1.2.3. Уравнения законов Ома и Кирхгофа в матричной форме

Установившиеся режимы в электрической системе описываются законами Ома и Кирхгофа или вытекающими из них уравнениями узловых напряжений и контурных токов.

Составим основные матрицы, для заданного графа электрической сети используемые при расчетах режимов. Будем помнить, что комплексные величины обозначаются точкой сверху.

Вектор-столбец токов в ветвях графа сети: .

Вектор-столбец узловых токов: .

Токи нагрузки в узлах, обозначены на графе сети стрелками, выходящими из узлов, записываются со знаком “-“, а токи генерации, обозначенные стрелками входящими в узлы , записываются со знаком “+“. Последний элемент вектор-столбца, соответствует балансирующему узлу отсутствует.

3. Матрица сопротивлений ветвей графа является диагональной матрицей, если недиагональные элементы равны нулю при отсутствии взаимоиндуктивности между ветвями. Диагональные элементы равны собственным сопротивлениям соответствующих ветвей.

		ветви
Zв=	в е т в и	,	где - комплексное сопротивление i-й ветви (i=1,2,…,6)

Произведение матрицы сопротивлений ветвей Z_b на матрицу токов в ветвях позволяет получить матрицу падений напряжения в сопротивлениях ветвей

Zb∙Ib=

или в общем виде - закон Ома в матричной форме при отсутствии ЭДС в ветвях.

Умножим первую матрицу инциденций М на вектор-столбец токов ветвей и получим

М∙Ib=

.

Первый элемент матрицы произведения есть не что иное как алгебраическая сумма токов, приходящих к первому узлу по ветвям. Эта сумма равна узловому току, т.е. . То же самое справедливо для остальных элементов матрицы произведения. Следовательно, можно записать

- первый закон Кирхгофа в матричной форме.

Умножим вторую матрицу инциденций N на матрицу падений напряжений в ветвях .

Первый элемент матрицы произведения есть не что иное, как сумма падений напряжений при обходе по ветвям первого контура. Мы знаем, что эта сумма при отсутствии ЭДС в ветвях равна 0, т.е. второй элемент матрицы произведения – это - второй закон Кирхгофа для первого контура.

Следовательно, второй закон Кирхгофа в матричной форме

.

1.2.4. “Прямой ” расчет токораспределения в электрической сети

Заключается в том, что составляется система линейных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа и решается любым известным методом:

,число уравнений	.

Расчет называется “прямым”, потому что токи вычисляются без каких-либо предварительных преобразований уравнений первого и второго законов Кирхгофа. “Прямой” способ расчета обычно не применяется, так как не очень сложные предварительные преобразования позволяют получить эквивалентную систему уравнений с меньшим числом уравнений и более однородных по виду, что облегчает численное решение системы. Это достигается при использовании методов узловых напряжений и контурных токов. Отметим, что, как правило, при расчетах время преимущественно расходуется на решение систем уравнений.