Теоретическое обоснование

Частотные методы основаны на привычном для инженеров графическом изображении динамических характеристик, которые можно снять экспериментально, поэтому они находят широкое применение. В частности, зная АФЧХ разомкнутой САУ W_p(j ), можно построить АФЧХ замкнутой САУ

Wз(j ) = = P_з( ) + jQ_з( ),

 а по ней - требуемую для частотных методов вещественную ЧХ замкнутой САУ P_з( ). Зная ВЧХ замкнутой САУ, можно приближенно построить переходную характеристику САУ h(t), которую снять экспериментально очень трудно, и по ней определить показатели качества управления.

Теоретическое обоснование этого в том, что любую функцию, в том числе и единичную ступенчатую, можно разложить в ряд Фурье:

1(t) = A₀ + A_k1cos(k t) + A_k2sin(k t)].

Так как замкнутая САУ линейна, то при подаче на вход суммы сигналов с выхода снимается сигнал, равный сумме реакций на каждый из входных сигналов. Входному сигналу ui(wi,t) на выходе будет соответствовать составляющая выходного сигнала y_i( _i,t) = W(j _i) u_i( _i,t), тогда

h(t) = = A₀W(0) + (jkw) [A_k1cos(kwt) + A_k2sin(kwt)].

  Преобразование этого выражения приводит к двум равнозначным формулам определения h(t) через составляющие ВЧХ:

  ; ,

 где P( ) и Q( ) - вещественная и мнимая части АФЧХ замкнутой САУ. Предпочтение обычно оказывают первой формуле, хотя с одинаковым успехом можно использовать и вторую.

Точно вычислить эти интегралы можно только с помощью ЭВМ, но в практике нашел широкое применение приближенный способ построения переходной характеристики на основе линейной аппроксимации ВЧХ замкнутой САУ, который называется метод трапеций. Прежде, чем рассматривать этот метод, рассмотрим без доказательства основные соотношения между ВЧХ замкнутой САУ и ее переходной характеристикой.

Основные соотношения между вчх и переходной характеристикой

1. Начальное значение ВЧХ P(0) равно установившемуся значению переходной характеристики hу_ст = P( ) = P(0).

 

2.  САУ с вогнутой ВЧХ (рис.109 а кривая 1) не имеет перерегулирования, то есть ей соответствует монотонная переходная характеристика (рис. 109 б кривая 1).

3.  САУ с трапециидальной ВЧХ (рис.109 а кривая 2, такую ВЧХ можно аппроксимировать трапецией) имеет апериодическую переходную характеристику (рис. 109 б кривая 2), причем величина перерегулирования s_max не превышает 18%.

4. Кривые 3 и 4 на рис. 109 а соответствуют колебательной переходной характеристике (рис. 109 б кривая 3). Величина перерегулирования s_max тем больше, чем больше отношение P( )_max/P(0). Если это отношение стремится к бесконечности, то есть имеет место разрыв ВЧХ, то переходная характеристика приобретает вид незатухающих колебаний и САУ переходит на границу устойчивости. Величину перерегулирования можно приблизительно вычислить исходя из соотношения

  s_max < .

 Наличие отрицательного экстремума у ВЧХ (кривая 4) свидетельствует о повышенной колебательности системы.

5.  Время переходного процесса t_пп можно оценить приблизительно по виду ВЧХ без построения кривой h(t). Оно определяется полосой частот w_п, при которых P( ) > 0.2P(0) (рис. 110). _п называют интервалом положительности P( ). При этом всегда t_пп >p/ _п. Для кривой 1 рис.109 а: t_пп 4 / _п. Для кривой 2: t_пп (1..4)4 / _п. Для кривых 3 и 4 коэффициент пропорциональности больше, причем он тем больше, чем больше отношение P( )_max/P(0).