Задачи Обработка результатов прямых измерений.

Результат измерения – числовое значение, приписываемое измеряемой величине, с указанием точности измерения.

Численные показатели точности:

• доверительный интервал (доверительные границы) погрешности;

• оценка СКО погрешности.

Правила выражения показателей точности:

• численные показатели точности выражаются в единицах измеряемой величины;

• численные показатели точности должны содержать не более двух значащих цифр

• наименьшие разряды результата измерения и численных показателей точности должны быть одинаковыми

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:

х₁, х₂, х₃, ……х_n (1)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

(2)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (2) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (2). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

l = (8.34 ± 0.02) мм,    (P = 0.95)

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (1), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

(3)

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ²– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Рис.1

Как видно из (3) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.

На рис.1 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx₁ и Δx₂ (заштрихованная площадь на рис.1) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx₁, Δx₂) .

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2).

(5)

где – n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

(6)

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ

(7)

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

(8)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка S_x характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

(9)

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n→∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

(10)

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности; S_x– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 1.

Из сказанного следует:

Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.

При n→∞ S_x→0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

Для этого удобнее воспользоваться таблицей 2, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

Коэффициенты Стьюдента для заданных значений

Таблица №1

	0,9	0,91	0,92	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99
5	2,132	2,227	2,333	2,456	2,601	2,776	2,999	3,328	3,747	4,604
6	2,015	2,008	2,191	2,298	2,422	2,571	2,757	3,003	3,365	4,032
7	1,943	2,019	2,105	2,202	2,314	2,447	2,613	2,829	3,163	3,707
8	1,895	1,967	2,047	2,137	2,241	2,365	2,517	2,715	2,998	3,499
9	1,860	1,938	2,005	2,091	2,190	2,306	2,449	2,634	2,896	3,355
10	1,833	1,900	1,973	2,056	2,151	2,262	2,399	2,574	2,821	3,250
11	1,812	1,877	1,949	2,029	2,121	2,228	2,260	2,528	2,764	3,169
12	1,796	1,859	1,929	2,007	2,097	2,201	2,329	2,491	2,718	3,106
13	1,782	1,845	1,913	1,989	2,077	2,179	2,303	2,461	2,681	3,055
14	1,771	1,832	1,899	1,974	2,061	2,160	2,282	2,436	2,650	3,012
15	1,761	1,822	1,888	1,962	2,047	2,145	2,264	2,415	2,624	2,477
16	1,753	1,813	1,878	1,951	2,034	2,131	2,249	2,398	2,602	2,947

Таблица 2

Необходимое число измерений для получения ошибки Δ с надежностью Р
Δ = Δx/σ	Значения Р
	0,5	0,7	0,9	0,95	0,99	0,999
1,0	2	3	5	7	11	17
0,5	3	6	13	18	31	50
0,4	4	8	19	27	46	74
0,3	6	13	32	46	78	127
0,2	13	29	70	99	171	277
0,1	47	169	273	387	668	1089

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

Результат каждого измерения запишите в таблицу.

Вычислите среднее значение из n измерений

Найдите погрешность отдельного измерения

Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

(Δx ₁)², (Δx ₂)², ... , (Δx _n)².

Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического

Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала возьмите

Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

Окончательный результат запишите в виде

Оцените относительную погрешность результата измерений

ЗАДАЧА 1.

Произведено шестнадцатикратное измерение сопротивления R_x (Ом) и получены результаты таблица №1. Найти результат измерения и доверительный интервал результата с вероятностью таблица №2. Предварительно проверить, нет ли в ряду измерений промахов (грубых погрешностей)

