1.5 Понятие многократного измерения. Алгоритмы обработки многократных измерений

Многократные измерения проводятся, как правило, для умень­шения влияния случайных погрешностей. Результат каждого изме­рения при этом дает оценку измеряемой величины.

Результат наблюдения отличается от истинного значения изме­ряемой величины из-за наличия случайной Δ и систематической Δ_c составляющих погрешности

(1.5)

систематическая погрешность результата измерений извест­на, то вводят поправки

, (1.6)

. (1.7)

Таким образом, задача сводится к установлению оценки . Если результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, то, как уже отмечалось, оптимальной оценкой распределения является среднее арифметическое X,мм, результатов измерений

(1.8)

где x_i действительный размер i,–ой детали ,мм;

n-число деталей в партии.

В общем случае алгоритм обработки результатов измерений сво­дится к следующему.

Исключают из результатов наблюдений известные системати­ческие погрешности. Если известно, что все результаты наблюде­ний имеют одинаковую систематическую погрешность, ее исключа­ют из результата измерений.

Если есть подозрение о наличии грубых погрешностей, то их исключают из результатов измерения.

Вычисляют среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений.

Вычисляют оценку среднего квадратичного отклонения ,мм, результата измерений по формуле

(1.9)

Определяют принадлежность результатов измерений нормальному распределению.

При числе результатов измерений n > 50 для проверки этой гипотезы используют критерии ω² или χ².

Если 15 <n < 50, то используют составной критерий (ГОСТ 8.207—76).

При n≤15 гипотеза о нормальности распределения не проверяется. В этом случае предполагается, что вид закона распределения известен заранее. Обработка результатов измерения при n>15.

Проверка гипотезы с помощью критерия χ².

Определяют наименьшее x_min и наибольшее x_max значения результатов измерений.

Определяют размах варьирования R, мм, по формуле

(1.9)

Определяют количество интервалов r, на которое следует разбивать совокупность результатов измерений по формуле

, (1.10)

где -N число деталей в партии.

Определяется цена деления интервала с

. (1.11)

Цена деления с должна быть больше цены деления прибора, с помощью которого производились измерения.

Данные измерений группируют по интервалам и подсчитывают частоты m_i. Если в некоторые интервалы попадает меньше пяти наблюдений, то такие интерва­лы объединяют с соседними интервалами.

Для каждого интервала определяется вспомогательная величина t, по формуле

. (1.12)

Определяется плотность нормированного распределения по формуле

, (1.13)

или по таблицам нормативного нормального распределения.

Определяют теоретическую частоту m_mi в середине каждого интервала по формуле

(1.14)

Для каждого интервала определяют значение χ² по формуле

(1.15)

(Если интервалы объединялись, то m_i и m_mi берется для объединенного интервала.)

Определяется значение критерия χ² суммированием значений

Определяется число степеней свободы k=r-3. Если интервалы объединялись, то число степеней свободы уменьшается. Под r в таком случае понимается количество интервалов с учетом объединения.

Задаются уровнем значимости а = 0,05; 0,1; 0,2 и т. д., определяют табличные значения. Если выполняется условие

то распределение результатов измерений считают нормальным.

Проверка гипотезы с помощью составного критерия d определяется отношением

, (1.16)

0,02<q₁<0,1 или в % 2<q₁<10

Выбирают уровень значимости критерия ,обычно определяют теоретические значения критерия последующим формулам

для

для

для

формулы справедливы для .

Гипотеза о нормальности по критерию d принимается, если В противном случае отвергается.

Критерий 2 введен дополнительно для проверки «концов распределения». Считается, что результаты наблюдений соответствуют нормальному распределению, если не более t разностей превзойдет значение ,где — квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающий вероятности Р/2. Вероятность Р определяется по п и q как корень уравнения

(1.16)

При 10 < n < 20 следует принимать t = 1, а при 20 < n < 50 следует принимать t = 2.

Гипотеза о нормальности принимается, если число раз­ностей , больших не превышает t.

Гипотеза о нормальности принимается, если для проверяе­мой группы измерений выполняются оба критерия.

Уровень значимости составного критерия q,

q=q₁+q_2, (1.17)

где q₁ - уровень значимости для критерия 1,

q₂- уровень значимости для критерия 2.

Проверка гипотезы о законе распределения при малом числе измерений .

