2.1.2. Метод определителей

Известно, что .

_{Отсюда где: , , … ,}

Итак, метод определителей заключается в вычислении (n+1)-го определителя (∆, ∆₁, ∆₂, …, ∆_n) для матриц n-го порядка. Если число n велико, то вычисление определителей является трудоемкой задачей.

Более распространенным способом решения системы линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса.

2.1.3. Метод Гаусса

Рассмотрим на простейшем примере известный способ исключения неизвестных при решении систем линейных уравнений.

Дана система:

В общем виде:

Умножим первое уравнение на такой коэффициент , чтобы в обоих уравнениях коэффициент при х₁ стал бы одинаковым

В общем виде .

Теперь вычтем его из второго уравнения, т.е.

-

. В общем виде

-

Мы выполнили операцию исключения неизвестной х₁из второго уравнения с помощью первого. Запишем систему уравнения после этого исключения следующим образом: первое уравнение записываем в исходном виде, второе – в преобразованном

_.

Второе уравнение содержит лишь одно неизвестное, которое легко вычисляется х₂=3. Подставив полученное значение х₂ в первое уравнение, можем вычислить и первое неизвестное х₁.

Проведенные действия и составляют сущность метода Гаусса. Рассмотрим преобразования по методу Гаусса для системы уравнений n-го порядка.

.

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на . При этом во втором уравнении будет обнулен коэффициент при х₁. Затем из третьего уравнения также вычтем первое, умноженное на . Проделав аналогичные преобразования с остальными уравнениями системы, превратим в нуль коэффициенты при x₁ во всех уравнениях, кроме первого. Получим следующую систему:

.

Затем при помощи второго уравнения системы исключим x₂ из третьего, четвертого и т.д. уравнений, обнулив коэффициенты второго столбца ниже

_.

Последовательно продолжая этот процесс, исключим из системы все коэффициенты, лежащие ниже главной диагонали. В результате получим треугольную систему уравнений

_.

Процесс получения треугольной системы называется “прямым ходом” по методу Гаусса и состоит из (n-1) шагов преобразований. Треугольная система легко решается “обратным ходом”. Из последнего уравнения определяется последнее неизвестное . Затем из предпоследнего уравнения постановкой найденного значения х_n определяется х_n-1.

После решения системы уравнений методом Гаусса необходимо делать проверку, подставляя в исходные уравнения найденные значения переменных х_i(i= 1, …, n).

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса все вычисления «прямого хода» можно поместить в следующую таблицу. Рассмотрим таблицу на примере решения системы уравнений третьего порядка.

Уравнения 1), 2) и 3) в таблице составляют искомую треугольную матрицу после “прямого хода”. Коэффициенты а₁₁, , - называются “ведущими” элементами.

№ шага преобразований		х х1	х х2	х х3
		а11	а12	а13	b1	: а11
0	1)	а21	а22	а23	b2
		а31	а32	а33	b3
	2)	1
1						:
			1
2	3)

При “обратном ходе” можно использовать строки таблицы, содержащие единицы, т.е. вспомогательные уравнения. Имеем ,далее

_.

Пример:

№ шага	х1	х2	х3	B
	4	1	2	12	: 4
0	2	8	4	30
	1	2	4	17
	1	0,25	0,5	3	х 2	х 1
1	0	7,5	3	24
	0	1,75	3,5	14
		1	0,4	3,2	х 1,75
2		0	2,8	8,4

_{Треугольная система: или}

Обратный ход: