,43127 |
0,32345658 |
2,369718 |
10 |
21,2 |
0,0133333 |
0,28267 |
0,000178 |
23,52599 |
5,410226379 |
-10,9716 |
11 |
19,5 |
0,0126582 |
0,24684 |
0,00016 |
23,8809 |
19,19225154 |
-22,4661 |
12 |
28 |
0,0119048 |
0,33333 |
0,000142 |
24,277 |
13,86074673 |
13,29644 |
13 |
22,5 |
0,0117647 |
0,26471 |
0,000138 |
24,35063 |
3,424816156 |
-8,225 |
14 |
24 |
0,0116279 |
0,27907 |
0,000135 |
24,42254 |
0,178541624 |
-1,76059 |
15 |
24,5 |
0,0114943 |
0,28161 |
0,000132 |
24,4928 |
5,17738E-05 |
0,029369 |
16 |
22,5 |
0,0105263 |
0,23684 |
0,000111 |
25,00165 |
6,258276422 |
-11,1185 |
17 |
24,3 |
0,01 |
0,243 |
0,0001 |
25,27834 |
0,957153069 |
-4,0261 |
18 |
30,5 |
0,01 |
0,305 |
0,0001 |
25,27834 |
27,26571227 |
17,12019 |
19 |
28,5 |
0,01 |
0,285 |
0,0001 |
25,27834 |
10,37908027 |
11,30406 |
20 |
29,6 |
0,01 |
0,296 |
0,0001 |
25,27834 |
18,67672787 |
14,6002 |
Итого |
455,1 |
0,296451 |
6,48186 |
0,004868 |
454,862 |
142,2790129 |
-24,819 |
Получим систему нормальных уравнений:
Получаем уравнение регрессии:
Решим эту задачу с помощью программы Statgraphics (рис. 29).
Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:
Коэффициент детерминации составил 0,5075, таким образом, на 50,75% вариации объясняется вариацией , на долю прочих факторов приходится 49,25 %.
Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:
Рис. 29. Результаты расчетов
Таким образом, мы получили те же значения. Небольшие различия объясняются округлением.
Табличное значение
F-критерий
Фишера составило 4,41. Так как фактическое
значение F
превышает табличное, уравнение регрессии
статистически значимо.
Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:
Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.
е) рассмотрим обратную функцию:
. (42)
Для оценки параметров
приведем уравнение к линейному виду
при
.
Затем получим
Воспользуемся методом наименьших квадратов и получим систему уравнений:
Таблица 28 - Данные для уравнения связи и коэффициента корреляции
№ хозяйства |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,0578035 |
40 |
2,3121387 |
1600 |
19,2678227 |
3,8723263 |
11,3747 |
2 |
0,0558659 |
42 |
2,3463687 |
1764 |
19,4174757 |
2,3027326 |
8,477518 |
3 |
0,0471698 |
45 |
2,1226415 |
2025 |
19,6463654 |
2,4137804 |
7,328465 |
4 |
0,0487805 |
48 |
2,3414634 |
2304 |
19,8807157 |
0,383513 |
3,020899 |
5 |
0,0471698 |
48 |
2,2641509 |
2304 |
19,8807157 |
1,740511 |
6,223039 |
6 |
0,0537634 |
61 |
3,2795699 |
3721 |
20,9643606 |
5,590201 |
12,71162 |
7 |
0,0512821 |
65 |
3,3333333 |
4225 |
21,3219616 |
3,3195441 |
9,343393 |
8 |
0,0505051 |
66 |
3,3333333 |
4356 |
21,4132762 |
2,6026602 |
8,14786 |
9 |
0,0416667 |
74 |
3,0833333 |
5476 |
22,172949 |
3,3381153 |
7,612712 |
10 |
0,0471698 |
75 |
3,5377358 |
5625 |
22,2717149 |
1,1485729 |
5,055259 |
11 |
0,0512821 |
79 |
4,0512821 |
6241 |
22,675737 |
10,085305 |
16,28583 |
12 |
0,0357143 |
84 |
3 |
7056 |
23,2018561 |
23,022184 |
17,13623 |
13 |
0,0444444 |
85 |
3,7777778 |
7225 |
23,3100233 |
0,6561378 |
3,600104 |
