1.1.4. Действия с матрицами

1. Сумма и разность матриц.

Могут складываться и вычитаться матрицы только одинакового типа

;

.

Из сложения матриц вытекают следующие свойства:

;

;

.

2. Умножение матрицы на скаляр , каждый элемент _.

Отсюда: 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

3. Умножение матрицы на матрицу .

; .

Перемножать матрицы можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т.е. , а число строк первой матрицы и число столбцов второй матрицы могут быть любые, т.е. m≠n. Результатом будет матрица С размерностью mn, элементы которой

.

Для вычисления элемента, стоящего в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

Свойства:

1. в общем случае _{, так как не всегда q=p}

2. ;

3. ;

4. .

Пример:

;

В тех частных случаях, когда А∙В=В∙А, матрицы А и В называются перестановочными. Например, единичная матрица Е перестановочна с любой матрицей А того же порядка.

А∙Е=Е∙А=А.

Единичная матрица Е играет роль единицы в матричной алгебре при умножении.

1.1.5. Транспонированная матрица

Если в матрице строки и столбцы поменять местами, то получим транспонированную матрицу

_.

Свойства:

1. дважды транспонированная матрица равна исходной:

2. ;

3. , т.е. ;

4. Если , то матрица - симметричная ( ).

1.1.6. Обратная матрица

Обратной матрицей по отношению к данной квадратной, называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу. Обозначим для матрица А обратную ей матрицу через А^-1.

.

Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

Квадратная матрица называется неособенной, если ее определитель не равен нулю, в противном случае матрица называется особенной или сингулярной. Обратная матрица имеется только у неособенной матрицы.

Пусть имеем матричное равенство .

Умножим правую и левую часть равенства на обратную матрицу А^-1

.

Поскольку известно, что , то .

И поскольку известно, что , то .

То есть, мы равенство преобразовали в равенство , выразив матрицу .

Если бы у нас были простые алгебраические числа и то аналогичные преобразования были бы следующие: .

Сравнив преобразования для алгебраических чисел и матриц видим, что обращение матрицы соответствует действию деления. Поэтому понятна необходимость в обратной матрице, в ее вычислениях.

1.1.7. Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Вычисление detA;

2. Транспонирование матрицы ;

3. Определение алгебраических дополнений А_ji, где j=1, N и i=1, N;

4. Составление союзной матрицы ;

5. Вычисление обратной матрицы

;

6. Проверка .

Существуют другие, более удобные способы вычисления обратной матрицы, например, методом Жордана – Гаусса, с которым познакомимся позднее.

Пример: найти обратную матрицу для матрицы третьего порядка.

;

.

Основные свойства обратной матрицы

1. Учитывая, что det(A∙B)=detA∙detB, можем записать detA^-1∙detA=detE=1.

Отсюда .

2.

3. .