4. Экспоненциальное распределение, его фр, пр, математическое ожидание и дисперсия.

5. Нормальное распределение, его фр, пр, математическое ожидание и дисперсия. Распределение суммы нормальных св.

Наиболее распространенным является нормальное распределение, задаваемое своей ПР

6. Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема

Первый вариант этой теоремы был доказан в 1912 г. А.М.Ляпуновым. В настоящее время имеется несколько формулировок этой теоремы, различающихся условиями, которые накладываются на случайные величины. Мы приведём простейший вариант центральной предельной теоремы для одинаково распределённых независимых случайных величин.

Пусть   последовательность одинаково распре­делённых случайных величин с математическими ожиданиями   и дисперсиями  .

ТЕОРЕМА. Если случайные величины   независимы и  , то при достаточно большом n закон распределения суммы   будет сколь угодно близок к нормальному закону распределения  .

Так как в условиях теоремы случайные величины независимы, то

т.е. в условиях теоремы сумма   имеет закон распределения близкий к  .Так' как  na и   с ростом п, возрастают, то удобнее рассматривать не просто суммы  , а нормированные суммы  . Такие суммы при   имеют закон распределения  .

Мы не приводим доказательства теоремы потому, что оно требует введения многих дополнительных понятий и утверждений. Было потрачено немало усилий, чтобы ослабить условия, налагаемые на случайные величины в центральной предельной теореме. В частности, оказалось, что утверждение теоремы остаётся в силе и для слабо зави­симых случайных величин. Как уже отмечалось, существует много вариантов и соответственно формулировок центральной предельной теоремы, но во всех этих вариантах суть условий одна: Если случайная величина может быть представлена в виде суммы большого числа независимых (или слабо зави­симых) случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с суммой, то эта сумма имеет закон распределения близкий к нормальному.

7. Мода, квантиль, медиана

Мода – наиболее вероятное среди окружающих значение случайной величины (СВ).

Дискретные величины: наиболее вероятное значение находим путем сравнения вероятностей соседних значений СВ Непрерывные величины: значение, в которой плотность – локальный максимум.

СВ может иметь несколько мод: Распределение с единственной модой – унимодальное.

с несколькими – мультимодальное.

Квантиль – характеристика СВ, характеризующая её значения.(короче, х)

α-квантилью (или 100 α%-квантилью) распределения называется число c_α , такое что P{X≤ c_α}=α

Медиана – число, которое делит значение СВ на 2 равные части.

Медиана – 0,5-квантиль

P{X≤ c_0,5}= P{X> c_0,5}=0,5.

Квантиль порядка 0,25 и 0,75 – нижняя c_0,25 и верхняя c_0,75 квартиль распределения.