Задание №1
Известны данные 10%-го выборочного обследования сдачи ЕГЭ по русскому языку выпускниками школ города в 2007 году (табл. 1.1):
Таблица 1.1
86 |
58 |
28 |
42 |
16 |
61 |
61 |
21 |
30 |
65 |
51 |
33 |
75 |
62 |
97 |
88 |
36 |
10 |
51 |
93 |
60 |
2 |
7 |
64 |
71 |
24 |
33 |
81 |
72 |
15 |
7 |
89 |
16 |
27 |
92 |
95 |
13 |
74 |
78 |
5 |
76 |
95 |
79 |
3 |
43 |
74 |
47 |
69 |
27 |
99 |
55 |
82 |
66 |
56 |
52 |
65 |
95 |
80 |
10 |
57 |
48 |
5 |
84 |
27 |
64 |
1 |
81 |
58 |
65 |
87 |
10 |
70 |
14 |
39 |
39 |
68 |
84 |
55 |
90 |
17 |
91 |
40 |
62 |
91 |
74 |
8 |
51 |
47 |
15 |
35 |
92 |
20 |
50 |
0 |
70 |
38 |
5 |
97 |
64 |
8 |
47 |
11 |
13 |
19 |
52 |
77 |
27 |
54 |
23 |
80 |
76 |
30 |
8 |
71 |
40 |
87 |
98 |
78 |
92 |
92 |
17 |
64 |
50 |
59 |
21 |
54 |
27 |
70 |
73 |
21 |
54 |
50 |
67 |
26 |
59 |
58 |
8 |
31 |
37 |
67 |
72 |
35 |
29 |
59 |
15 |
14 |
98 |
61 |
90 |
51 |
82 |
81 |
98 |
85 |
50 |
44 |
87 |
37 |
89 |
24 |
59 |
66 |
10 |
14 |
67 |
72 |
43 |
95 |
6 |
60 |
58 |
87 |
24 |
21 |
41 |
6 |
7 |
85 |
93 |
33 |
31 |
74 |
53 |
96 |
62 |
52 |
54 |
18 |
58 |
33 |
58 |
53 |
11 |
16 |
35 |
58 |
18 |
54 |
78 |
38 |
Построить интервальный вариационный ряд. Построить гистограмму и кумуляту. Вычислить числовые характеристики вариационного ряда (среднее значение, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс). Определить с вероятностью 0,954 среднюю и предельную ошибку выборка для среднего балла и доли выпускников, имеющих оценку выше 60 баллов.
Решение:
1) Построим интервальный вариационный ряд.
Определим длину интервала:
n = 1 + 3,322∙lgN
n = 1 + 3,322∙lg200 = 9
= 11 баллов
Таблица 1.2
Распределение выпускников школ города по результатам сдачи ЕГЭ
по русскому языку в 2007г.
Группы по результатам сдачи экзаменов, баллы |
Число выпускников, чел. |
Накопленные частоты, чел. |
1 |
2 |
3 |
0 – 11 |
20 |
20 |
11 – 22 |
23 |
43 |
22 – 33 |
16 |
59 |
33 – 44 |
20 |
79 |
44 – 55 |
24 |
103 |
55 – 66 |
29 |
132 |
66 – 77 |
23 |
155 |
77 – 88 |
21 |
176 |
88 – 99 |
24 |
200 |
Итого |
200 |
– |
2) Построим графики полученного ряда распределения.
а) гистограмма распределения.
б) кумулята распределения.
3) Вычислим числовые характеристики вариационного ряда.
а) среднее значение.
Промежуточные расчеты представим в табл.1.3.
Таблица 1.3
Промежуточные расчеты
Группы по результатам сдачи экзаменов, баллы |
Число выпускни-ков, чел.
|
Расчетные показатели |
||||
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 – 11 |
20 |
5,5 |
110,0 |
41980 |
-1923327 |
88117214 |
11 – 22 |
23 |
16,5 |
379,5 |
27878 |
-970570 |
33790408 |
22 – 33 |
16 |
27,5 |
440,0 |
9074 |
-216108 |
5146623 |
33 – 44 |
20 |
38,5 |
770,0 |
3284 |
-42091 |
539392 |
44 – 55 |
24 |
49,5 |
1188,0 |
79 |
-143 |
260 |
55 – 66 |
29 |
60,5 |
1754,5 |
2447 |
22472 |
206402 |
66 – 77 |
23 |
71,5 |
1644,5 |
9371 |
189153 |
3818061 |
77 – 88 |
21 |
82,5 |
1732,5 |
20423 |
636878 |
19861054 |
88 – 99 |
24 |
93,5 |
2244,0 |
42710 |
1801712 |
76005226 |
Итого |
200 |
– |
10263 |
157246 |
-502024 |
227484640 |
=51,3 баллов
Таким образом, средний балл сдачи ЕГЭ по русскому языку выпускниками школ города в выборке, составит 51,3 баллов.
б) дисперсия.
= 786,23
в) среднее квадратическое отклонение.
28,0 баллов
Таким образом, средняя величина колеблемости результатов сдачи ЕГЭ выпускниками школ по русскому языку по среднему квадратическому отклонению составит 28,0 баллов.
г) мода.
= 60,0 баллов
В выборке преобладают выпускники школ города с результатом сдачи ЕГЭ по русскому языку 60,0 баллов.
д) медиана.
Ме =
Ме =
= 53,6 баллов
В выборке 50% выпускников школ города имеют результат сдачи ЕГЭ по русскому языку менее 53,6 баллов, а 50% выпускников – более 53,6 баллов.
е) асимметрия.
= –
2510,1
=
– 0,11
ж) эксцесс.
= 1137423,2
=
– 1,15
4) Определим среднюю и предельную ошибку выборки.
а) для среднего балла.
= t∙
t = 2 при Р = 0,954
=
=
= 1,9 балла
= 2∙1,9 = 3,8 балла
б) для доли выпускников, имеющих оценку выше 60 баллов.
= t∙
=
w =
=
= 0,405
=
= 0,033
= 2∙0,033 = 0,066