14 |
0,0416667 |
86 |
3,5833333 |
7396 |
23,4192037 |
0,3373243 |
2,419984 |
15 |
0,0408163 |
87 |
3,5510204 |
7569 |
23,5294118 |
0,9420415 |
3,961585 |
16 |
0,0444444 |
95 |
4,2222222 |
9025 |
24,4498778 |
3,8020232 |
8,666123 |
17 |
0,0411523 |
100 |
4,1152263 |
10000 |
25,0626566 |
0,5816452 |
3,138505 |
18 |
0,0327869 |
100 |
3,2786885 |
10000 |
25,0626566 |
29,564703 |
17,82736 |
19 |
0,0350877 |
100 |
3,5087719 |
10000 |
25,0626566 |
11,815329 |
12,06085 |
20 |
0,0337838 |
100 |
3,3783784 |
10000 |
25,0626566 |
20,587485 |
15,32886 |
Итого |
0,9023554 |
1480 |
64,42077 |
117912 |
447,074094 |
128,10614 |
179,7209 |
Получим систему нормальных уравнений:
Получаем уравнение регрессии:
Решим эту задачу с помощью программы Statgraphics (рис. 30).
Таким образом, мы получили те же значения. Небольшие различия объясняются округлением.
Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:
Коэффициент детерминации составил 0,5565, таким образом, на 55,65% вариации объясняется вариацией , на долю прочих факторов приходится 44,35 %.
Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:
Рис. 30. Результаты расчетов
Табличное значение F-критерий Фишера составило 4,41. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.
Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:
Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.
ж) рассмотрим функцию:
. (43)
Воспользуемся
программой Statgraphics
(рис. 31) и получим уравнение регрессии:
.
Таблица 29 - Данные для расчета коэффициентов
№ хозяйства |
|
|
|
|
|
1 |
17,3 |
40 |
17,309697 |
9,40261E-05 |
0,056050315 |
2 |
17,9 |
42 |
17,70052 |
0,039792138 |
1,114411557 |
3 |
21,2 |
45 |
18,271088 |
8,578526578 |
13,81562351 |
4 |
20,5 |
48 |
18,824369 |
2,807738202 |
8,173808233 |
5 |
21,2 |
48 |
18,824369 |
5,643621165 |
11,20580513 |
6 |
18,6 |
61 |
21,054577 |
6,02494794 |
13,1966502 |
7 |
19,5 |
65 |
21,694719 |
4,81679326 |
11,2549713 |
8 |
19,8 |
66 |
21,851825 |
4,209986222 |
10,36275301 |
9 |
24 |
74 |
23,070187 |
0,86455174 |
3,874219769 |
10 |
21,2 |
75 |
23,217988 |
4,072274111 |
9,518809617 |
11 |
19,5 |
79 |
23,800012 |
18,4901066 |
22,05134562 |
12 |
28 |
84 |
24,508114 |
12,19326952 |
12,47102229 |
13 |
22,5 |
85 |
24,647293 |
4,610867034 |
9,543524244 |
14 |
24 |
86 |
24,785691 |
0,617309766 |
3,273710958 |
15 |
24,5 |
87 |
24,92332 |
0,179199656 |
1,72783593 |
16 |
22,5 |
95 |
25,998137 |
12,2369655 |
15,54727748 |
17 |
24,3 |
100 |
26,647893 |
5,512601421 |
9,662111008 |
18 |
30,5 |
100 |
26,647893 |
14,83872853 |
12,6298591 |
19 |
28,5 |
100 |
26,647893 |
3,430300433 |
6,498621141 |
20 |
29,6 |
100 |
26,647893 |
8,714935888 |
9,973334544 |
Итого |
455,1 |
1480 |
457,07348 |
117,8826097 |
185,9517449 |
Решим эту задачу с помощью программы Statgraphics (рис. 31):
Рис. 31. Результаты расчетов
Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:
Коэффициент детерминации составил 0,5919, таким образом, на 59,19% вариации объясняется вариацией , на долю прочих факторов приходится 40,81 %.
Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:
Табличное значение F-критерий Фишера составило 4,41. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.
Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:
Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.
Теперь необходимо определить наиболее точную модель, учитывая коэффициенты детерминации и апроксимации. Так, уравнение регрессии наиболее точно отражает исходные данные. Так как коэффициент детерминации наибольший, а коэффициент апроксимации наименьший.
Задача 18. Имеются данные об урожайности картофеля, количество внесенных удобрений и доле высокосортных посевов (табл. 30). Определите показатели связи при множественной линейной зависимости расчетным путем с помощью инструмента анализа данных Регрессия и программы Statgraphics.
Таблица 30 - Данные для уравнения связи и коэффициента множественной корреляции
Номер хозяйства |
Исходные данные |
Расчетные данные |
|||||||
урожайность картофеля, ц/га ( |
внесено органических удобрений, т/га
( |
удельный вес высокосортных посевов,
%
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
120 |
13 |
60 |
14400 |
169 |
3600 |
1560 |
7200 |
780 |
2 |
130 |
15 |
60 |
16900 |
225 |
3600 |
1950 |
7800 |
900 |
3 |
250 |
28 |
100 |
62500 |
784 |
10000 |
7000 |
25000 |
2800 |
4 |
200 |
25 |
95 |
40000 |
625 |
9025 |
5000 |
19000 |
2375 |
5 |
130 |
14 |
66 |
16900 |
196 |
4356 |
1820 |
8580 |
924 |
6 |
100 |
10 |
50 |
10000 |
100 |
2500 |
1000 |
5000 |
500 |
7 |
110 |
12 |
56 |
12100 |
144 |
3136 |
1320 |
6160 |
672 |
8 |
180 |
19 |
78 |
32400 |
361 |
6084 |
3420 |
14040 |
1482 |
9 |
120 |
14 |
58 |
14400 |
196 |
3364 |
1680 |
6960 |
812 |
10 |
160 |
15 |
70 |
25600 |
225 |
4900 |
2400 |
11200 |
1050 |
11 |
190 |
20 |
90 |
36100 |
400 |
8100 |
3800 |
17100 |
1800 |
12 |
180 |
17 |
81 |
32400 |
289 |
6561 |
3060 |
14580 |
1377 |
13 |
170 |
16 |
77 |
28900 |
256 |
5929 |
2720 |
13090 |
1232 |
14 |
140 |
17 |
60 |
19600 |
289 |
3600 |
2380 |
8400 |
1020 |
15 |
110 |
14 |
55 |
12100 |
196 |
3025 |
1540 |
6050 |
770 |
16 |
170 |
15 |
78 |
28900 |
225 |
6084 |
2550 |
13260 |
1170 |
17 |
210 |
23 |
96 |
44100 |
529 |
9216 |
4830 |
20160 |
2208 |
18 |
230 |
27 |
100 |
52900 |
729 |
10000 |
6210 |
23000 |
2700 |
19 |
190 |
20 |
90 |
36100 |
400 |
8100 |
3800 |
17100 |
1800 |
20 |
200 |
20 |
88 |
40000 |
400 |
7744 |
4000 |
17600 |
1760 |
Итого |
3290 |
354 |
1508 |
576300 |
6738 |
118924 |
62040 |
261280 |
28132 |
)
)
Исследование формы зависимости между указанными признаками позволяет сделать вывод, что связь может быть выражена при помощи линейного уравнения
(44)
где - урожайность картофеля, ц/га;
- количество внесенных органических удобрений под картофель, т/га;
- удельный вес
посевов высокосортными семенами, %.
