Функция. И.Бернулли (1718), л.Эйлер (1734).

Математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция – это "закон", " правило" по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений). Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Часто под термином "функция" понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим.  Долгое время математики задавали аргументы без скобок, например, так – φх. Впервые подобное обозначение использовал швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году. Скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи sin x, lg x и др. Но постепенно использование скобок, f(x), стало общим правилом. И основная заслуга в этом принадлежит Леонарду Эйлеру.

Равенство. Р.Рекорд (1557).

Знак равенства предложил уэльский врач и математик Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего, так как имитировало изображение двух параллельных отрезков. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. До этого в античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно (например est egale). Рене Декарт в XVII веке при записи стал использовать æ (от лат. aequalis), а современный знак равенства он использовал чтобы указать, что коэффициент может быть отрицательным. Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. Символ Рекорда получил распространение далеко не сразу.  Распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В континентальной Европе знак "=" был введён Готфридом Лейбницем только на рубеже XVII–XVIII веков, то есть более чем через 100 лет, после смерти впервые использовавшего его для этого Роберта Рекорда.

Примерно равно, приблизительно равно.  А.Гюнтер (1882).

Знак "≈" ввёл в использование как символ отношения "примерно равно" немецкий математик и физик  Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер в 1882 году.

Больше, меньше. Т.Гарриот (1631).

Эти два знака ввёл в использование английский астроном, математик, этнограф и переводчик Томас Гарриот в 1631 году, до этого использовали слова "больше" и "меньше".

Сравнимость.  К.Гаусс (1801).

Сравнение – соотношение между двумя целыми числами n и m, означающее, что разность n–m этих чисел делится на заданное целое число а, называемое модулем сравнения; пишется: n≡m(mod а) и читается "числа n и m сравнимы по модулю а". Например, 3≡11(mod 4), так как 3–11 делится на 4; числа 3 и 11 сравнимы по модулю 4. Сравнения обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств. Так, слагаемое, находящееся в одной части сравнения можно перенести с обратным знаком в другую часть, а сравнения с одним и тем же модулем можно складывать, вычитать, умножать, обе части сравнения можно умножать на одно и то же число и др. Например, 

3≡9+2(mod 4) и 3–2≡9(mod 4)

– одновременно верные сравнения. А из пары верных сравнений 3≡11(mod 4) и 1≡5(mod 4) следует верность следующих:  

3+1≡11+5(mod 4) 

3–1≡11–5(mod 4)

 3·1≡11·5(mod 4)

 3²≡11²(mod 4) 

3·23≡11·23(mod 4)

В теории чисел рассматриваются методы решения различных сравнений, т.е. методы отыскания целых чисел, удовлетворяющих сравнениям того или иного вида. Cравнения по модулю впервые использовались немецким математиком Карлом Гауссом в его книге «Арифметические исследования» 1801 года. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений.

Тождество.  Б.Риман (1857).

Тождество – равенство двух аналитических выражений, справедливое для любых допустимых значений входящих в него букв. Равенство a+b = b+a справедливо при всех числовых значениях a и b, и поэтому является тождеством. Для записи тождеств в некоторых случаях с 1857 года применяется знак "≡" (читается "тождественно равно"), автором которого в таком использовании, является немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман. Можно записать a+b ≡ b+a. 

 

Перпендикулярность.  П.Эригон (1634).

Перпендикулярность – взаимное расположение двух прямых, плоскостей или прямой и плоскости, при котором указанные фигуры составляют прямой угол. Знак ⊥ для обозначения перпендикулярности ввёл в 1634 году французский математик и астроном Пьер Эригон. Понятие перпендикулярности имеет ряд обобщений, но всем им, как правило, сопутствует знак ⊥.

Параллельность.  У.Оутред (посмертное издание 1677 года).

Параллельность – отношение между некоторыми геометрическими фигурами; например, прямыми. Определяется по-разному в зависимости от различных геометрий; например, в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. Знак параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства (только более протяжённый), но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально ||. В таком виде он появился впервые в посмертном издании работ английского математика Уильяма Оутреда в 1677 году.

 

Пересечение, объединение.  Дж.Пеано (1888).

Пересечение множеств – это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Объединение множеств – множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Пересечением и объединением называются и операции над множествами, ставящие в соответствие некоторым множествам новые по указанным выше правилам. Обозначаются ∩ и ∪, соответственно. Например, если

А={♠ ♣ ♥} и В={♣ ♥ ♦},

то

А∩В={♣ ♥}

А∪В={♠ ♣ ♥ ♦}.

Автором знаков ∩ и ∪ является итальянский математик Джузеппе Пеано. Впервые они были использованы в 1888 году. 

Содержится, содержит.  Э.Шрёдер (1890).

Если А и В – два множества и в А нет элементов, не принадлежащих В, то говорят что А содержится в В. Пишут А⊂В или В⊃А (В содержит А). Например,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♥ ♦}

{♠ ♣ ♥ ♦}⊃{♥ ♦}⊃{♦}

Символы "содержится" и "содержит" появились в 1890 году у немецкого математика логика Эрнста Шрёдера.

Принадлежность.  Дж.Пеано (1895).

Если а – элемент множества А, то пишут а∈А и читают "а принадлежит А". Если а не является элементом множества А, пишут а∉А и читают "а не принадлежит А". Вначале отношения "содержится" и "принадлежит" ("является элементом") не различали, но со временем эти понятия потребовали разграничения. Знак принадлежности ∈ впервые стал использовать итальянский математик Джузеппе Пеано в 1895 году. Символ ∈ происходит от первой буквы греческого слова εστι – быть.

         

Квантор всеобщности, квантор существования.  Г.Генцен (1935), Ч.Пирс (1885).

Квантор – общее название для логических операций, указывающих область истинности какого-либо предиката (математического высказывания). Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 году, в книге немецкого логика, математика и философа Фридриха Людвига Готлоба Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ∃ для квантора существования (читается "существует", "найдётся"), предложенное американским философом, логиком и математиком Чарльзом Пирсом в 1885 году, и ∀ для квантора всеобщности (читается "любой", "каждый", "всякий"), образованное немецким математиком и логиком Герхардом Карлом Эрихом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы английских слов Existence (существование) и Any (любой)). Например, запись

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x₀, |x–x₀|<δ) (|f(x)–A|<ε)

читается так: "для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих неравенству |x–x₀|<δ, выполняется неравенство |f(x)–A|<ε".

 

 

Пустое множество.  Н.Бурбаки (1939).

Множество, не содержащее ни одного элемента. Знак пустого множества был введён в книгах Николя Бурбаки в 1939 году. Бурбаки – коллективный псевдоним группы французских математиков, созданной в 1935 году. Одним из участников группы Бурбаки был Андре Вейль – автор символа Ø.

 

Что и требовалось доказать. Д.Кнут (1978).

В математике под доказательством понимается последовательность рассуждений, построеных на определённых правилах, показывающая, что верно некоторое утверждение. Со времён эпохи Возрождения окончание доказательства обозначалось математиками сокращением "Q.E.D.", от латинского выражения "Quod Erat Demonstrandum" – "Что и требовалось доказать". При создании системы компьютерной вёрстки ΤΕΧ в 1978 году американский профессор информатики Дональд Эдвин Кнут использовал символ: заполненный квадрат, так называемый "символ Халмоша", по имени  американского математика венгерского происхождения Пола Ричарда Халмоша. Сегодня завершение доказательства как правило обозначают Символом Халмоша. В качестве альтернативы используют и другие знаки: пустой квадрат, правый треугольник, // (две косых черты), а также русскую аббревиатуру "ч.т.д.".