МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ»

Институт устойчивого развития

ЭКОЛОГО-ГУМАНИТАРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра «Прикладной математики»

Методы теории сплайнов в математическом моделировании

Допущен к защите:

Заведующий кафедрой

___________________

Проф., д.т.н. А.Д. Мижидон

Выпускная квалификационная работа

(Дипломная работа)

на тему: «»

Исполнитель: студент очной формы обучения, группы 747

Харахинов Алдар Владиславович______________________________________

Руководитель работы_____________________ доцент, к.ф.-м.н. Л.И. Назарова

Нормоконтролер________________________ доцент, к.ф.-м.н. Л.И. Назарова

Улан-Удэ 2014

Восточно-Сибирский государственный университет ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

Институт устойчивого развития

Эколого-гуманитарный факультет

Кафедра прикладной математики

ЗАДАНИЕ

Утверждаю: Зав. кафедрой _____________ А.Д. Мижидон

по подготовке выпускной квалификационной работы (ВКР) студенту

Харахинову Алдару Владиславовичу

1. Тема ВКР «»

утверждена приказом по ВСГУТУ от 14.06.12 № 2124у

2. Срок сдачи студентом законченной ВКР 06.06.2014 г.

3. Исходные данные к ВКР:

4. Перечень подлежащих разработке в ВКР вопросов или краткое содержание ВКР:

1. Исследование математических моделей задач параметрического синтеза колебательных систем.

2. Разработка и реализация программного алгоритма для решения задач нахождения оптимального управления.

6. Дата выдачи задания 28.09.2011 г.

Руководитель __________________ Л.И. Назарова

Задание принял к исполнению

студент _______________________ А.В. Харахинов

Аннотация

Харахинов А.В. Кубические сплайны

Выпускная квалификационная работа (дипломная работа)

ЭГФ ВСГУТУ, 2012. 46 с., 2 рис., 1 прил.

Дипломная работа посвящена исследованию интерполяции и экстраполяции кубическими сплайнами. Было проведено сравнение различных методов получения приближенного значения на примере ??

Введение

Необходимость приближенного представления функ­ций при решении задач — проблема, возникающая обычно по двум причинам. Первая предполагает наличие аналити­ческого, но трудновычислимого объекта, который следует заменить более простым, возможно проиграв при этом в точности, но выиграв в экономичности. Вторая причина состоит в том, что исходные данные дискретны, а задача может требовать некоторого функционального представ­ления кривой или поверхности.

Классический аппарат решения таких задач — теория полиномиальных и дробно-рациональных приближений, развитая в работах К. Вейерштрасса, П. Л. Чсбышева, С. Н. Бернштейна. Однако аппарат полиномиальных приближений мало пригоден для аппроксимации функций с конечной, притом небольшой, гладкостью, такие объ­екты чаще всего встречаются в приложениях. Это обсто­ятельство и привело к необходимости введения сплайнов.

Первые сплайн-функции, предложенные И. Шёнбер­гом (1946), были «склеены» из кусков кубических много­членов. В дальнейшем эта конструкция модифицирова­лась, повышалась степень многочленов, изменялись крае­вые условия, но идея оставалась неизменной.

В дипломной работе приводятся(рассматриваются применение сплайнов при решении задач мат модел…) теоретические сведения: в первой главе теоретические сведения касательно сплайнов, во второй главе рассматривается сплайн-аппроксимации применительно к задаче прогнозирования.

Сплайны хороши тем, что дают возможность получить приближенный аналитический вид функции, при этом степень полинома остается невысокой. К достоинствам сплайн-интерполяции следует отнести высокую скорость обработки вычислительного алгоритма, поскольку сплайн — это кусочно-полиномиальная функция и при интерполяции одновременно обрабатываются данные по небольшим количествам точек измерений, принадлежащих к фрагменту, который рассматривается в данный момент. Интерполированная поверхность описывает пространственную изменчивость различного масштаба и в то же время является гладкой. Последнее обстоятельство делает возможным прямой анализ геометрии и топологии поверхности с использованием аналитических процедур.

Гладкость интерполированной поверхности, что является особенностью, внутренне присущей сплайн-интерполяции, одновременно обусловливает невозможность корректного отображения с помощью сплайнов резких изменений в поверхности-оригинале, является одним из недостатков метода. Недостатком сплайнов является то, что на каждом интервале   функция приближается отдельным полиномом. Таким образом, для всего промежутка   требуется построить  полином. При увеличении степени сплайна повышается точность интерполяции. При этом, однако, увеличивается количество вычислений и порядок полинома.

К недостаткам также следует отнести высокую зависимость точности моделирования поверхности от размещения точек измерений.