Глава 5. Дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
1) Уравнения с разделяющимися переменными.
Примеры:
,
,
2) Однородные (по
степени) уравнения
*** Доказать, что
замена
сводит однородное уравнение к уравнению
с разделяющимися переменными.
3) Линейные однородные и неоднородные.
*** Метод Лагранжа для неоднородных линейных уравнений 1 порядка.
Пример.
4) Уравнения Бернулли.
*** Обосновать метод сведения уравнения Бернулли к линейному уравнению с помощью замены
ЛЕКЦИЯ 12 - 29.04.2014
5) Уравнения с разделяющимися переменными.
§ 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка.
Методы понижения порядка.
Случай 1) если в
уравнении не содержатся младшие порядки
производных, то есть тип уравнения
тогда замена y(k)=z, при этом y(k+1)=z’,...
Доказать, что
замена
понижает порядок уравнения
.
Пример.
Варианты начальных условий:
(условия Коши)
или
(в двух различных точках)
Случай 2) если в
уравнении содержатся все порядки
производных, но нет х, то есть тип
уравнения
замена y’=p(y)
*** Вывести и
обосновать замену, доказать что
.
Доказать, что замена
понижает порядок уравнения, в котором
отсутствует
,
то есть уравнения вида
.
Пример:
(уравнение колебаний) решить этим
методом.
Линейное уравнение высшего порядка.
- неоднородное.
- однородное.
*** Теорема 1.
Доказать, что
является решением
r
есть характеристический корень
Пример
.
*** Теорема 2. Линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением.
ЛЕКЦИЯ 13 - 6.05.2014
*** Теорема 3. (Теорема о наложении решений). Если y1 - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью b1(x), а y2 - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью b2(x), то линейная комбинация Ay1 + By2 является решением уравнения с правой частью Ab1(x) + Bb2(x).
*** Следствие. Сумма решений линейного неоднородного и соответствующего однородного дифференциального уравнения является решением неоднородного уравнения.
Определение линейной зависимости и независимости. Определитель Вронского.
Примеры.
x,2x x,x2.
*** Теорема 4.
Доказать, что
система
функций линейно-зависима.
Теорема 5. (о существовании базиса пространства решений).
Доказать, что существует n линейно-независимых решений лин.одн.диф.ур. порядка n
и всякое n+1 е решение линейно выражается через ЛНС из n решений.
Определение ФСР.
Теорема 5. Существует ровно n линейно-независимых решений линейного однородного дифф. уравнения порядка n, всякое решение есть их линейная комбинация.
Определение. Система из n решений, указанная в этой теореме, называется ФСР (фундаментальной системой решений) линейного однородного дифф. уравнения.
3 случая:
случай 1 - все характеристические корни действительные и различные
( док, что система
линейно независима. )
Пример
.
Пример
.
случай 2 - все характеристические корни действительные, но среди них есть кратные
*** Теорема 6. Если r=0 является характеристическим корнем кратности k, то
функции 1, x, x2, x3,...,xk-1 принадлежат ФСР однородного дифференциального уравнения.
Система
линейно независима и входит в ФСР
однородного уравнения, если 0 есть корень
кратности k.
входит в ФСР
однородного уравнения, если r
есть корень кр-сти k.
Пример.
.
случай 3 - есть комплексные характеристические корни.
Если корень a+bi,
то в ФСР входят две функции:
и
.
Пример. .
Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения порядка n, построение системы для неизвестных. Система, из которой находятся неизвестные функции:
Пример. Решение
методом Лагранжа уравнения
Сначала решается
соответствующее однородное уравнение
.
Его характеристическое
уравнение это
,
корни равны 1 и 2, общее решение однородного
.
Далее вместо констант ставим неизвестные функции, то есть решение неоднородного ищем в виде
.
Для того, чтобы найти неизвестные
функции, строим систему:
Решая её методом
Гаусса, находим производные, а затем и
сами функции и подставляем их в выражение
.
Приводя подобные, в итоге получим:
.
Будущие темы (конспект будет дополняться):
ЛЕКЦИЯ 14 - 13.05.2014
Метод неопределённых коэффициентов для неоднородного уравнения.
Системы дифференциальных уравнений.
*** Доказать, что
явл. реш. лин. однородной системы дифф.
ур
собст. вектор,
собст
число.
ЛЕКЦИЯ 15 - 20.05.2014
Дифф. уравнения в частных производных. Метод Фурье разделения переменных.
ЛЕКЦИЯ 16 - 27.05.2014
Комплексные числа, степени и корни (лекция + практика).
Примеры:
ЛЕКЦИЯ 17 - 3.06.2014
Комплексные числа и функции комплексного переменного (лекция + практика).