Требуется определить параметры уравнения связи коэффициент множественной корреляции.
Решение: Составим систему нормальных уравнений с тремя неизвестными:
(45)
Подставив в эту систему данные из табл. 261, получим:
Разделим каждое из уравнений на коэффициенты при первом известном : первое уравнение - на 20, второе - на 354, третье - на 1508, получим:
Теперь поочередно вычтем первое уравнение из второго и третьего:
(175,2
- 164,5) =
-
+ (19,0 - 17,7)
+ (79,5 - 75,4)
;
(173,3-164,5) = - + (18,6 – 17,7) + (78,9 – 75,4) .
Получим:
Разделив каждое из двух этих уравнений на коэффициент при , первое уравнение - на 1,3, второе - на 0,9, получим:
Из второго уравнения
вычитаем первое и освобождаемся от
параметра
:
9,78 -8,23 = (3,8889 - 3,1538)а2,
1,55 = 0,73 5а2,
отсюда а2
= 1,55 : 0,735 = 2,11. Подставляем значение а2
в уравнение 8,23 =
+ 3,1538 ∙ 2,11, отсюда
= 1,58. Далее надо найти значение параметра
ао,
для чего используем уравнение 164,5 =
+ 17,7 ∙ 1,58 + 75,4 ∙ 2,11. Сделаем соответствующие
расчеты: 164,5 =
+
27,966 + 159,09; отсюда а0
.= - 22,6. Уравнение множественной линейной
зависимости примет вид:
Параметры уравнения множественной регрессии показывают, что с увеличением дозы внесения органических удобрений на 1 т в расчете на 1 га урожайность картофеля возрастает на 1,58 ц, а повышение удельного веса высокосортных семян на 1 % дает прирост урожайности 2,11 ц. Параметр экономического смысла не имеет.
Теперь определим тесноту связи. Рассчитаем множественный (совокупный) коэффициент корреляции по формуле
(46)
Для его расчета
надо найти средние значения
,
а также средние квадратические отклонения
по урожайности, внесению удобрений и
удельному весу высокосортных семян:
Теперь рассчитаем средние квадратические отклонения:
Рассчитаем парные коэффициенты корреляции:
Эти коэффициенты можно рассчитать с помощью MS Excel. В главном меню последовательно выбираем Данные /Анализ данных /Корреляция (рис. 32).
Рис. 32. Расчет коэффициентов корреляции
Так же можно воспользоваться программой Statgraphics, используя в расчетах функцию Multiple Variable Analisis (рис. 33).
Подставив значения коэффициента корреляции и детерминации в формулу множественной (совокупной) корреляции получим:
Связь между признаками очень тесная, так как коэффициент множественной корреляции составляет 0,981, а детерминации — 0,962. т.е. 96,2 % колебаний урожайности картофеля в данных условиях зависит от исследуемых факторов и только 3,8 % - от других, не уточненных в анализе.
Значимость
оценим t-критерием
Стьюдента:
Рис. 33. Расчет коэффициентов корреляции
Табличное значение
t-критерия
Стьюдента при 5 % уровне значимости и
17 степенях свободы (n-m=20-2-1=17)
составляет 2,1098. Так как только при
условии
оба фактора
,
считаются значимыми. Однако
меньше положенного.
Поэтому величина
является статистически незначимой,
ненадежной, т.е. она сформировалась под
воздействием случайных факторов. То же
касается и величины
.
Теперь воспользуемся инструментом анализа данных Регрессия (рис. 34).
Рис. 34. Результаты расчетов
Уравнение
множественной линейной зависимости
примет вид:
.
Коэффициент детерминации 0,9629.
Табличное значение F-критерий Фишера составило 3,59, расчетное – 220,59. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.
Решим эту же задачу с помощью программы Statgraphics, используя в расчетах функцию Multiple Regression (рис. 35).
