2.1.9. Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет модификацию метода простой итерации. Идея состоит в том, что на каждой к-й итерации при вычислении значения переменной используются значения переменных , . . . . , , уже подсчитанных на этой же к-й итерации.

Пример:

Приведем к виду удобному для итерации

Зададимся исходным приближением и ε = 0,001.

Делаем первую итерацию по методу Зейделя

;

;

и т.д.

Занесем результаты расчетов в таблицу

№ итерации (к)
0	0	0	0
1	1,2	1,06	0,948
2	0,9992	1,00548	0,9991
3	0,9996	1,0002	1,0000
4	1,0000	1,0000	1,0000

Метод Зейделя, имеет, как правило, лучшую сходимость, чем метод простой итерации. И сходится в ряде случаев даже тогда, когда метод простой итерации не обеспечивает сходимость. Но (значительно реже) бывает и наоборот.

Преимущества и недостатки итерационных методов

Преимущества:

1. имеют простую вычислительную процедуру;

2. не требуют сложных специальных процедур для экономии памяти ЭВМ под нулевые элементы матрицы коэффициентов, как метод Гаусса;

3. самоисправление ошибок.

Недостатки:

1. не всегда могут решить систему уравнений (требуется выполнение условий сходимости)

2. сходимость итерационных процессов может быть медленной;

3. корни системы могут быть определены только приближенно с точностью ε.

2.2. Методы решения систем нелинейных уравнений

2.2.1. Понятие о системах нелинейных уравнений и методах их решения

Для примера приведем нелинейные уравнения балансов мощностей в узлах электрической сети, составленных по методу узловых напряжений (без вывода).

Р_гiи Q_гi- активная и реактивная мощности, генерируемые в i-м узле;

Р_нiи Q_нi- активная и реактивная мощности нагрузки в i-м узле;

Р_уiи Q_уi - активные и реактивные потоки мощности из узла j к узлу j.

Уравнения балансов активных и реактивных мощностей в узле i

;

,

где означает, что узел j‚ принадлежит множеству всех узлов, которые связаны с узлом i.

Формулы для потоков активной и реактивной мощностей от узла к узлу j следующие:

Применяются две системы координат, в которых могут проводиться расчеты:

1. прямоугольная система координат (в комплексном виде);

2. полярная система координат (через тригонометрические функции).

В полярной системе координат выражения для потоков мощности имеют следующий вид:

где:	; ; Y – заданные проходимости схемы замещения системы; P, Q, U, - параметры режима, часть из них известна (обычно это мощности нагрузок в узлах, напряжение и угол в базисном узле), остальные являются искомыми переменными, которые следует определить в результате расчета.

Подчеркнем, что нелинейность в уравнениях выражается как наличием в них степеней второго порядка, так и наличием тригонометрических функций.

Для решения систем нелинейных уравнений используются только итерационные методы, в том числе могут использоваться методы простой итерации и Зейделя при условии их сходимости.

Пример:

Дана система нелинейных уравнений

Приведем к виду удобному для итерации

;

Результаты расчетов обоими методами сведем в таблицу (ε=0,001)

Метод простой итерации				Метод Зейделя
№ итерации	х1	х2		№ итерации	х1	х2
0	0	0		0	0	0
1	0,4	-0,375		1	0,4	-0,425
2	0,355	-0,425		2	0,3422	-0,412
3	0,3422	-0,415		3	0,3457	-0,41235
4	0,345	-0,412		4	0,3456
5	0,3457	-0,4122

Нелинейные уравнения, составленные для расчетов режимов, обычно сложнее чем в приведенном примере и их не всегда можно решить этими методами. Гораздо лучшую сходимость для решения нелинейных уравнений и вследствие этого большее применение имеет метод Ньютона. Но этот метод имеет более сложную вычислительную процедуру.

Метод Ньютона /2/ (называемый также методом линеаризации или методом касательных) применяется для решения системы нелинейных уравнений. Он эффективен, если известно достаточно хорошее приближение к корням системы нелинейных уравнений.