5. Относительная частота появления случайного события и ее вычисление

Относительной частотой появления случайного события   называется отношение числа    появлений события   в   испытаниях к общему числу проведенных испытаний:

.

Очевидно,  , для достоверного события  , для невозможного события  , для несовместных событий   и   верно следующее:

.

Пример. Проиллюстрируем последнее утверждение. Пусть из колоды в 36 карт вынимают карты. Пусть событие   означает появление бубей, событие    означает появление червей, а событие   - появление карты красной масти. Очевидно, события   и   несовместны. При появлении красной масти ставим метку возле события  , при появлении бубей – возле события  , а при появлении червей – возле события  . Очевидно, что метка возле события   будет поставлена тогда и только тогда, когда будет поставлена метка возле события   или возле события  , т.е.  .

 Назовем вероятностью случайного события   число, сопоставленное событию   по следующему правилу:

Для несовместных событий   и   

Итак,

Относительная частота	Вероятность
,	,

 

 

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа.  Это свойство называется свойством устойчивости относительной частоты. Число, около которого группируются относительные частоты появления события при проведении большой сери опытов,   может быть принято за вероятность события.  Такой способ определения вероятности события называется статистическим определением вероятности.

Например, Дж. Керрих, находясь в лагере во время второй мировой войны, провел 10 серий по 1000 опытов в каждой по бросанию монетки. Относительная частота выпадений герба была следующей:

,

что еще раз подтверждает, что вероятность выпадения герба при одном бросании монетки -  .

            Кроме того, известно, что   .

Таким образом, статистическое определение вероятности лучше всех других отражает сущность понятия вероятности случайного события, однако, отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

 

6. Теорема сложения вероятностей и ее следствия

                                  

            Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:

.

            Доказательство. Очевидно:

;

Тогда

.

Поскольку события   и   несовместны, то по аксиоме  :

.

События   и   несовместны, и по аксиоме  :

.

События  и   несовместны, по  аксиоме  :

.

Итак,

            Следствие 1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых:

            Следствие 2: Верно следующее обобщение формулы для  слагаемых:

- формула включений и исключений.

 

            Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

 

Условная вероятность

           

            Наступление события   может повлиять на вероятность появления события  . Для учета таких случаев вводится понятие условной вероятности события  .

Определение. Вероятность события  , вычисленная при условии, что имело место событие  , называется условной вероятностью события    и обозначается

.

            Пример. Пусть событие   - означает, что при бросании двух кубиков на первом выпала 1, а событие   - означает, что сумма очков, выпавших на двух костях больше 5.  Найти вероятность  .

            Решение. Если на первом кубике выпала 1, то возможными исходами опыта являются исходы  . Событию   при этом благоприятствуют исходы  , т.е. два из 6, значит,