Рис. 35. Результаты расчетов
Уравнение
множественной линейной зависимости
примет вид:
.
Случайные ошибки параметров
,
,
равны
,
,
.
Эти значения указывают на величину,
сформировавшуюся под воздействием
случайных факторов. На их основе
рассчитываются значения t-критерия
Стьюдента:
,
,
.
На основе Приложения 2 определим
критические значения t-критерия
Стьюдента для уровня значимости
,
т.е. с вероятностью 0,95 составит 2,1098,
,
т.е. с вероятностью 0,99 – 2,8982. Статистически
значимыми здесь являются
,
,
а величина
сформировалась под воздействием
случайных причин.
Так как фактические
значения больше теоретических
(критических), то делаем вывод о
существенности данных параметров (
и
),
которые формируются под воздействием
не случайных причин. Об это же
свидетельствует показатель вероятности
случайных значений параметров регрессии,
так
и
То
есть вероятность случайно получить
такие значения t-критерия
Стьюдента составляет 4,8 % и 0,0000, что не
превышает допустимый уровень значимости
5 %.
Чуть ниже на рис. 44 представлен расчет F-критерий Фишера, и он составляет 29,23. Согласно дисперсионному анализу вероятность получить случайно такое значение F-критерий Фишера составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5%.
Отсюда же берем нескорректированный коэффициент детерминации , который оценивает долю вариации результата в зависимости от факторов в общей вариации. Этот показатель показывает на достаточно высокую связь результата и от факторного признака. Скорректированный коэффициент детерминации оценивает тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов в модели и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов.
Табличное значение F-критерий Фишера составило 3,59, расчетное – 220,59. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.
Задача 19. Определение показателей связи при парной криволинейной зависимости.
Пример решения задачи 19. Имеются данные по группе коров об их продуктивности возрасте (числе отелов) (табл. 31).
Таблица 31- Данные для уравнения связи и индекса корреляции (корреляционное отношение)
№ п/п |
Исходные данные |
Расчетные данные |
||||||||
относительное изменение удоя, %, ( ) |
возраст коров к моменту отела, лет ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
79 |
2 |
4 |
8 |
16 |
158 |
316 |
80,649 |
198,16 |
154,45 |
2 |
82 |
2,5 |
6,25 |
15,625 |
39,06 |
205 |
512,5 |
83,965 |
122,7 |
83,032 |
3 |
87 |
3 |
9 |
27 |
81 |
261 |
783 |
86,979 |
36,929 |
37,185 |
4 |
92 |
3,5 |
12,25 |
42,875 |
150,06 |
322 |
1127 |
89,692 |
1,1598 |
11,459 |
5 |
94 |
4 |
16 |
64 |
256 |
376 |
1504 |
92,103 |
0,8521 |
0,9485 |
6 |
98 |
5 |
25 |
125 |
625 |
490 |
2450 |
96,021 |
24,237 |
8,6676 |
7 |
100 |
6 |
36 |
216 |
1296 |
600 |
3600 |
98,733 |
47,929 |
31,991 |
8 |
99 |
7 |
49 |
343 |
2401 |
693 |
4851 |
100,24 |
35,083 |
51,295 |
9 |
99 |
8 |
64 |
512 |
4096 |
792 |
6336 |
100,54 |
35,083 |
55,683 |
10 |
98 |
9 |
81 |
729 |
6561 |
882 |
7938 |
99,633 |
24,237 |
42,982 |
11 |
96 |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
960 |
9600 |
97,521 |
8,5444 |
19,75 |
12 |
94 |
11 |
121 |
1331 |
14641 |
1034 |
11374 |
94,203 |
0,8521 |
1,2681 |
13 |
92 |
12 |
144 |
1728 |
20736 |
1104 |
13248 |
89,679 |
1,1598 |
11,546 |
Итого |
1210 |
83 |
667,5 |
6141,5 |
60898,125 |
7877 |
63639,5 |
1210 |
536,92 |
510,26 |
Анализ исходных данных позволил установить, что зависимость криволинейная и может быть описана уравнением параболы 2-го порядка:
(47)
Требуется определить параметры уравнения связи и индекс корреляции.
