2 Семестр вопросы к экзамену (доказательства из конспекта лекций)
(как правило, помечены там знаком *** )
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
1 Доказать, что
ортогонален поверхности
.
2 Вывести формулу
вычисления производной по направлению
вектора
3 Вывести формулу касательной плоскости к поверхности.
4 Вывод формулы производной для параметрически заданной кривой.
5 Вывод формулы производной для неявно заданной кривой
6 Вывод формул Тейлора для некоторых основных функций:
, , , , .
ИНТЕГРАЛЫ
7 Доказать формулу «интегрирования по частям»
8 Вывод формулы для интегралов .
9 Обосновать действие замен для .
10 Доказать, что замена замена в интеграле сводит интеграл к рациональной дроби от .
11 Обосновать действие подстановок для
12 Интегрирование
выражений
,
,
.
Обосновать, как корень преобразуется
в тригонометрическую функцию.
13 Теорема. является первообразной для .
14 Теорема Ньютона-Лейбница. .
15 Вывод формулы ,
16 Вывод формулы в декартовых координатах для явно заданной кривой .
17 Вывод формулы коэффициента Фурье для произвольной ортогональной системы:
или .
18 Доказать, что несобственный интеграл 1-го рода сходится при , а несобственный интеграл 2-го рода сходится при .
19 Теорема: сходится первообразная имеет конечный предел и следствие: сходится .
20 Вывод формулы площади явно заданной поверхности: .
21 Вывести формулы перехода к полярным координатам и вычислить их определитель Якоби.
22 Вывести формулы перехода к цилиндрическим координатам и их определитель Якоби.
23 Вывести формулы перехода к сферическим координатам.
24 Доказать, что поле F потенциально симметрична производная матрица.
25,26 Криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути циркуляция = 0.
27,28 Поле F потенциально криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути.
ДИФФ. УРАВНЕНИЯ
29 Доказать, что замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
30 Обосновать метод сведения уравнения Бернулли к линейному уравнению с помощью замены
31 Вывести и обосновать замену, доказать что . Доказать, что замена понижает порядок уравнения, в котором отсутствует , то есть уравнения вида .
32 Теорема 1. Доказать, что является решением r есть характеристический корень
33 Теорема 2. Линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением.
34 Теорема 3. (Теорема о наложении решений). Если y1 - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью b1(x), а y2 - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью b2(x), то линейная комбинация Ay1 + By2 является решением уравнения с правой частью Ab1(x) + Bb2(x).
35 Теорема 4. Доказать, что система функций линейно-зависима.
36 Теорема 6. Если r=0 является характеристическим корнем кратности k, то
функции 1, x, x2, x3,...,xk-1 принадлежат ФСР однородного дифференциального уравнения.
37 Доказать, что явл. реш. лин. однородной системы дифф. ур собст. вектор, собст число.
(список может частично корректироваться)
Алгоритмы решений задач, разбиравшихся на практике. Техника дифференцирования, таблица производных, частная производная, градиент, производная по направлению, уравнение касательной, экстремумы функции одной и двух переменных. Интегрирование элементарные преобразования, подведение под знак дифференциала, по частям, рац дроби, интегрирование с заменами - иррац-сти и триг функции, а также с корнями , , Определённый интеграл, площади фигур. Несобственный интеграл 1 и 2 рода - уметь вычислить а также выяснить сходимость или расходимость по признакам.
Двойной интеграл, замена порядка интегрирования и вычисление, а также полярные координаты.
Тройной интеграл, а также сферические и цилиндрические координаты.
Криволинейный и поверхностный интеграл от векторной функции (работа поля, поток поля через поверхность). Потенциал поля. Вычисление с помощью формул Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса.
Дифф уравнение 1 порядка (+ с задачей Коши). С разделяющимися переменными, однородное, линейные - однородные и неоднородные, Бернулли, в полных дифференциалах.
Понижение порядка - 2 метода. Линейное однор и неоднор старшего порядка. Метод Лагранжа и метод неопределённых коэффициентов. Системы дифф. уравнений - матричный метод и сведение к одному уравнению.
Примечание. В первую очередь в билетах могут быть любые задачи, разбиравшиеся на занятиях в качестве примера, помечены в конспекте как «пример».