14. Выбор точности отсчетов по теореме Котельникова. Квантование по уровню.

Выбор точности отсчетов по теореме Котельникова

Эта фундаментальная теорема показывает, что, если рассматриваемый сигнал ограничен некоторой частотой F сверху, то он может быть дискретизирован, то есть представлен дискретными измерениями с шагом во времени 2/F (полупериод граничной частоты), при этом дискретные измерения через 2/F несут без потерь всю информацию о сигнале.

В западной литературе совершенно бессовестно, в угоду принижения достижений СССР и России, а также в угоду прославления непричастных, но своих, ложно указывается, что данная теорема доказана, якобы, Шенноном и Найквистом. Когда же невозможно назвать ее ложным именем "теорема Найквиста - Шеннона", например, в русскоязычной литературе, то ее "скромно" называют "теоремой отсчетов".

Совершенно непонятна позиция некоторый российских писателей и лекторов, которые называют ее теоремой Шеннона - Котельникова. Из компромиса? - Разве может быть компромис между истиной и ложью?

На самом деле в 1933 году, когда эта теорема была опубликована В.А. Котельниковым в его работе "О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи", Шеннону было 17 лет. В тот год Клод Шеннон (1916 г.р.) только окончил среднюю школу и поступил работать курьером-разносчиком в один из офисов в своем городе, а о теории информации еще слухом не слыхивал.

В трудах Найквиста до сих пор не найдено доказательство этой теоремы, но лишь рассуждения вокруг этой темы. Однако рассуждения на тему и доказательство теоремы - разные вещи.

Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации с использованием модели сигнала с ограниченным спектром сформулировано, доказано и опубликовано в 1933 году В. А. Котельниковым: «Любая непрерывная функция s(t), спектр которой ограничен частотой F_max полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал   » Кроме того, теорема Котельникова дает и способ точного восстановления сигнала    по его отсчетам.

Доказательство

  причем    при           (1)

Разложим функцию    в частотной области на конечном интервале    (с периодом   ) в комплексный ряд Фурье :

 где                                                                (2)

                                                       (3)

Сравнивая интегралы в (3) и (1), видно, что они равны при   , т. е.    тогда

                                                                             (4)

Подставляем (4) в (2), а затем в (1)

  

т. к. суммирование по от -¥ до +¥, то можно заменить знак у .

                                  (5)

Максимальные значения членов ряда будут при    и равны   , при этом все остальные члены ряда равны нулю, т. е. при     функция s(t) точно передается рядом. Во все другие моменты времени необходимо суммировать бесконечное число отсчетов, чтобы передать s(t) точно.

Квантование по уровню

В непрерывных автоматических системах, изучавшихся в курсе "Основы ТАУ", сигналы, поступающие на входы и выходы элементов САУ, являются, как правило, непрерывными функция­ми времени. Однако во многих случаях оказывается выгодным пе­реход от непрерывного к дискретному способу представления и преобразования информации. Этот переход осуществляется дискре­тизацией непрерывного сигнала, т.е. заменой непрерывной функ­ций f(t) дискретными значениями f₁ ,f₂,...,f_n, .. . Дискрети­зация (квантование) непрерывного сигнала может осуществлять­ся по времени, по уровню или и по времени и по уровню. Дискретизация сигнала по времени состоит в замене не­прерывного сигнала (рис.1,а) дискретными значениями, взяты­ми в определенные, заранее заданные моменты времени. Обычно эти момента времени равноудалены друг от друга на величи­ну Т , которая называется интервалом квантования или перио­дом дискретности (рис.1,б). В этом случае последователь­ность  {f_n}, n=1,2,3... , определяется формулой Р ис.1 Дискретизация по уровню предполагает замену непрерывно­го сигнала числовой последовательностью f₁ , f₂,.., f_n,..., эле­менты которой могут принимать лишь заранее определенные , обычно равноотстоящие друг от друга значения (рис.1, в). Моменты времени, в которые происходит смена уровней, определяются видом непрерывного сигнала f(t) и заранее неизвестны. Дискретизация и по времени и по уровню совмещает в себе изложенные выше два способа формирования последовательности {f_n},n=1,2.. . При этом непрерывный сигнал заменяется дискретной последовательностью {f_n}, n=1,2… взятой в заранее заданные моменты времени, и каждый элемент этой по­следовательности округляется до ближайшего к нему значения уровня из числа разрешенных (рис.1,г). Обычно применяют следующую классификацию дискретных систем: - импульсные системы, в которых осуществляется дискрети­зация хотя бы одной из переменных системы по времени; - релейные системы, в которых осуществляется дискретиза­ция по уровню; - цифровые системы, в которых осуществляется дискретиза­ция сигналов и по времени и по уровню. Из приведенных трех типов дискретных систем релейные САУ обычно рассматриваются как непрерывные системы с разрывной нелинейностью. В данном курсе ограничимся изучением импуль­сных и цифровых систем, особенности динамики которых опреде­ляются дискретизацией по времени. ^