6.5. Математическая логика

Решающим фактором в прогрессе логики была ее математизация (конец XIX – начало XX вв.). Математизация логики была порождена потребностями математики и осуществлена математиками. Разрыв между математикой и логикой был, наконец, преодолен. Расширив свой язык и математизировав его, логика стала пригодной для описания и исследования математического доказательства. С другой стороны, для решения логических проблем стали применяться математические методы.

Завоевав плацдарм в области математики, новая логика стала проникать в естественные науки и философию. При этом роль собственно математического элемента (использование математических моделей) упала. Тем не менее всю современную логику часто называют «математической» по причине ее языка и происхождения.

6.6. Объекты и высказывания

Прежде чем продвигаться дальше в анализе языка и мышления, нам надо дать краткий набросок современной логики. Для наших целей достаточно рассмотреть только язык современной логики и те понятия, которые связаны с языком. Понятия, связанные с логическим выводом (доказательством), мы пока оставим в стороне.

Современная логика делит все сущее на объекты (или предметы) и высказывания (или утверждения). В естественном языке высказывания изображаются предложениями или наборами предложений, а объекты — словами и словосочетаниями, входящими в состав предложения.

Примеры объектов: «цапля», «дядя Коля», «председатель колхоза».

Примеры высказываний: «цапля сдохла», «дядю Колю выбрали председателем колхоза».

Чаще всего объекты выражаются существительными, но это не обязательно. Например, «курить» — объект в высказывании «курить вредно». В приложении к математике объекты обычно называются термами, а высказывания соотношениями.

	Примеры объектов(термы)	Примеры высказываний(соотношения):
	«цапля», «дядя Коля», «председатель колхоза».	«цапля сдохла», «дядю Колю выбрали председателем колхоза».
	«курить» — объект в высказывании «курить вредно».
	3.14. ax2 + bx + c. a∫bf(z)dz.	aх2 + bx + c = 0. 0 < z < 1. Каково бы ни было натуральное число n > 1, найдется простое число р, которое является делителем числа n. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Примеры термов:

• 3.14.

• ax² + bx + c.

• _a∫^bf(z)dz.

Примеры соотношений:

• aх² + bx + c = 0.

• 0 < z < 1.

• Каково бы ни было натуральное число n > 1, найдется простое число р, которое является делителем числа n.

• Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Понятия «объект» и «высказывание» считаются в логике первичными, интуитивно ясными и неопределяемыми. Формальное различие между ними состоит в том, что о высказывании имеет смысл говорить, что оно является истинным или ложным. Так, третий и четвертый примеры математических соотношений представляют собой истинные высказывания, а первое и второе соотношения могут быть истинными или ложными в зависимости от значения переменных х и z. К объектам понятия истинности и ложности неприменимы.

Объекты и высказывания, которые считаются элементарными, т. е. не расчлененными на отдельные составные части, обозначаются в логике буквами. Объекты обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а высказывания — большими. Мы будем придерживаться этой символики, но дополнительно введем еще одно соглашение. Для ясности записи и уменьшения словесных пояснений будем иногда обозначать элементарные объекты и высказывания словами и словосочетаниями, взятыми в кавычки. Следовательно, словосочетания в кавычках будут рассматриваться на равных правах с буквами.

Объекты и высказывания, которые не являются элементарными, конструируются, очевидно, из других объектов и высказываний. Мы должны указать теперь способ конструирования.

При наличии двух типов элементов (объекты и высказывания) и предполагая, что элементы, служащие строительным материалом, принадлежат все к одному типу, мы получаем четыре возможных типа конструкций, которые мы сведем в следующую таблицу.

Что конструируется	Из чего конструируется	Название конструкции
Высказывание	Высказывания	Логическая связка
Высказывание	Объекты	Предикат
Объект	Высказывания	—
Объект	Объекты	Функция