При малом числе наблюдений для оценки нормальности пользуются статистической функцией распределения результатов наблюдений. Для ее построения, полученные в ходе измерения результаты, группируют в вариационный ряд, т. е. располагают члены ряда в порядке возрастания

Статистическую функцию распределения F(x_i) определяют по формуле

(1.18)

График функции F(x_i) представляет собой ступенчатую линию, скачки которой соответствуют значениям вариационного ряда. Каждый скачок равен если все n членов ряда различны. Если же для некоторого то в точке возрастает на где к — число равных между собой членов ряда.

Для проверки нормальности распределения результатов наблюдений находят значения соответствующие значениям стати­стической функции распределения , т. е.

где . (1.20)

Но переменная t может быть определена через результаты наблюдений, как и, если по точкам с координатами и построить график, то при нормальном распределении точки располагаются практически на одной прямой линии (рис. 7.1). Если же в результате построения графика точки существенно отклоняются от прямой линии, то гипотезу о нормальности распределения отвергают, как противоречащую опытным данным.

Находят доверительную погрешность результата измерений и доверительный интервал для среднего квадратичного отклонений.

Нахождение доверительных интервалов при известной точности измерений. Если заранее известна средняя квадратичная погрешность s*, то доверительный интервал имеет вид

(1.21)

Значение t=t определяется по заданной доверительной вероятности Р из условия

Нахождение доверительного интервала при неизвестной точ­ности измерений. В этом случае используют распределение Стьюдента. Доверительный интервал принимает вид

(1.22)

где множитель

-зависит от доверительной вероятности Р и числа измерений. Уровень значимости

Нахождение доверительных интервалов для средней квадратичной погрешности.

Определяют и по формулам

(1.23)

Определяют число степеней свободы по формуле k=n-1.

Для полученных значений и по уравнениям

Определяют доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения

(1.24)

Определяют границы неисключенной систематической погрешности. Если известно, что погрешность результата измерений определяется рядом составляющих неисключенных систематических погрешностей, каждая из которых имеет свои доверительные границы, то при неизвестных законах распределения их границы суммарной погрешности находят по формуле

(1.25)

где k - число неисключенных систематических составляющих погрешностей результата измерения.

К - коэффициент, принимаемый равным 1,1 при доверительной вероятности Р = 0,95 и зависящий от числа составляющих неисключенных систематических погрешностей.

Определяют соотношение

Если то неисключенными погрешностями пренебрегают и в качестве границы погрешности результата измерения принимают

Если то пренебрегают случайной погрешностью и считают, что Δ = 0.

Если то при определении погрешности ∆ необходимо учитывать и случайную и систематическую составляющую.

Определяют границу погрешности результата измерений по формуле

(1.26)

где ,

.

Представляют результат измерения и погрешности для случая симметричных доверительных границ в форме

Определение доверительных интервалов, если гипотеза о соответствии нормальному закону распределения отвергается.

Если гипотезу о нормальности распределения отвергают или число измерений n < 15, то проводят проверку симметричности распреде­ления по критерию Вилкоксона в следующем порядке.

Ряд наблюдений упорядочивают в порядке возрастания

Определяют медиану х по формуле

(1.27)

Из каждого члена ряда вычитают медиану и образуют упорядоченный ряд из разностей.

Отбрасывают разности и упорядочивают оставшиеся разностей по абсолютным значениям с присвоением им рангов. Наименьшее значение получает ранг 1, наибольшее - разностям, равным по значениям, присваивают средний для них ранг.y каждого ранга отмечают знак (положительный или отрицательный), соответствующий знаку разности y.

Определяют суммы положительных и отрицательных рангов и и проверяют правильность их вычисления.

В качестве статистики для проверки симметричности используют меньшую из сумм рангов или т. е.

(1/28)

Гипотезу о симметричности отвергают, если вычисленное значение R равно или меньше критического значения Для т < 25 критические значения вычисляют по формуле

а для т > 25 их вычисляют по формуле

(1.29)

Если гипотезу о симметричности распределения принимают, то производят следующие действия.

Из членов ряда образуют все возможные полусуммы вида

где

Ряд упорядочивают по возрастанию

В качестве оценки результатов измерения принимают медиану ряда

(1.30)

В качестве погрешности результата измерения принимается полуширина доверительного интервала для медианы ряда.

Числовые значения S и R определяются по формулам (1.31) (1.32) (для Р= 0,95)

. (1.31) (1.32)

Если гипотезу о симметричности распределения отвергают, то производят следующие действия.

В качестве оценки результатов измерения принимают медиану ряда

. (1.33)

В качестве погрешности результата измерения принимается полуширина доверительного интервала для медианы ряда по формуле

(1.34)