Глава 1. Обзор математических моделей функционирования

производственного предприятия

0. Историческое развитие математических моделей производственного предприятия.

Начало разработки экономико-математических моделей положили работы В.В. Леонтьева, В.С. Немчинова, Л.В. Канторовича. Дальнейшее развитие методы моделирования деятельности предприятия получили в 50-60-х годах прошлого столетия в работах А.Г. Гранберга, В.Л. Макарова, Ю.П. Иванилова, К.А. Бариновского и многих других авторов.

В СССР, в силу больших размеров страны и плановой экономики, преобладали народохозяйственные модели и модели межотраслевого баланса. Этому также способствовали особенности советской экономики, при которой производственный план предприятия не мог формироваться независимо от всей иерархии экономической системы. Ресурсы, потребляемые предприятием, и продукция им производимая связаны с другими предприятиями общими балансами системы и в значительной степени предопределены. Обычно определялись основные объемные показатели работы предприятия и номенклатура важнейших видов продукции. На практике, исходя из результатов предыдущих периодов, балансовых возможностей и связей между предприятиями, устанавливались достаточно четкие плановые задания, хотя жесткость их зависела от отрасли и характера производства.

С конца 50-х годов более широкую известность начали получать модели текущего планирования на предприятии. В таких моделях годовое планирование рассматривалось в качестве объемного планирования, при котором определяется объем выпуска продукции и необходимые ресурсы на фиксированный отрезок времени (год). При годовом планировании не рассматривалось временное распределение производства продукции и потребления ресурсов, поэтому эти модели являются статичными. В этой области выделяются работы Л.В. Канторовича, А.А. Модина, М.М. Федоровича.

Широкое распространение получили также модели планирования в рамках одного предприятия, в основном это оптимизационные модели, учитывающие взаимозаменяемость ресурсов, рациональное использование ресурсов (например раскрой материала), оптимальное распределение работ и т.д. Разработка подобных моделей остается актуальной и по суй день, особенно для крупных предприятий.

Важным толчком к развитию математических моделей в этот период послужил прогресс в внедрении на предприятиях электронной вычислительной техники.

В середине 70-х годов начинается формироваться идея об использовании экономико-математических моделей для целей прогнозирования. До этого вопросы прогнозирования в экономике считались связанными с «процедурами обработки экспертных оценок или экстраполяцией, использующими методы математической статистики».

К концу 70-х годов основной тенденцией развития прикладных моделей деятельности предприятия становится переход от моделей планирования в чистом виде к моделям функционирования экономических систем. Применение соответствующей методики позволило более детально изучить характер функционирования и развития экономических объектов.

К этому времени широкое распространение начинают приобретать имитационное моделирование, позволяющее преодолеть ряд трудностей, связанных с оптимизационными подходами. Главной проблемой оптимизационных методов является сложность, а иногда и невозможность, строгой математической формулировки критериев оптимизации. Помимо этого, даже при наличии сформулированного критерия оптимальности, нахождение оптимального плана не дает ответа на все поставленные вопросы, поскольку выполнение любого плана неразрывно связанно с организацией структуры управления. В этой связи целесообразным является получения оценки для различных вариантов развития предприятия. Таким образом, одним из требований к динамическим моделям предприятия становится их приспособленность к проведению многовариантных расчетов.

В условиях становления рыночной экономики более широкое распространения начинают получать использование формальных моделей управления финансовыми потоками. Целью финансового моделирования становится не только разработка показателей финансового плана, но и разработка детальной финансовой стратегии. Говоря об истории развития моделей деятельности предприятия нельзя не отметить концепции MRP, MRP II и ERP. Впервые сформулированные в середине 70-х годов под названием MRP (Material Requirement Planning) эти концепции, развиваемые силами ряда зарубежных неправительственных организаций, например APICS (Американское общество по управлению производством и запасами), получили широкое распространение на западе.

Концепция MRP предназначена для планирования потребности предприятия в ресурсах и материалах. В качестве её логического развития была разработана концепция Manufacturing Resourse Planning (планирование производственных ресурсов) сокращенно обозначающаяся MRP II. В рамках MRP II становится возможным планирование всех производственных ресурсов предприятия: сырья, материалов, оборудования, человеческих ресурсов и пр. MRP II постепенно обросла возможностями по учету и управлению другими затратами предприятия. Это привело к созданию концепции ERP или Enterprise-wide Resourse Planning (планирование ресурсов в масштабе предприятия). Концепция ERP к настоящему времени получила очень широкое распространение по всему миру.

