Вопрос 5 (3 балла)
При измерениях длин катетов прямоугольного треугольника получены результаты соответственно 3 и 4 м. Известно, что в этих измерениях абсолютная погрешность измерений длины не превышает 1 мм. Оцените длину гипотенузы и границы погрешности полученного результата.
Ответ на вопрос 5
В соответствии с теоремой Пифагора
м,
где
м,
м – длины катетов прямоугольного
треугольника.
Пределы погрешности могут быть оценены из формулы:
,
где
мм – пределы допускаемой погрешности
измерений длин катетов прямоугольного
треугольника.
Учитывая, что
,
,
получим:
мм
Т.о., длина гипотенузы составляет 5 м при границах погрешности ± 1,4 мм.
Вопрос 6 (4 балла)
Оцените длину третьей стороны треугольника и границы погрешности полученного результата, если при измерениях длин двух других сторон треугольника получены результаты соответственно 3 и 4 м, а при измерениях угла между ними получен результат 89°. Известно, что в этих измерениях абсолютная погрешность измерений длины не превышает 1 мм, а абсолютная погрешность измерений угла не превышает 1°.
Ответ на вопрос 6
Длину третьей стороны треугольника определим из формулы:
м,
где
м,
м – длины сторон треугольника,
º.
Пределы погрешности могут быть оценены из формулы:
,
где
мм – пределы допускаемой погрешности
измерений длин сторон треугольника,
º
– пределы допускаемой погрешности
измерений угла между сторонами
треугольника.
Учитывая, что
,
,
,
получим:
мм.
Т.о., длина третьей стороны составляет 4,958 м при границах погрешности ± 1,4 мм.
Вопрос 7 (4 балла)
Под большим кругом сферы понимают круг, полученный при сечении сферы плоскостью, проходящей через её центр. При измерениях длины окружности большого круга сферы получен результат 1 м с абсолютной погрешностью, не превышающей 1 мм. Оцените объём сферы и границы погрешности полученного результата.
Ответ на вопрос 7
Объём сферы вычисляется по формуле
,
где
– радиус сферы.
Учитывая, что длина окружности большого круга сферы вычисляется по формуле:
,
откуда
,
После подстановки в формулу объёма сферы, получим
м3
Пределы погрешности могут быть оценены из формулы:
,
где
мм – пределы допускаемой погрешности
измерений длины окружности большого
круга сферы.
Учитывая, что
м2,
,
получим:
м3.
Т.о., объем сферы составляет
м3 при границах погрешности ±
0,00005 м3.
Вопрос 8 (4 балла)
При многократных прямых измерениях длины с помощью лазерного дальномера получены значения: 180,1; 179,8; 178,0; 179,9; 180,0; 179,9. Проверьте результаты измерений на промахи. Если есть промахи, исключите их. Запишите результат измерений в виде доверительных границ с вероятностью P = 0,95.
Ответ на вопрос 8
Выборочное среднее результатов наблюдений:
Выборочное стандартное отклонение результатов наблюдений:
Проверку на промахи проведем в соответствии с критерием Граббса, вычислив статистику Граббса:
Следовательно, значение 178,0 является промахом. Исключив его, получим Выборочное стандартное отклонение результатов наблюдений:
Выборочное стандартное отклонение результатов наблюдений:
Выборочное стандартное отклонение среднего:
Доверительные границы погрешности результата измерений с доверительной вероятностью 0,95:
