4.2. Характеристика задач оптимизации

Целевая функция (1) и функции условий связи (2) могут быть представлены функциями различного вида. В том числе линейными, нелинейными, выпуклыми, кусочно-линейными, кусочно-выпуклыми, с разрывами первого и второго рода и другие. Переменные оптимизационные задачи x_i, могут быть непрерывными и дискретными.

Математическая программа в зависимости от вида целевой функции, функций условий связи, и переменных подразделяется на:

1. Линейное программирование (ЛП).

2. Нелинейное программирование (НП).

3. Выпуклое программирование (ВП).

4. Динамическое программирование.

5. Дискретное программирование.

6. Скоротечное программирование

7. Программирование.

Если все функции математической модели оптимизации задач представлены линейными функциями без исключений, то такая задача относится к задаче линей и программ.

Задачи ЛП решаются, как правило ? методом.

Если хотя бы 1 из функций (1) и (2) является не линейной, то такая задача относится к НП. Нелинейные функции бывают различного вида.

Простейшим способом в заданном НП, не является выпуклое программирования. Для решения задач ВП наиболее часто используется метод Лагранжа.

Виды нелинейных функций.

Математические модели оптимизационных задач бывают настолько сложны по виду функций и переменных, что их нельзя решить известными в математике методами.

Для решения сложных инженерных задач оптимизации идут двумя путями.

1. Упрощают математическую модель реальной задачи до тех пор чтобы ее можно было решить известными способами (например, методом Лагранжа).

2. Придумывают приближенный инженерный метод, позволяющий находить приближенное решение при точной математической модели оптимизационной задачи.

4.3. Оптимальное распределение потоков мощности в электрической сети

1. Найти оптимальные потоки активной мощности в заданной электрической сети соответствует min потерь активной мощности сети.

2. Исходные данные:

Определить: .

3. Математическая формулировка задачи: Найти .

;

;

(1)

Целевая функция, которая представляется, суммой функции одинакового вида, называется, сепаративной.

Обычно в наших задачах мы имеем дело с сепаративными функциями.

;

Найти .

При соблюдении условий связи в виде уравнений 1-ого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2

,

m=2 – число условий связи

(2)

4. Решение задачи оптимизации (1)-(2).

Нахождение минимума выпуклой функции цепи (1) при соблюдении условий связи (2) обычно выполняется с помощью метода Лагранжа. Суть метода заключается в следующем: оптимизационная задача (1)-(2) заменяется на эквивалентную оптимизационную задачу, но состоящую из 1-ой целевой функции Лагранжа, которая строится следующим образом:

(3)

Получилась выпуклая функция Лагранжа, для которой известен в математике способ определения ее минимума: тангенс угла наклона касательной к точке минимума функции равно 0 (произведение в точке минимума равно 0).

Составляем систему частных производных функции по всем переменным

,	где - не определенный множитель Лагранжа (дополнительная переменная в задаче)

Решим полученную систему линейных уравнений частных производных любым известным методом, найдем искомое оптимальное значение потоков мощности и ненужные нам значения и .

Для данной конкретной задачи рассмотрим систему уравнений частных производных, она состоит из двух подсистем:

.

Выразим из уравнений первой подсистемы потоки мощности

(4)

Подставим выражение (4) для потоков мощности в уравнения второй подсистемы и после несложных преобразований получим следующую систему линей и уравнений в матричном виде

		·		=		(5)

.

Перепишем систему уравнений (5) в следующем виде:

			·		=		(6)

или			·		=		, где	(7)

Решим систему из двух линейных уравнений и найдем значения , . Подставим найденные значения , в выражение (4) и вычислим исходное оптимальное значение потоков , которые соответствуют минимуму потерь мощности в электрической сети.

.

Нашли оптимальное потокораспределение в электрической сети, которое соответствует минимум потерь мощности в сети 1 и удовлетворяет условиям связи 2.

Поверку можно выполнить двумя способами:

1 способ.

;

.

Проверка: 1 способ.

;

;

;

.

2 способ.