Необходимо отметить, что большинство разработанных моделей предназначены для исследования и планирования деятельности крупных предприятий или целых отраслей промышленности. В этой связи разработка моделей финансовых и товарных потоков для малых и, отчасти, средних предприятий являются в настоящее время крайне актуальным.

1.2. Обзор математических моделей производственного предприятия

В настоящее время существует целый ряд математико-экономических моделей, предназначенных для планирования и анализа деятельности предприятия как единого целого. В основной массе это модели предназначенные для исследования и прогнозирования хозяйственной деятельности крупных, интегрированных предприятий. Ряд существующих моделей является относительно универсальным, в том смысле, что на их основе может планироваться развитие различных экономических объектов. Однако такая обобщенность зачастую затрудняет отражение специфических особенностей моделируемых объектов. Необходимо также учитывать, что модели, разрабатывавшиеся в бывшем СССР, направлены на анализ и планирование развития предприятия в условиях плановой экономики, что приводит к существенным различиям в постановке задач для текущего и перспективного развития.

Задача текущего планирования, является по своей сути статической и заключается в определении и исполнении оптимальной производственной программы в заданных условиях (текущее состояния рынка продукции, ресурсы доступные предприятию и т.д.) При этом предполагается относительная неизменность условий функционирования предприятий ( производственные процессы, технологии, налоговая нагрузка и т.д.) При переходе от плановой к рыночной экономике возрастает динамика изменения факторов внешней среды, что в свою очередь приводит к необходимости оперативно реагировать на изменяющиеся условия. При этом меняются не только внешние, но и внутренние параметры функционирования предприятия. Это в совокупности приводит к тому, что задача текущего планирования перестает быть статической и требует динамических методов моделирования. Таким образом, задачи текущего и перспективного планирования оказываются тесно взаимосвязаны, и решение их должно основываться на единой динамической модели хозяйственной деятельности предприятия.

Переход к рыночной экономике также обусловил необходимость моделирования не только основной производственной деятельности предприятия, но и финансовых потоков, поскольку управление финансами является одним из важнейших аспектов управления предприятием как единым целым.

В западной практике методики анализа и управления предприятием строятся, как правило, на основе стандартов MRP и ERP. Однако разработки в области MRP и ERP носят прикладной характер и заключаются в разработке программных комплексов, предназначенных для анализа и планирования хозяйственной деятельности предприятия. Математическое описание моделей, лежащих в основе конкретных решений, как правило малодоступны. Это, с одной стороны принуждает пользователя принимать результаты расчетов без возможности анализа корректности расчетов, а с другой делает подобные модели малопригодными для научных исследований и анализа экономических закономерностей развития предприятия.

Публикации основывающиеся на принципах MRP и ERP, как правило, касаются лишь общих закономерностей, положенных в основу моделей (например необходимость планирования оборотных средств в зависимости от плана по выпуску продукции) и не дают детального описания соответствующих математико-экономических моделей.

В настоящее время по некоторым оценкам на мировом рынке представлено около 500 различных систем класса MRP II – ERP. При этом рынок соответствующих систем переживает этап бурного развития (35%-40% в год). В настоящее время в Росси представлено около десяти западных систем и менее десяти отечественные системы аналогичного класса. Количество инсталляций составляет более 200. Успешно проведено внедрение лишь в единичных случаях. Основным клиентом поставщиков систем MRP II – ERP в России являются крупные корпоративные предприятия. Это в многом обусловлено дороговизной подобных решений, так лицензия программ SAP Business One (предназначенных для небольших предприятий) составляет от 10 до 30 тысяч долларов США, а система All-in-One (для средних предприятий)- 30-80 тысяч долларов США. При этом стоимость внедрения соответствующих систем может превышать стоимость лицензии в десятки раз.

