3. Частные уравнения регрессии

На основе линейного уравнения регрессии y=a+b₁x₁+b₂x₂+…+b_px_p+Е могут быть найдены частные уравнения регрессии. Их будет столько, сколько переменных. Частные уравнения регрессии – это уравнения, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами х, при закреплении других факторов на среднем уровне. При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов, уравнения принимают вид парных уравнений линейной регрессии, то есть имеем:

где

В отличие от парной регрессии, частное уравнение характеризует изолированное влияние фактора на результат. На основе частных уравнений регрессии определяю частные коэффициенты эластичности.

, где - коэффициенты регрессии для фактора в уравнении множественной регрессии. - частное уравнение регрессии.

4. Множественная корреляция.

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции R и его квадрата R². Показатель множественной корреляции оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат. Показатель множественной корреляции R находят как индекс множественной корреляции:

- общая дисперсия результативного признака

- остаточная дисперсия

R принадлежит отрезку [0,1]. Чем ближе R к 1, тем теснее связь результирующего признака со всем набором исходных факторов.

При правильном включении в модель факторов величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Сравнивая индексы множественной парной корреляции, делают вывод о целесообразности включения в уравнение того или иного фактора.

При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции выглядит так: ,

- стандартизованные коэффициенты регрессии

- парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором

Эта формула называется линейный коэффициент множественной корреляции (совокупный коэффициент корреляции). Его можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции

- определитель матрицы межфакторной корреляции

Пример: для линейной множественной регрессии имеем:

получается из определителя вычёркиванием первого столбца и первой строки.

Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту не только при множественной зависимости, но и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным и не равен совокупному коэффициенту корреляции для криволинейной зависимости, нелинейной по оцениваемым параметрам.

Индекс детерминации – R² – для нелинейных по оцениваемым параметрам функций принято называть квази- R². Для его определения по формулам используются преобразования: логарифмирование и потенцирование, то есть сначала необходимо найти теоретические значения (ln y - теоретич), а затем транспонировать их через антилогарифмы ( ). И далее находят квази- R², пользуясь формулой

Величина квази- R² не совпадает с совокупным коэффициентом корреляции.

Чтобы не допустить возможного преувеличения тесноты связи, используют скорректированный индекс множественной корреляции. Он содержит поправку на число степеней свободы и вычисляется по формуле:

;

m – число параметров при переменной х.

n – число наблюдений.

Так как , то скорректированный индекс равен:

Чем больше m, тем больше различие между и .

Низкое значение коэффициента множественной корреляции означает, что в модель не внесены существенные факторы и модель не отражает реальное соотношение между переменными включёнными в модель, следовательно требуется улучшение качества модели.