
- •В.М. Дуплякин контролируемая самостоятельная работа № 2
- •Методические указания студентам дневной формы обучения
- •Постановка задачи линейного программирования
- •1. Методика решения
- •2. Пример выполнения кср-2
- •Рекомендуемая литература
- •Приложения
- •Высшая математика контрольная работа № 1
- •Высшая математика контрольная работа № 2 Специальность: менеджмент
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Российский государственный университет туризма и сервиса
Филиал, г. Самара
В.М. Дуплякин контролируемая самостоятельная работа № 2
ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Методические указания студентам дневной формы обучения
Самара - 2014
КСР №2
Линейное программирование
Постановка задачи: Коммерческая фирма планирует закупку товаров двух видов с целью получения при последующей их реализации максимального объёма денежных поступлений. Каждая единица товара оформляется индивидуально.
Исходные данные для отдельной единицы товара:
продажная
цена одной единицы первого и второго
товара,
ус.ед.;
складская
площадь для хранения единицы первого
и второго
товара, м2;
трудоёмкость
оформления одной единицы первого и
второго
товара,
ус.ед.
Объём закупок имеет ограничения:
1.
Общая площадь складского помещения для
хранения товара
.
2.
Общая трудоёмкость оформления покупки,
доставки, складирования и предпродажной
подготовки
.
Требуется определить:
1.
Оптимальное число единиц каждого товара:
.
2.
Направление получения наибольшего
объёма денежных поступлений в координатах
.
3.
Максимальный объём денежных поступлений
от продажи всех закупленных товаров:
.
4.
Максимальное возможное число единиц
каждого товара при их раздельной продаже:
.
5.
Объёмы денежных поступлений при торговле
отдельно каждого из товаров:
.
6. Для оптимального набора товаров следует проверить использование склада и трудовых ресурсов.
Решение выполняется графически и аналитически.
Постановка задачи линейного программирования
Целевая
функция –
суммарная выручка от продажи закупленных
товаров
.
Критерий
оптимизации
– максимизация выручки
.
Рабочие
переменные
– число единиц закупаемых товаров
.
Ограничения :
1. Методика решения
Рассматриваемая задача относится к простейшим задачам линейного программирования.
Поскольку
в этой задаче только две независимые
переменные
, то она допускает наглядную геометрическую
интерпретацию. В данной работе эту
задачу необходимо решить и графически
и аналитически.
Сначала на графике с координатами построим, как это показано, например, на рис. 1 , линию ограничений по объёму складских помещений АВ, которая описывается уравнением
(1)
Затем построим линию ограничений по трудоёмкости оформления, складирования и предпродажной подготовки товаров CD, которая задаётся уравнением
(2)
Областью возможных решений задачи для исходных данных соответствующих ограничениям представленным на рис. 1 является внутренняя часть многоугольника ОСРВ. Оптимальные решения могут находиться в точках С, Р, В.
Рис. 1. Иллюстрация решения задачи линейного программирования
Абсцисса
точки В
представляет собой максимально возможное
при данных ограничениях количество
первого товара
.
Очевидно, что для данного товара
определяющим будет ограничение по
площадям складирования. Объём денежных
поступлений от продажи максимально
возможной партии первого товара
определяется по формуле
Ордината
точки С
представляет собой максимально возможное
при данных ограничениях количество
второго товара
.
Для этого товара определяющим будет
ограничение по трудоёмкости его
оформления. Объём денежных поступлений
от продажи максимально возможной партии
второго товара определяется по формуле
Решение системы уравнений (1) и (2) даёт координаты точки Р, которая является точкой одновременного и полного исчерпания ограничений по складским площадям и по трудовым ресурсам. Координаты точки Р необходимо получить аналитически, а графическое решение использовать как средство иллюстрации и контроля.
Далее необходимо выяснить какая из рассмотренных точек на границе области возможных значений является решением данной задачи. Дело в том, что при сочетании исходных данных приводящем к более крутому наклону линии АВ по сравнению с наклоном линии CD, как это показано на рис. 1, оптимальным решением могут быть точки Р, С или D. В других случаях это могут быть точки Р, А или В.
Оптимальным
будет то решение, которое находится
дальше от начала координат
,
если это расстояние откладывается в
направлении наибольшего возрастания
целевой функции, которой в данном случае
является функция, описывающая объём
денежных поступлений при полной продаже
закупленных товаров
где число единиц каждого из двух видов продаваемых товаров.
Градиент
функции объёма денежных поступлений
,
т.е. направление наибольшего роста суммы
денежных поступлений определяется как
В нашем случае (линейная зависимость денежных поступлений от объёма продаж) имеем
Построим
на рис. 1 линию наибольшего изменения
объёма денежных поступлений от объёмов
проданных товаров
.
Для построения линии в направлении
градиента отложим на координатных осях
проекции
и найдём графически их геометрическую
сумму, как показано на рис. 1.
Оптимальным
будет решение, которое имеет наибольшую
по длине проекцию на направление
градиента. В случае, представленном на
рисунке 1 это будет точка Р
с координатами
.
Соответствующий объём денежных поступлений определим по формуле
где
округленные до целых значений координаты
.
Полученное решение следует сопоставить с объёмами поступлений от продажи максимально возможного количества товаров каждого вида.