Для предприятий малого и среднего бизнеса на российском рынке программного обеспечения существуют системы бизнес планирования, основанные на дескриптивном моделировании, а не математико-экономических моделях, описывающих финансовую и производственную деятельность предприятий. К системам подобного рода относятся системы ct Expert, Альт-Инвест, ИНЭК-Аналитик. Подобные системы рассматривают достаточно ограниченные круг вопросов, связанных с прогнозированием развития предприятия. Наиболее популярным на территории российской Федерации системами типа MRP II – ERP являются системы Галактика, Max, Navision, Axapta, Baan ориентированные в первую очередь на крупные корпоративные предприятия. Предприятиям малого и среднего бизнеса предназначены специализированные версии нацеленные на учет текущей хозяйственной деятельности и фирмы и не затрагивающие вопросы перспективного планирования и прогнозирования. Кроме высокой стоимости к недостаткам подобных систем относятся ограниченные возможности по управлению основными средствами. Так не рассматриваются вопросы приобретения и выбытия основных фондов, что является одной из основных статей затрат для небольших предприятий.

Дискретная динамическая модель Дж. Форрестера описывает разные стороны хозяйственной деятельности предприятия, а также каналов оптовой и розничной торговли. Однако при разработке данной модели целью было «исследование возможных колебаний или неустойчивости поведения системы, вытекающих из основных организационных взаимоотношений и правил управления предприятием, оптовой и розничной торговлей», то есть модель не предназначена для прогнозирования развития предприятия и разработки его производственной программы. В это модели не учитывается влияние основных производственных фондов предприятия. Кроме того, несмотря на моделирования финансовых потоков предприятия, цены как на продукцию, так и на сырье считаются постоянными, что мало приемлемо при построении реалистичных прогнозов.

Дискретная динамическая модель намеченная Ждановым С.А. и получившая дальнейшей развитие в работах Краснова А.Е. и Краснули О.Н. описывает хозяйственную деятельность предприятия, используя дискретную динамическую модель «затраты-выпуск», при этом в качестве основного инструмента описания предприятия используются системы регресионно-авторегресионных уравнений. Данный тип модели представляется очень перспективным, поскольку позволяет моделировать временные лаги, отделяющий потоки ресурсов и произведенного товара от потока денежных средств. Однако у этой модели есть ряд серьезных недостатков не позволяющих использовать эту модель для описания реальных процессов на предприятии. К этим недостаткам относятся:

• некорректное поведение модели (бесконечный рост производства) при определенных комбинациях параметров производства;

• отсутствие четко выработанных критериев оценки деятельности предприятия;

• недостаточная обоснованность применения данной модели к предприятия конкретной отрасли;

• независимость переменных издержек от объема производства;

1.3. Закон убывающей производительности капитала

Некорректное поведение моделей деятельности предприятия (бесконечный рост производства) при определенных комбинациях параметров производства связано с тем, что в моделях не учитывается закон возрастающих предельных издержек, который утверждает, что с ростом объема производства цена изготовления каждой последующей единицы продукции больше стоимости изготовления предыдущей. На первый взгляд, это противоречит принципу экономии от масштаба, заключающемся в том, что масштабное производство продукции выгоднее кустарного. Это кажущееся противоречие связано с тем, что издержки делятся на два типа – постоянные и переменные. Постоянные издержки остаются неизменными и их величина на единицу продукции падает с увеличением объема производства, однако переменные издержки на единицу растут и в какой-то момент эффект от роста переменных издержек начинает перекрывать эффект уменьшения удельных постоянных издержек. На рисунке 1.3.1 изображена зависимость общих издержек от общего объема производства, на рисунке 1.3.2 изображена зависимость удельных издержек от объема производства.

Рис. 1.3.1 Зависимость общих издержек от общего объема производства

Рис. 1.3.2. Зависимость удельных издержек от объема производства

В классической экономической теории, эта особенность выражена законом убывающей производительности капитала.

Производственная функция Кобба-Дугласа — самая известная из всех производственных функций (то есть функций, устанавливающих зависимость объема производства от используемых ресурсов) неоклассического типа — была открыта в 20-х годах нашего века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и получила широкое применение в эмпирических исследованиях. В общем случае для производства, использующего различных ресурсов, производственная функция записывается в виде , где - объем производства, - количество i-того ресурса, - коэффициент производительности i-того ресурса, причем выполняется условие . Очевидно, что при выполняется закон убывающей производительности капитала, поскольку каждая новая единица любого ресурса, используемая в производстве, увеличивает выпуск товара на меньшую величину, чем предыдущая единица того же самого ресурса.