Решение: Составим систему уравнений для нахождения параметров , , :
В систему уравнений подставим данные из табл. 266:
Разделим члены каждого уравнения на коэффициент при ао
Теперь из второго уравнения вычтем первое, а из третьего - второе:
Освободимся от коэффициента при , для чего все члены уравнения разделим на коэффициент при :
Из первого уравнения вычтем второе и получим 0,727=-1,206 , отсюда а2=-0,603. Подставим значения а2 в уравнение 1,103= +13,668∙(-0,603); отсюда = 9,345. В уравнение 93,077 = + 6,385 + 51,346a2 подставим значения найденных параметров и а2:
93,077 = а0 + 6,385∙9,345 + 51,346∙(- 0,603);
93,077 = + 59,668 - 30,962;
= 93,007 - 59,668 + 30,962;
= 64,371.
Следовательно, уравнение параболы второго порядка будет иметь следующий вид: = 64,371 + 9,345 - 0,603 .
Отрицательное значение а2 показывает, что с увеличением возраста коров до определенного предела (6-го отела) удой возрастает на 9,345 % с каждым новым отелом, а затем после определенного предела (с 6-го отела до 12-го отела) начинает падать в среднем на 0,603 % .
Когда связь между нелинейная (в нашем случае - параболическая), для измерения тесноты связи используют корреляционное отношение, которое рассчитывается по формуле:
Полученный результат свидетельствует о наличии тесной связи между возрастом коров и их продуктивностью, так как 95,03 % вариации в продуктивности связано с возрастом данной группы коров.
Решим эту же задачу с помощью программы Statgraphics, используя в расчетах функцию Polynomial Regression (рис. 36).
Рис. 36. Результаты расчетов
Уравнение парной
криволинейной зависимости примет вид:
.
Случайные ошибки
параметров
,
,
равны
,
,
.
Эти значения указывают на величину,
сформировавшуюся под воздействием
случайных факторов. На их основе
рассчитываются значения t-критерия
Стьюдента:
,
,
.
На основе Приложения 2 определим
критические значения t-критерия
Стьюдента для уровня значимости
,
т.е. с вероятностью 0,95 составит 2,2281,
,
т.е. с вероятностью 0,99 – 3,1693. Статистически
значимыми здесь являются
,
,
.
Так как фактические
значения больше теоретических
(критических), то делаем вывод о
существенности данных параметров (
,
и
),
которые формируются под воздействием
не случайных причин. Об это же
свидетельствует показатель вероятности
случайных значений параметров регрессии,
так
,
и
То
есть вероятность случайно получить
такие значения t-критерия
Стьюдента составляет 0,0000 %, что не
превышает допустимый уровень значимости
5 %.
Чуть ниже на рис. 45 представлен расчет F-критерий Фишера, и он составляет 71,06. Согласно дисперсионному анализу вероятность получить случайно такое значение F-критерий Фишера составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5%.
Отсюда же берем
нескорректированный коэффициент
детерминации
,
который оценивает долю вариации
результата в зависимости от факторов
в общей вариации. Этот показатель
показывает на достаточно высокую связь
результата и от факторного признака.
Скорректированный коэффициент
детерминации
оценивает тесноту связи с учетом
степеней свободы общей и остаточной
дисперсий. Он дает такую оценку тесноты
связи, которая не зависит от числа
факторов в модели и поэтому может
сравниваться по разным моделям с разным
числом факторов.
Задача 20. Имеются выборочные данные по 12 однородным предприятиям (табл. 32). Определите в программе Statgraphics уравнение регрессии, наиболее полно отражающее исходные данные. Оцените значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента и F-критерия Фишера.