№ варианта	Измеренные значения сопротивлений, Ом																Дов. вероят. Р
	R1	R2	R3	R4	R5	R6	R7	R8	R9	R10	R11	R12	R13	R14	R15	R16
1	99	98	100.5	101	102	99	98	97	101	103	102	100	102	99	120	105	0,9
2	206	200	200	199	201	198	201	198	263	197	205	197	199	198	202	198	0,91
3	492	505	496	498	500	566	500	502	503	504	495	500	497	498	502	203	0,92
4	998	990	991	997	999	1000	1008	1001	1201	1007	1000	1012	1000	999	998	1002	0,93
5	120	121	123	118	119	107	120	118	122	121	125	118	117	120	119	123	0,94
6	140	141	143	138	139	137	190	138	142	145	139	140	141	142	143	137	0,95
7	150	155	159	145	141	146	154	150	156	181	149	153	147	154	149	150	0,96
8	9.9	9.8	10.5	10.1	10.2	9.4	15.0	10.1	9.7	9.9	10.3	10.2	9.6	9.9	10.1	10.2	0,97
9	19.9	19.8	20.5	20.1	20.0	29.8	20.1	20.6	19.8	18.0	19.7	19.5	20.3	20.1	19.4	19.6	0,98
10	101.0	100.0	95.0	104.0	107.0	92.5	99.0	96.0	105.0	102.0	121.0	106.0	99.0	98.0	97.0	103.0	0,97
11	5	5.1	5.3	4.8	4.0	4.7	5.0	4.8	5.2	5.1	5.5	1.8	4.7	5.0	5.1	5.3	0,96
12	50.0	54.0	53.0	48.0	49.0	47.0	50.0	48.0	52.0	51.0	55.0	48.0	58.0	49.0	51.0	45.0	0,95
13	6.0	6.1	6.3	5.8	5.9	5.7	6.0	5.8	6.2	6.1	6.5	5.8	5.7	6.9	5.9	6.1	0,94
14	60.0	61.0	63.0	58.0	59.0	57.0	68.0	58.0	52.0	61.0	65.0	58.0	57.0	60.0	59.0	55.0	0,93
15	80.0	81.0	83.0	78.0	79.0	77.0	89.0	78.0	82.0	81.0	85.0	78.0	80.0	83.0	81.0	79.0	0,92
16	9.0	9.19.3	8.8	8.0	8.7	9.0	8.8	9.2	9.5	9.0	8.8	8.7	9.0	9.2	9.3	9.8	0,91
17	90.0	91.0	93.0	88.0	89.0	90.0	88.0	92.0	91.0	95.0	99.0	89.0	91.0	85.0	93.0	92.0	0,9
18	70.0	70.1	70.3	70.8	70.7	70.6	70.9	70.0	70.2	70.1	70.5	70.3	70.5	70.0	70.3	70.8	0,91
19	9791	9795	9789	9794	9796	9800	9793	9795	9765	9794	9797	10000	9700	9788	9791	9793	0,98
20	873	874	880	890	850	875	873.3	879.6	880.3	881.6	883.9	884.5	889.2	875	873	879	0,92
21	352	356	359	400	357.6	359	354.8	397.6	394.5	364.8	353	353	352	355	356	352	0,93
22	500	495	510	502	503	506	507	509	502	503	504.6	508	507	503	504	502	0,94
23	403	406	408	410	401	402	405	401	405	403	406	407	400	401	401	402	0,95
24	340	341	350	355	342	343	346	348	340	341	342	348	400	356	358	360	0,96
25	7	7.3	7.6	7.1	7.4	7.3	7.1	7.8	7.9	8.0	7.1	7.4	7.3	7.5	7.8	7.9	0,97
26	753	758	753.6	751	754.9	752.9	754.6	753.7	753	753.1	753.2	756	755.8	754.9	757	758	0,98
27	613	613.5	618	620	617.9	618.6	614.8	613.9	613	613.7	613.8	613	700	614.8	615.7	618.9	0,97
28	65	66	65.5	67	80	67.3	67.9	64	65.9	68.9	65.1	65.2	65	65.3	66.0	66.4	0,96
29	46	46.8	46.9	46.1	46.1	46.2	46.7	46.8	60	48.5	48.2	46.5	46.1	46.0	46.3	46.1	0,95
30	159	159.1	159.1	159.2	159.3	1594	170	159.8	160.3	160.4	160.8	070	159.	159.4	159.8	190	0,94

ПРИМЕР

Произведено пятикратное измерение сопротивления R_x и получены результаты R_i: 5; 5,1; 5,2; 7; 5,3 Ом. Найти результат измерения и доверительный интервал результата с вероятностью таблица Р=0,98. Предварительно проверить, нет ли в ряду измерений промахов (грубых погрешностей)

Решение:

Определим среднее арифметическое значение сопротивления:

Определим оценку среднего квадратичного отклонения результатов:

Подозрительный результат (7 Ом), можно считать промахом, если R– >3·S_x

Проверяем: R– 7–5.52=1.48 Ом

3·S_x =3·0,697=2,091

1,48>2,091 – неравенство неверно, значит результат 7 не является промахом.

Определим оценку среднего квадратичного отклонения среднего результата (результата измерений)

Для n=5 P=0.98 коэффициент Стьюдента равен: t=3.747

Доверительный интервал результата измерения:

Ом

Результат измерения запишется в виде:

Ом; Р=0,98, где R_д – действительное значение сопротивления.

Ответ: R_д =(5,52±1,054)Ом; Р=0,98; результат 7 не является промахом.