§ 4. Несобственные интегралы
Несобственные интегралы.
Вводные примеры:
,
.
Определения несобственных интегралов 1-го (неограниченная D(f)) и 2-го рода (неограниченная E(f)). Сходимость, расходимость.
*** Доказать, что
несобственный интеграл 1-го рода
сходится при
,
а несобственный интеграл 2-го рода
сходится при
.
Примеры:
,
,
.
*** Теорема 1.
сходится
первообразная имеет конечный предел
.
*** Следствие.
сходится
.
Теорема 2. Признак
сравнения в конечной форме. Если
и сходится интеграл
,
то сходится и интеграл
.
Пример.
Теорема 3. Признак
сравнения в предельной форме. Если
,
причём константа C
отлична от 0 и от
,
то интеграл
сходится
тогда и только тогда, когда сходится
.
Пример.
Определение абсолютной сходимости. Из абсолютной сх-сти следует обычная (доказывается по признаку сравнения).
Понятие преобразования
Лапласа:
.
ЛЕКЦИЯ 8 - 01.04.2014
Глава 4. Кратные интегралы, элементы теории поля.
§ 1. Кратные интегралы.
Определение. Геометрический и физический смысл.
Кратные интегралы, двойные, тройные. Свойства. Вычисление двойных интегралов по прямоугольной и непрямоугольной области. Геометрический смысл. Объём под поверхностью.
Сведение к повторным: интегрирование величин всех площадей криволинейных трапеций в сечениях по перпендикулярному направлению.
Аналогично, массив в программировании может быть не прямоугольным, тогда во внутреннем цикле двойного цикла границы переменные и зависят от переменной, определённой во внешнем цикле:
for i : = 1 to 10 do for j : = 1 to i do read (a[i,j]); end; end;
Примеры:
,
Смена порядка интегрирования:
Пример:
,
Вычисление тройных интегралов.
Примеры.
Найти объём тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).
Приложения кратных интегралов.
Вычисление площадей фигур и объёмов тел.
Вывод формулы площади поверхности.
Площадь каждого такого параллелограмма вычисляется с помощью векторного
произведения:
,
а именно векторов (1,0,f
‘x),
(0,1,f
‘y).
*** Вывод формулы
площади явно заданной поверхности:
.
§ 2. Замена переменных в кратных интегралах.
Полярные координаты на плоскости.
Вывести формулы перехода к полярным координатам на плоскости:
.
Определитель
Якоби:
.
При замене двух старых на две новые переменные в плоскости, существует уже 4 различных частных производных, и из них можно образовать матрицу 2-го порядка.
=
Её определитель:
=
.
На этот определитель нужно домножить в кратном интеграле после пересчёта всех переменных.
Геометрический смысл определителя Якоби - правильный учёт искажений (деформаций).
Чертёж - слева в
плоскости параметров
,
справа в плоскости
.
При одном и том же угле поворота, площади секторов, находящихся дальше от центра, будут больше, чем те, которые ближе к центру. Если бы не умножали на определитель Якоби, то влияние значений функции в этих секторах было бы одинаковым, так как диапазон изменений угла для них один и тот же.
Определитель Якоби
в кратных интегралах имеет точно такой
же смысл, как например дополнительный
множитель, появляющийся при заменен
переменной в неопределённом или
определённом интеграле. Так, если
,
то при замене пишем
.
Множитель
фактически и является одномерным
якобианом, но только для матрицы порядка
1 определитель вычислять было не нужно,
так как он совпадает с самим этим
элементом.
*** Вывести формулы перехода к полярным координатам и вычислить их определитель Якоби.
ЛЕКЦИЯ 9 - 08.04.2014
Продолжение - тема полярные координаты.
Пример:
Вычислить интеграл
где D
-
часть круга единичного радиуса в первой
четверти плоскости.
Решение.
=
=
=
=
=
=
=
=
Пример: Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.
=
=
=
=
=
.
Цилиндрические и сферические координаты в пространстве.
Существует два различных обобщения полярных координат для трёхмерного пространства.
Вывод формул перехода к цилиндрическим координатам в пространстве:
.
*** Вывести формулы перехода к цилиндрическим координатам и их определитель Якоби.
Пример: доказать формулу объёма конуса
*** Вывести формулы перехода к сферическим координатам.
Вывести формулы перехода к сферическим координатам в пространстве:
.
Вычислить
определитель Якоби
.
Пример: доказать формулу объёма шара с помощью тройного интеграла и сферических координат.