Таблица 32 – Исходные данные
№ предприятия |
Выпуск готовой продукции на одного рабочего, т |
Электровооруженность труда на одного рабочего, кВтч |
1 |
2 |
1 |
2 |
7 |
5 |
3 |
4 |
3 |
4 |
7 |
7 |
5 |
4 |
2 |
6 |
8 |
6 |
7 |
6 |
4 |
8 |
5 |
3 |
9 |
9 |
8 |
10 |
9 |
9 |
11 |
5 |
4 |
12 |
5 |
3 |
Построить однофакторную регрессионную модель.
Решение: воспользовавшись программой Statgraphics, получим следующие данные (табл. 33).
Таблица 33 – Уравнения регрессии, коэффициент детерминации и достоверность
№ п/п |
Уравнение регрессии |
|
|
P |
|
P |
F |
P |
1 |
|
90,68 |
4,86 |
0,007 |
9,86 |
0,0000 |
97,26 |
0,0000 |
2 |
|
86,59 |
14,01 |
0,0000 |
8,04 |
0,0000 |
64,58 |
0,0000 |
3 |
|
79,63 |
7,83 |
0,0000 |
6,25 |
0,0001 |
39,09 |
0,0001 |
4 |
|
59,81 |
7,92 |
0,0000 |
-3,86 |
0,0032 |
14,88 |
0,0032 |
5 |
|
92,27 |
-1,38 |
0,1965 |
10,93 |
0,0000 |
119,4 |
0,0000 |
6 |
|
93,50 |
-2,11 |
0,0608 |
11,99 |
0,0000 |
143,80 |
0,0000 |
7 |
|
92,39 |
5,64 |
0,0002 |
11,02 |
0,0000 |
121,49 |
0,0000 |
8 |
|
88,32 |
1,86 |
0,0932 |
8,70 |
0,0000 |
75,62 |
0,0000 |
9 |
|
90,09 |
-4,93 |
0,0006 |
9,53 |
0,0000 |
90,90 |
0,0000 |
10 |
|
91,44 |
3,01 |
0,0130 |
10,34 |
0,0000 |
106,89 |
0,0000 |
11 |
|
94,13 |
16,46 |
0,0000 |
12,66 |
0,0000 |
160,39 |
0,0000 |
12 |
|
94,14 |
10,30 |
0,0000 |
12,67 |
0,0000 |
160,63 |
0,0000 |
13 |
|
82,45 |
-1,43 |
0,1844 |
6,86 |
0,0000 |
47,00 |
0,0000 |
14 |
|
71,56 |
14,22 |
0,0000 |
-5,02 |
0,0005 |
25,17 |
0,0005 |
15 |
|
88,78 |
30,73 |
0,0000 |
-8,90 |
0,0000 |
79,15 |
0,0000 |
17 |
|
96,68 |
6,80 |
0,0000 |
17,08 |
0,0000 |
291,58 |
0,0000 |
18 |
|
55,25 |
7,34 |
0,0000 |
-3,51 |
0,0056 |
12,35 |
0,0056 |
19 |
|
79,81 |
9,12 |
0,0000 |
6,29 |
0,0001 |
39,54 |
0,0001 |
20 |
|
72,60 |
18,18 |
0,0000 |
5,15 |
0,0004 |
26,50 |
0,0004 |
21 |
|
63,14 |
11,73 |
0,0000 |
4,14 |
0,0020 |
17,3 |
0,0020 |
22 |
|
41,68 |
7,49 |
0,0000 |
-2,67 |
0,0234 |
7,15 |
0,0234 |
23 |
|
87,73 |
3,60 |
0,0048 |
8,46 |
0,0000 |
71,52 |
0,0000 |
Как видим из таблицы 5, 6, 8 и 13 уравнения отпадают, так как не соответствуют по уровню t-критерия Стьюдента. Наиболее полно отражает действительность 17 модель, так как коэффициент детерминации равен 96,68 %. Однако более точный выбор дал бы коэффициент апроксимации.